Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
уравнение гармонической плоской волны, рас- пространяющейся вдоль положительного направления оси X в среде, не поглощающей энергии, имеет вид ξ ω j ( , ) cos , x t A t x v = − + 0 (113.3) где A = const — амплитудаволны; ω — циклическая частота; j 0 — начальная фаза, определяемая в общем случае выбором начал отсчета x и t; ω j t x v − + 0 — фазаплоскойволны. Учитывая выражение (112.3), уравнению (113.3) можно придать вид ξ(x, t) = A cos (ωt − kx + j 0 ). (113.4) Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль отрица- тельного направления оси X, отличается от уравнения (113.4) только знаком при kx. Зафиксировав фазу волны в уравнении (113.3) ω j t x v − + = 0 const (113.5) и продифференцировав (113.5), получим d d t v x − = 1 0, откуда v x t = d d (113.6) Таким образом, скорость v распространения волны в уравнении (113.3) есть не что иное, как скорость распространения в простран- стве точек поверхности, соответствующей любому фиксированному значению фазы гармонической волны. Скорость v называют фазовой скоростью. Уравнение гармонической сферической волны ξ ω j ( , ) cos( ). r t A r t kr = − + 0 0 (113.7) В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1 r . Уравнение (113.7) справедливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным). 200 Из условий постоянства фаз: ωt − kx + j 0 = const (в случае плоской волны) и ωt − kr + j 0 = const (в случае сферической волны) с учетом формулы (113.6) вытекает, что фазовая скорость v k = ω. (113.8) Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среду, в которой наблюдается дисперсия волн, — диспергирующей средой. § 114. стоячие волны При одновременном распространении в среде нескольких волн выполняется принцип суперпозиции (наложения) волн: при рас- пространении нескольких волн результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смеще- ний, которые получают частицы, участвуя в каждом из независимых волновых процессов. Например, если волны распространяются от двух источников, то они, доходя до какой-то точки, вызывают ее колебания независимо друг от друга. Волныназывают когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени (подробнее см. § 119). Очевидно, что коге- рентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. При сложении когерентных волн наблюдается явление интерфе ренции, заключающееся в том, что в разных точках пространства получается усиление или ослабление амплитуды результирующей волны, в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Частным, но важным случаем интерференции волн являются стоячие волны — волны, образующиеся при наложении двух встреч- ных гармонических волн с одинаковыми амплитудами и частотами (в случае поперечных волн и одинаковой поляризации). При наложении двух когерентных плоских волн, распространяю- щихся вдоль оси X в противоположных направлениях, ξ 1 = A cos (ωt − kx); ξ 2 = A cos (ωt + kx) (114.1) (начало координат выбрано в точках, где обе волны имеют одинако- вую начальную фазу, а отсчет времени, когда начальные фазы обеих волн равны нулю) получим ξ ξ ξ ω π λ ω = + = = 1 2 2 2 2 A kx t A x t cos cos cos cos (114.2) (учли, что k = 2π λ ). Выражение (114.2) представляет собой уравнение стоячей волны. 201 Амплитудастоячейволны A A x ст = 2 2 cos π λ (114.3) является периодической функцией координаты x. В точках среды, где 2 π λ π x m = ± ( m = 0, 1, 2, …), (114.4) амплитуда стоячей волны максимальна ( A ст = 2A); эти точки называют пучностямистоячейволны. В точках среды, где 2 1 2 π λ π x m = ± + (m = 0, 1, 2, …), (114.5) амплитуда стоячей волны равна нулю ( A см = 0); эти точки называют узламистоячей волны. Из выражений (114.4) и (114.5) можно получить координаты пуч- ностей и узлов: x m п = ± λ 2 ( m = 0, 1, 2, …); (114.6) x m узл = ± + 1 2 2 λ ( m = 0, 1, 2, …). (114.7) Анализ формул (114.6) и (114.7) показывает, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны λ 2 . Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно λ 4 Из уравнения (114.2) следует, что множитель 2 A x cos 2π λ при пере- ходе через нулевое значение меняет знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла различается на π, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегу- щей и отраженной волн. Если конец веревки закрепить неподвижно (например, в стене), то отраженная в месте крепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной, образуя стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае воз- никает узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от со- отношения плотностей сред. Если бегущая волна отражается от более плотной среды, то волна меняет фазу на противоположную, 202 у границы складываются колебания с противоположными фазами, и на границе отражения наблюдается узел (рис. 133, а). Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит, и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами — получается пучность (рис. 133, б ). В стоячей волне в отличие от бегущей отсутствует перенос энергии, поскольку встречные бегущие волны одинаковой ампли- туды переносят равную по величине энергию в противоположных направлениях. Энергия колебания между двумя узлами остается по- стоянной, совершается лишь превращение кинетической энергии в потенциальную, и наоборот. § 115. волновое уравнение для электромагнитного поля Существование электромагнитных волн — переменного электро- магнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью, — следовало из уравнений Максвелла (см. § 104). В од- нородной и изотропной среде, не поглощающей энергию, вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, векторы напряженностей E и H переменного электромагнитного поля удо- влетворяют так называемому волновому уравнению: ∆ E v E t = ∂ ∂ 1 2 2 2 ; (115.1) ∆ H v H t = ∂ ∂ 1 2 2 2 , (115.2) где ∆ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 x y z — оператор Лапласа; v — фазовая скорость. рис. 133 203 Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (115.1) и (115.2), описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется вы- ражением v c = = 1 1 0 0 ε µ εµ εµ , (115.3) где ε 0 и µ 0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные; ε и µ — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды; c = 1 0 0 ε µ (115.4) — скорость электромагнитных волн в вакууме. Совпадение размерного коэффициента в (115.3) со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Мак- свеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны. § 116. свойства электромагнитных волн Следствием теории Максвелла, подтвержденным опытом, явля- ется поперечность электромагнитных волн: в электромагнитной волне колебания векторов напряженностей переменного электриче- ского поля ( E) и переменного магнитного поля ( H ) взаимно пер- пендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости распространения волны (рис. 134). На рисунке показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны. Векторы E, H и v образуют правовинтовую систему: направление распространения электромагнит- ной волны совпадает с поступатель- ным движением острия винта, го- ловка которого вращается по на- правлению кратчайшего поворота от вектора E к вектору H (смотреть надо вдоль направления распро- странения волны). Из уравнений Максвелла сле- дует также, что в электромагнит- ной волне векторы E и H всегда рис. 134 204 колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 134), причем мгновенные значения E и H в любой точке связаны соотношением ε ε µ µ 0 0 E H = (116.1) Следовательно, E и H одновременно достигают максимума, одно- временно обращаются в нуль и т. д. От волновых уравнений (115.1) и (115.2) можно перейти к урав- нениям вида ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 E x v E t y y ; (116.2) ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 H x v H t z z , (116.3) где соответственно индексы y и z при E и H подчеркивают лишь то, что векторы E и H направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей Y и Z (см. рис. 134). Уравнениям (116.2) и (116.3) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромаг- нитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями E y = E 0 cos ( ωt − kx + j); (116.4) H z = H 0 cos ( ωt − kx + j), (116.5) где E 0 и H 0 — соответственно амплитуды напряженностей элек- трического и магнитного полей волны; ω — циклическая частота; k v = ω — волновое число; j — начальные фазы колебаний в точках с координатой x = 0 (в обоих уравнениях j одинаково, так как колеба- ния электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковой фазе — они одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимальных значений). § 117. энергия и импульс электромагнитной волны Энергия электромагнитной волны переносится в направлении ее распространения. Объемная плотность энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей энергий электрического (78.6) и магнитного (101.5) полей: w w w E H = + = + эл м ε ε µ µ 0 2 0 2 2 2 (117.1) 205 Учитывая выражение (116.1), получим, что объемные плотности энергии электрического и магнитного полей в каждый момент вре- мени одинаковы, т. е. w эл = w м . Поэтому можно записать w w E EH = = = 2 0 2 0 0 эл ε ε ε µ εµ или объемную плотностьэнергии электромагнитных волн в про- извольный момент времени в данной точке пространства можно представить в виде w EH v = (117.2) [учли формулу (115.3)]. Умножив выражение (117.2) на скорость волны v, получим модуль плотности потока энергии S (энергия, переносимая волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны): S = wv = EH. (117.3) Так как векторы E и H взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора [ E, H ] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH. Таким образом, вектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова) можно записать в виде векторного про- изведения S E H =[ , ]. (117.4) Вектор S направлен в сторону распространения электромагнит- ной волны. Из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны долж- ны оказывать на тела давление. Это объясняется тем, что под дей- ствием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают двигаться упорядоченно и подвергаются со стороны маг- нитного поля волны действию силы Лоренца. Эта сила, отнесенная к единице поверхности, и есть давление электромагнитной волны. Давление электромагнитных волн на твердые тела (1899) и газы (1910) экспериментально подтверждено П. Н. Лебедевым. Существование давления электромагнитных волн приводит к вы- воду, что электромагнитному полю можно приписать универсальную характеристику — импульс. В самом деле, если на плоскую поверх- ность S абсолютно поглощающего тела падает электромагнитная волна, то вследствие существования давления электромагнитной волны на тело действует сила F = pS. Согласно же второму закону Ньютона, сила равна импульсу, полученному телом за единицу време- ни. Следовательно, электромагнитное поле волны переносит с собой определенный импульс. Импульс, передаваемый электромагнитной волной единичной поглощающей площадке, это давление p электро- магнитной волны: p = <w> — давление, равное средней объемной плотности энергии в пада- ющей волне. § 118. свет как электромагнитная волна Как уже отмечалось (см. § 115), сравнение формул для опреде- ления фазовой скорости электромагнитной волны (115.3), скорости распространения электромагнитной волны в вакууме (115.4), а также поперечность электромагнитных и световых волн позволили Мак- свеллу заключить, что свет представляет собой электромагнитные волны. Электромагнитные волны обладают широким диапазоном частот (или длин волн в вакууме λ = c/ν); они отличаются по способам генерации, регистрации, а также по своим свойствам. Поэтому электромагнитные волны разделяют на несколько видов: радиоволны, оптическое излучение (инфракрасное, видимое и ультрафиолетовое), рентгеновское излучение и гамма-излучение. Подчеркнем, что границы между различными видами электро- магнитных волн довольно условны. Шкала электромагнитных волн приведена на рис. 135. рис. 135 207 Гл а в а 17 интЕРФЕРЕнЦия свЕта § 119. интерференция световых волн Поскольку свет имеет волновую природу, то ему должно быть присуще явление интерференции. Как уже указывалось (см. § 114), необходимым условием интерференции волн является их когерент ность, т. е. согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Когерентность волн бывает: временн • й — когерентность колебаний, совершающихся в одной и той же точке, но в разные моменты времени; пространственной • — когерентность колебаний, совершаю- щихся в один и тот же момент времени в разных точках плоско- сти, перпендикулярной направлению распространения волны. Этим условиям удовлетворяют монохроматические волны — неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты. Излучение источника света складывается из волн, посылаемых множеством атомов. Каждый атом, в свою очередь, излучает свет в виде отдельных коротких импульсов — волновых |