Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
эквипотенциальными поверхностями. 125 Если поле создается точечным зарядом [см. (67.5)], то эквипотенциальные поверхности в данном случае — концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда — радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотен- циальным поверхностям. Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Дей- ствительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности на ее малом участке d l равна ∆A = Q 0 E dl cos α = Q 0 ( j 1 − j 2 ) = 0, откуда следует, что α π = 2 и век- тор E всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям. Вектор напряженности, кроме того, всегда направлен в сторону убывания потенциала. На рис. 81 для примера показан вид линий напряженности (штри- ховые линии) и сечений эквипотенциальных поверхностей (сплош- ные линии) поля положительного точечного заряда. В соответствии с характером зависимости E от r [см. (67.5)] эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду становятся гуще. § 68. Поток вектора напряженности электростатического поля Чтобы с помощью линий напряженности электростатического поля характеризовать не только направление вектора E (см. § 64), но и его модуль, линии напряженности проводят с определенной густотой (рис. 82), причем число линий напряженности, пронизы- вающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора E. Число линий напряженности, пронизывающих площадку d S, нормаль n к которой образует угол α с вектором E (рис. 83), равно EdS cos α = E n d S, где E n — проекция вектора E на нормаль n к площадке dS. Величина d d d Φ E n E S E S = = (68.1) называется потоком вектора напряженности сквозь площадку d S, где d d S S n = — вектор, рис. 81 рис. 82 126 модуль которого равен d S, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Единица потока вектора напряжен- ности электростатического поля — вольт-метр (В ⋅м). Для произвольной замкнутой по- верхности S поток вектора E сквозь эту поверхность Φ E n S S E S E S = = ∫ ∫ d d , (68.2) где знак S ∫ означает, что интеграл берется по замкнутой поверх- ности S. Поток вектора E является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля E, но и от выбора направления n. Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью. § 69. теорема гаусса для электростатического поля в вакууме Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 84), равен [см. (68.2)] Φ E n S E S Q r r Q = = = ∫ d 4 4 0 2 2 0 πε π ε (69.1) Можно доказать, что для поверхно- сти любой формы, если она замкнута и включает в себя точечный заряд Q, поток вектора E будет равен Q ε 0 , т. е. Φ E S n S E S E S Q = = = ∫ ∫ d d ε 0 . (69.2) Знак потока совпадает со знаком за- ряда Q. Если произвольная поверхность окру- жает n зарядов, то согласно принципу рис. 83 рис. 84 127 суперпозиции (65.2) E E i i = ∑ , где E i — поле, создаваемое i-м за- рядом. Поэтому Φ E S i i S i S i E S E S E S = = = ∫ ∑ ∫ ∫ ∑ d d d . Согласно (69.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком сум- мы, равен Q i ε 0 . Следовательно, E S E S Q S n S i i n d d ∫ ∫ ∑ = = = 1 0 1 ε (69.3) Формула (69.3) выражает теорему Гаусса для электростатиче ского поля в вакууме: поток вектора напряженности электростати- ческого поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов. В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью заряда ρ = d d Q V (69.4) — заряд, приходящийся на единицу объема. Тогда теорему Гаусса (69.3) можно записать в виде E S E S V S n S V d d d ∫ ∫ ∫ = = 1 0 ε ρ , (69.5) где ρdV V ∫ — суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой по- верхности S, охватывающей некоторый объем V. § 70. некоторые примеры расчета электростатических полей Равномерно заряженная бесконечная плоскость с поверхност- ной плотностью s. Поверхностная плотность заряда s = d d Q S (70.1) — физическая величина, определяемая зарядом, приходящимся на единицу поверхности. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось пер- 128 пендикулярна ей (рис. 85). Так как образующие цилиндра парал- лельны линиям напряженности, то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания E n совпадает с E ), т. е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверх- ности, равен sS. Согласно теореме Гаусса (69.3), 2 0 ES S = s ε , откуда E = s ε 2 0 (70.2) Отметим, что бесконечность плоскости понимается как физи- ческая, а не математическая абстракция, т. е. формула (70.2) спра- ведлива лишь в относительно близкой по сравнению с линейными размерами плоскости области пространства. Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x 1 и x 2 от плоскости, равна j j s ε s ε 1 2 0 0 2 1 1 2 1 2 2 2 − = = = − ∫ ∫ E x x x x x x x x d d ( ) [учли формулу (67.9)]. Две бесконечные параллельные разноименно заряженные плоскости с поверхностными плотностями +s и –s. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности (см. § 65). В области между плоскостями (рис. 86) складываемые поля [определяются формулой (70.2)] имеют одинаковое направление, поэтому результирующая напряженность E = s ε 0 (70.3) Вне объема, ограниченного плоскостями, складываемые поля имеют противоположные направления, и результирующая напря- женность E = 0. рис. 85 рис. 86 129 Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми d [см. формулу (67.9)], равна j j s ε s ε 1 2 0 0 0 0 2 − = = = ∫ ∫ E x x d d d d d (70.4) Равномерно заряженная сферическая поверхность радиусом R (общий заряд Q) с поверхностной плотностью +s. Благодаря равно- мерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 87). Мысленно построим сферу радиусом r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Поле является центрально-симметричным относительно центра сферы. Напряженность является функцией расстояния r от центра сферы и одинакова во всех точках, равноуда- ленных от ее сферы (одинакова во всех точках воображаемой сферы радиусом r). Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создаю- щий рассматриваемое поле, и по теореме Гаусса (69.3) E r r Q ( ) , ⋅ = 4 2 0 π ε откуда E r Q r ( ) = 1 4 0 2 πε ( r >> R). (70.5) Если r ′ < R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует [ E(r) = 0]. Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на рас- стояниях r 1 и r 2 от центра сферы ( r 1 > R, r 2 > R, r 2 > r 1 ), равна j j πε πε 1 2 0 2 0 1 2 1 2 1 2 1 4 4 1 1 − = = = − ∫ ∫ E r r Q r r Q r r r r r r ( ) d d (70.6) [учли формулу (67.9)]. Объемно заряженный шар радиусом R (общий заряд Q) с объемной плотностью ρ [см. (69.4)]. Мысленно построим (рис. 88) сферу радиусом r, имеющую общий центр с заряженным шаром. Поле — центрально- симметрично (центр шара — центр симметрии поля). Как и в случае сферы, E одинакова во всех точках воображаемой сферы радиусом r. Для поля вне шара (r > R) получится тот же результат, что и в случае поверхностно за- рис. 87 130 ряженной сферы, и поле описывается формулой (70.5). Внутри шара (r ′ < R) сфера радиусом r ′ охватывает заряд ′ = ′ Q r 4 3 3 π ρ ( ) . Поэтому, согласно теореме Гаусса (69.3), E r r Q r ( ) ⋅ ′ ( ) = ′ = ′ ( ) 4 4 3 2 0 3 0 π ε π ρ ε Учитывая, что ρ π = Q R 4 3 3 , получаем E r Q R r ( ) = ′ 1 4 0 3 πε ( r ′ ≤ R). (70.7) Таким образом, напряженность поля вне шара убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда, а внутри шара — растет линейно с расстоянием r ′ от центра шара. Напряженность поля объемно заряженного шара вне шара опреде- ляется формулой (70.5), поэтому разность потенциалов между двумя точками определяется выражением (70.6). Внутри шара разность потенциалов между двумя точками, расположенными на расстояни- ях r 1 ′ и r 2 ′ от центра шара (r 1 ′ < R, r 2 ′ < R, r 2 ′ > r 1 ′), равна j j πε 1 2 0 2 2 1 2 1 2 8 − = = ′ ( ) − ′ ( ) ′ ′ ∫ E r Q R r r r r d (70.8) [учли формулу (67.9)]. § 71. Поляризация диэлектриков Диэлектрики — вещества, в которых практически отсутствуют свободные носители заряда и которые не проводят электрический ток (термин «диэлектрики» введен Фарадеем). Идеальных диэлектриков в природе не существует, так как все ве- щества в какой-то степени проводят электрический ток. Диэлектрики проводят электрический ток примерно на 15—20 порядков хуже, чем вещества, называемые проводниками (см. § 74). Диэлектрик (как и всякое вещество) состоит из атомов и молекул. Так как положительный заряд всех ядер молекулы равен суммарному заряду электронов, то молекула в целом электрически нейтральна. Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядом +Q, находящимся в центре масс положительных зарядов, а заряд всех электронов — суммарным отрицательным зарядом −Q, находящимся в центре масс отрицательных зарядов, то молекулу рис. 88 131 можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом [см. (65.3)] p Q l = , где l — расстояние между центрами масс положительных и отрицательных зарядов. Если молекулы диэлектриков (например, N 2 , H 2 , O 2 , CO 2 ) имеют симметричное строение, т. е. центры масс положительных и отри- цательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля со- впадают, то дипольный момент таких молекул равен нулю; подобные молекулы называют неполярными. Под действием внешнего элек- трического поля заряды неполярных молекул смещаются в противо- положные стороны (положительные по полю, отрицательные против поля) и молекула приобретает дипольный момент. Если молекулы диэлектриков (например, H 2 O, NH 3 , SO 2 , CO) имеют асимметричное строение, т. е. центры масс положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля не совпадают, то дипольный момент таких молекул отличен от нуля; подобные молекулы называют полярными. При отсутствии внешнего поля дипольные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориентированы в простран- стве хаотично и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля и возникает отличный от нуля результирующий дипольный момент. Таким образом, внесение диэлектриков с неполярными и по- лярными молекулами во внешнее электрическое поле приводит к возникновению отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика или, иными словами, к поляризации диэлек- трика. Поляризацией диэлектрика называют процесс ориентации диполей или появления под воздействием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей. § 72. напряженность поля в диэлектрике Как уже рассматривалось в § 71, под действием внешнего электро- статического поля диэлектрик поляризуется. Характеристикой поляризации диэлектрика является векторная величина — поляри зованность, определяемая дипольным моментом единицы объема диэлектрика: P p V p V V i i = = ∑ , (72.1) где дипольный момент диэлектрика p p V i i = ∑ ( p i — дипольный момент i-й молекулы). Для изотропных диэлектриков поляризованность и напряжен- ность поля в данной точке связаны соотношением 132 P E = ì ε 0 , (72.2) где — диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства диэлек- трика; — величина безразмерная. Внесем однородный и изотропный диэлек- трик в виде бесконечной плоскопараллельной пластины (свойства диэлектрика одинаковы во всех точках и по всем направлениям) во внешнее однородное электростатическое поле, созданное двумя разноименными плоскостями с поверхностными плотностями +s и −s (рис. 89). Под действием поля диэлектрик поляризует- ся, т. е. происходит смещение зарядов: положительные смещаются по полю, отрицательные — против поля. В результате этого на правой грани диэлектрика, обращенного к отрицательной плоскости, будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью +s ′, на левой — отрицательного заряда с поверхностной плотностью −s ′. Эти нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате по- ляризации диэлектрика, называются связанными. Связанные заряды создадут внутри диэлектрика однородное поле, напряженность которого согласно (70.3) ′ = ′ E s ε 0 (72.3) Поле E ′ направлено против внешнего поля E 0 (поля, создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его (см. рис. 89). Результирующее поле внутри диэлектрика E E = − ′ 0 0 s ε ; (72.4) вне диэлектрика E = E 0 . Из-за появления на диэлектрике связанных зарядов часть линий напряженности не пройдет сквозь диэлектрик, а будет заканчиваться (или начинаться) на связанных зарядах. Для определения s ′ вспомним, что дипольный момент пластинки диэлектрика [см (72.1)] p V = PV = PSd, где S — площадь грани пла- стинки; d — ее толщина. С другой стороны, дипольный момент, согласно (65.3), равен произведению связанного заряда каждой грани Q ′ = s ′S на рассто- яние d между ними, т. е. p V = s ′Sd. Таким образом, PSd = s ′Sd, или s ′ = P, (72.5) т. е. поверхностная плотность s ′ связанных зарядов для рассмот- ренного частного случая равна поляризованности P. Отметим, что рис. 89 133 в общем виде в формуле (72.5) стоит P n — нормальная компонента вектора поляризованности. Подставив в (72.4) выражения (72.5) и (72.2), получаем E = E 0 − E, откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика 0 0 , 1 E E E = = + ε (72.6) где безразмерная величина ε = 1 + (72.7) — |