Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
теплообмена (процесс обмена внутренними энергиями при контакте тел с разными температурами). Пусть система (газ, заключенный в цилиндр под поршнем), обла- дая внутренней энергией U 1 , получила некоторое количество тепло- ты Q и, совершив работу A над внешней средой, т. е. против внешних сил, перешла в новое состояние, характеризующееся внутренней энергией U 2 Количество теплоты считается положительным, когда оно подводится к системе, а работа — положительной, когда система совершает ее против внешних сил. В соответствии с законом сохранения энергии при любом спосо- бе перехода системы из первого состояния во второе изменение вну- тренней энергии ∆U = U 2 − U 1 будет одинаковым и равным разности между количеством теплоты Q, полученным системой, и работой A, совершенной системой против внешних сил: ∆U = Q − A, или Q = ∆U + A. (53.1) Уравнение (53.1) выражает первое начало термодинамики: теплота, полученная системой, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение ею работы против внешних сил. Выражение (53.1) для элементарного процесса можно записать в виде d Q = dU + dA, (53.2) где d Q — бесконечно малое количество теплоты; dU — бесконечно малое изменение внутренней энергии системы; d A — элементарная работа. 101 Из формулы (53.1) следует, что в СИ количество теплоты выража- ется в тех же единицах, что работа и энергия, т. е. в джоулях (Дж). Если система периодически возвращается в первоначальное со- стояние, то изменение ее внутренней энергии ∆U = 0. Тогда, согласно первому началу термодинамики, A = Q, (53.3) т. е. вечный двигатель первого рода — периодически действующий двигатель, который совершал бы большую работу, чем сообщенная ему извне энергия, невозможен (одна из формулировок первого на- чала термодинамики). Первое начало термодинамики может быть представлено также в виде ∆U = A ′ + Q, (53.4) т. е. изменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме совершенной над системой работы A ′ и полученной системой теплоты Q. В формулах (53.1) и (53.4) A ′ = −A ′. § 54. теплоемкость. Уравнение майера Теплоемкостью называют физическую величину, определяемую количеством теплоты, необходимой для нагревания тела на 1 К: C Q T = d d , (54.1) где d Q — количество теплоты, сообщение которого повышает температуру тела на d T. Единица теплоемкости в СИ — джоуль на кельвин (Дж/К). Рассматривают также удельную теплоемкость • (теплоемкость единицы массы веще- ства) c Q m T = d d (54.2) (единица в СИ — джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг ⋅К)); • молярную теплоемкость (теплоемкость 1 моль вещества) C Q T m d d = ν (54.3) [ ν = m/M — количество вещества. Единица в СИ — джоуль на моль-кельвин (Дж/(моль ⋅К)]. 102 Удельная теплоемкость связана с молярной соотношением C m = cM, (54.4) где M — молярная масса вещества. Различают теплоемкость при постоянном объеме (давлении), если в процессе нагревания вещества его объем (давление) поддер- живается постоянным. Согласно первому началу термодинамики (53.2) d Q = dU + dA, отнесенному к 1 моль газа с учетом (51.1) и (54.3): C m d T = dU m + p dV m (54.5) Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил равна нулю [см. (52.1)] и сообщаемая газу извне теплота идет только на увеличение его внутренней энергии: C U T V = d d m , (54.6) т. е. молярная теплоемкость газа при постоянном объеме C V равна изменению внутренней энергии 1 моль газа при повышении его температуры на 1 К. Согласно (52.2) для 1 моль газа d d m U i R T = 2 , тогда C i R V = 2 , (54.7) где i — число степеней свободы. Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (54.5) можно записать в виде C U T p V T p = + d d d d m m (54.8) Учитывая формулу (54.6) и уравнение Клапейрона—Менделеева (43.4) для p = const p dV m = R dT, выражение (54.8) запишется в виде C p = C V + R. (54.9) Выражение (54.9) называют уравнением Майера. Оно справед- ливо только для идеального газа. Из уравнения Майера следует, что C p всегда больше C V на вели- чину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще дополни- тельное количество теплоты на совершение работы по расширению газа, так как постоянство давления обеспечивается увеличением объема газа. 103 Молярная теплоемкость при постоянном давлении C i R p = + 2 2 (54.10) [учли (54.9) и (54.7)]. При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерное для каждого газа отношение C p к C V : γ = = + C C i i p V 2. (54.11) § 55. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам Применим первое начало термодинамики к изопроцессам — равновесным процессам, при которых один из основных параметров постоянен. Таковыми являются изохорный, изобарный и изотерми- ческий процессы (см. § 41). Изохорный процесс (V = const). При изохорном процессе газ не совершает работу над внешними телами, поскольку согласно (52.1) d A = pdV = 0. Из первого начала термодинамики (53.2) следует, что в случае изохорного процесса d Q = dU, т. е. вся теплота, сообщаемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии. Согласно формуле (54.6) d U m = C V d T. Тогда для произвольной массы газа получим d d d Q U m M C T V = = (55.1) Изобарный процесс (p = const). Рассмотрим изобарное расшире- ние идеального газа (рис. 66). Изобара в координатах p, V изобража- ется прямой, параллельной оси V. При изобарном процессе работа газа [см. (52.2)] при увеличении объема от V 1 до V 2 равна A p V p V V V V = = − ( ) ∫ d 1 2 2 1 (55.2) и определяется площадью тонированного прямоугольника. 104 Из уравнения Клапейрона—Менделеева (43.6) для состояний 1 и 2 pV m M RT 1 1 = , pV m M RT 2 2 = Подставив эти формулы в (55.2), получим, что работа изобарного расширения A m M R T T = − ( ) 2 1 (55.3) Из этого выражения вытекает физический смысл молярной газовой постоянной R: если T 2 − T 1 = 1 К, то для 1 моль газа R = A, т. е. R численно равна работе изобарного расширения 1 моль идеального газа при нагревании его на 1 К. В случае изобарного сжатия работа A < 0, т. е. не газ совершает работу, а, наоборот, внешние силы совершают положительную ра- боту A ′ по сжатию газа, т. е. A ′ = −A. В изобарном процессе при сообщении газу массой m количества теплоты d d Q m M C T p = (55.4) его внутренняя энергия возрастает на величину [согласно формуле (54.6)] d d U m M C T V = (55.5) При этом газ совершает работу, определяемую формулой (55.3). Изотермический процесс (T = const). Рассмотрим изотермиче- ское расширение идеального газа (рис. 67). Изотерма в координатах p, V задается гиперболой. Работа изотермического расширения газа с учетом (51.2) и (43.6) A p V m M RT V V m M RT V V V V V V = = = ∫ ∫ d d 1 2 1 2 2 1 ln (55.6) и определяется площадью тонированной фигуры на рис. 67. При T = const внутренняя энергия идеального газа не изменяет- ся, т. е. dU m M C T V = = d 0. Из первого начала термодинамики (53.2) следует, что в случае изотермического процесса все коли- чество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил: d Q = dA. (55.7) рис. 66 рис. 67 105 Тогда согласно (55.7) и (55.6) Q A m M RT V V m M RT p p = = = ln ln 2 1 1 2 (55.8) (учли закон Бойля—Мариотта (42.1) p 1 V 1 = p 2 V 2 ). Следовательно, для того чтобы при расширении газа температу- ра не понижалась, к газу в течение изотермического процесса не- обходимо подводить количество теплоты, эквивалентное внешней работе расширения. § 56. адиабатный процесс Адиабатный процесс — процесс, при котором отсутствует те- плообмен между системой и окружающей средой (d Q = 0). Близким к адиабатному можно считать процесс быстрого расширения или сжатия газа, например расширение и сжатие горючей смеси в ци- линдрах автомобилей. Согласно первому началу термодинамики (53.2) d Q = dU + dA, в случае адиабатного процесса d A = − dU, (56.1) т. е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы. Это уравнение с учетом (52.1) и (51.2) запишем в виде p V m M C T V d d = − (56.2) Продифференцировав уравнение Клапейрона—Менделеева pV m M RT = , получим p V V p m M R T d d d + = Исключив из двух последних уравнений температуру, найдем p V V p p V R C C C C V p V V d d d + = − = − − [учли уравнение Майера (54.9)]. Разделив переменные и учитывая, что C C p V = γ [см. (54.11)], найдем d d p p V V = −γ Интегрируя это уравнение в пределах от p 1 до p 2 и соответственно от V 1 до V 2 , а затем потенцируя, придем к выражению p p V V 2 1 1 2 = γ , или p 1 V 1 γ = p 2 V 2 γ Так как состояния 1 и 2 выбраны про- извольно, можно записать pV γ = const. (56.3) Выражение (56.3) — уравнение адиа батного процесса, называемое также уравнением Пуассона. Применяя уравнение Клапейрона—Менделеева pV m M RT = , ис- ключив давление в (56.3), придем к формуле ТV γ−1 = const. (56.4) Это — также уравнение адиабатного процесса. График зависи- мости между параметрами состояния идеального газа при d Q = 0 называют адиабатой. Адиабата в координатах p, V изображается гиперболой (рис. 68). На рисунке видно, что адиабата ( pV γ = const) более крута, чем изотерма ( pV = const). Это объясняется тем, что при адиабатном сжатии увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объема, как при изотермическом сжатии, но и по- вышением температуры. Вычислим работу, совершаемую газом в адиабатном процессе. Запишем уравнение (56.1) в виде d d A m M C T V = − Если газ адиабатно расширяется от объема V 1 до V 2 , то его тем- пература уменьшается от T 1 до T 2 и работа расширения идеального газа A m M C dT m M C T T V T T V = − = − ( ) ∫ 1 2 1 2 (56.5) и определяется площадью тонированной фигуры на рис. 68. рис. 68 107 Гл а в а 9 втоРоЕ начало тЕРмодинамики § 57. круговой процесс (цикл). необратимость тепловых процессов Процесс, при котором система, претерпев ряд изменений, возвра- щается в исходное состояние, называют круговым, или циклом. На диаграмме p, V цикл изображается замкнутой кривой (рис. 69). Цикл, совершаемый идеальным газом, можно разбить на процессы расширения ( 1—2) и сжатия (2—1) газа. Работа расширения (опреде- ляется площадью фигуры 1a2V 2 V 1 1) положительна (dV > 0), работа сжатия (определяется площадью фигуры 2b1V 1 V 2 2) отрицательна (d V < 0). Следовательно, работа, совершаемая газом за цикл, опреде- ляется площадью, охватываемой замкнутой кривой. Если за цикл совершается положительная работа (A > 0) (цикл совершается по часовой стрелке), то его называют прямым (именно такой цикл изображен на рис. 69). Цикл, при котором совершается отрицательная работа (A < 0) (цикл протекает против часовой стрелки), называют обратным. В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние и, следовательно, полное изменение внутренней энергии газа равно нулю ( ∆U = 0). Поэтому первое начало термодинамики (53.1) для кругового процесса Q = ∆U + A = A, (57.1) т. е. работа, совершаемая за цикл, равна количеству полученной из- вне теплоты. Однако в результате кругового процесса система может теплоту как получать, так и отдавать, поэтому Q = Q 1 – Q 2 , (57.2) где Q 1 — количество теплоты, полученное системой; Q 2 — количество теплоты, отданное системой. Термодинамический процесс называется обра тимым, если он может происходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой процесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и в рис. 69 108 этой системе не происходит никаких изменений. Любой процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым. Все тепловые процессы являются необратимыми. Теплообмен всегда происходит от горячего тела к холодному самопроизвольно, причем до тех пор, пока температуры тел не окажутся одинако- выми. Например, горячий кофе, налитый в чашку, постепенно остывает, нагревая воздух. Но теплый кофе в чашке никогда само- произвольно не закипит при охлаждении окружающего его воздуха. Следовательно, энергия всегда передается сама собой от тел с более высокой температурой к телам с более низкой температурой, т. е. только в одном направлении. Таким образом, необратимые про- цессы — процессы, которые могут протекать в одном, определенном направлении. Отметим, что равновесный процесс всегда обратим. Обратимые процессы — это идеализация реальных процессов. В некоторых конкретных случаях термодинамические процессы приближенно можно считать обратимыми. Кроме того, все количественные выво- ды термодинамики применимы только к равновесным состояниям и обратимым процессам. § 58. энтропия и ее статистический смысл Для описания теплового движения, а оно качественно отличается от других видов движения беспорядочностью, хаотичностью, вводят количественную меру степени молекулярного беспорядка — энтро- пию. Термин |