Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
фигурами Лиссажу. Вид этих траекторий зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. На рис. 48 приведены фигуры Лиссажу при различных отношениях частот (2:1, 3:1, 2:3) и разности начальных фаз, равной π 2 Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигуры Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по извест- ной или определить отношение частот складываемых колебаний. § 37. свободные затухающие колебания Свободные (см. § 31) механические колебания всегда затухающие, поскольку во всякой реальной колебательной системе действуют силы трения. рис. 47 рис. 48 74 Энергия колебательной системы, расходуясь на работу против сил трения, уменьшается, соответственно уменьшается и амплитуда колебаний, т. е. колебания становятся затухающими. Рассмотрим затухающие колебания на примере пружинного ма- ятника (см. § 33) массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы F = −kx. Сила трения пропорциональна скорости, т. е. F rv rx тр = − = − , (37.1) где r — коэффициент сопротивления; знак « −» указывает на противоположные направления силы трения и скорости. При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид mx kx rx = − − . (37.2) Дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника x x x + + = 2 0 0 2 δ ω , (37.3) где δ = r m 2 (37.4) — коэффициент затухания ( δ = const); ω 0 = k m [см. (33.5)] — ци- клическая частота свободных незатухающих колебаний маятника (при δ = 0 при отсутствии потерь энергии), называемая собственной частотой колебательной системы. Решением уравнения (37.3) в случае малых затуханий ( δ 2 < ω 0 2 ) x = A 0 e −δt cos ( ωt + j), (37.5) где амплитуда затухающих колебаний A = A 0 e −δt (37.6) ( A 0 — начальная амплитуда), а циклическая частота ω ω δ ω 0 0 2 2 0 2 2 2 4 = − = − r m . (37.7) Зависимость (37.5) показана на рис. 49 сплошной линией, а зависимость (37.6) — штриховыми линиями. Промежуток времени τ δ = 1, в течение которого амплитуда затухающих колеба- ний уменьшается в e раз, называют вре менем релаксации. рис. 49 75 Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому зату- хающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним не применимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами): T = = − 2 2 0 2 2 π ω π ω δ (37.8) Если сопротивление среды мало ( δ 2 << ω 0 2 ), то период колебаний практически равен 2 π/ω 0 [см. также (31.2)]. При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебаний растет и при δ = ω 0 обращается в бесконечность, т. е. дви- жение перестает быть периодическим. Колебательная система после однократного возмущения возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний, т. е. процесс становится апериодическим. Для характеристики колебательной системы используют логариф- мический коэффициент затухания θ δ τ = ( ) + ( ) = = = ln , A t A t T T T N 1 e (37.9) где A(t) и A(t + T) — амплитуды, соответствующие моментам времени, различающимся на период; N e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз. Колебательную систему также характеризуют добротностью Q N = = π θ π e , (37.10) откуда следует, что добротность пропорциональна числу колеба- ний N e , совершаемых системой за время релаксации. § 38. вынужденные колебания Важно в реальной колебательной системе поддерживать незату- хающие колебания, для чего следует восполнять потери энергии этой системы. Поэтому к колебательной системе прикладывают внешнюю силу, изменяющуюся по гармоническому закону F = F 0 cos ωt, (38.1) где F 0 и ω — соответственно амплитуда и частота вынуждающей силы. Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называют вынужденными механическими колебаниями. 76 Переменную внешнюю силу, приложенную к системе и вызывающую вынужденные коле- бания, называют вынуждающей силой. Данный вид колебаний опять-таки рассмо- трим на примере пружинного маятника. Закон движения в данном случае с учетом вынуждаю- щей силы (38.1), силы упругости (33.1) и силы трения (37.1) запишется в виде mx kx rx F t = − − + 0 cos ω (38.2) Тогда дифференциальное уравнение вынужденных колебаний маятника x x x F m t + + = 2 0 2 0 δ ω ω cos , (38.3) где учтено, что δ = r m 2 (37.4) — коэффициент затухания; ω 0 = k m (33.5) — собственная частота колебательной системы; ω — частота вынуждающей силы. Не приводя математические выкладки, отметим, что в начале действия вынуждающей силы колебания имеют довольно сложный характер, по прошествии некоторого промежутка времени (времени установления колебаний) движение колебательной системы приоб- ретает установившийся характер и будет совершаться периодиче- ски с постоянной амплитудой A и частотой вынуждающей силы ω (рис. 50). Решение дифференциального уравнения (38.3) для установивших- ся колебаний (его частное решение) имеет вид x = A cos (ωt − j), (38.4) где амплитуда смещения в случае установившихся вынужденных колебаний A F m = − ( ) + 0 0 2 2 2 2 2 4 ω ω δ ω , (38.5) а j δω ω ω = − arctg 2 0 2 2 (38.6) Из формулы (38.5) следует, что амплитуда A зависит от частоты ω внешней вынуждающей силы. Определим резонансную частоту ω рез — частоту, при которой амплитуда A смещения достигает максимума. Для этого нужно найти максимум функций (38.5) или, что то же самое, минимум подкорен- рис. 50 ного выражения. Продифференциро- вав подкоренное выражение по ω и приравняв его нулю, получим условие, определяющее ω рез : −4(ω 2 0 − ω 2 ) ω + 8δ 2 ω = 0. (38.7) Это равенство выполняется при ω = 0, ± − ω δ 0 2 2 2 , у которых только положительное значение имеет физи- ческий смысл. Следовательно, резо- нансная частота ω ω δ рез = − 0 2 2 2 . (38.8) Явление резкого возрастания ам- плитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебательной системы называют ме ханическим резонансом. Подставив (38.8) в выражение (38.5), найдем резонансную ам- плитуду A F m рез = − 0 0 2 2 2 δ ω δ (38.9) Семейство резонансных кривых — зависимостей A от ω при различных параметрах δ — приведена на рис. 51. Из формул (38.8) и (38.9) следует, что с уменьшением δ максимумы кривых лежат выше и правее. При ω → 0 все кривые приходят к одному и тому же, от- личному от нуля предельному значению F m 0 0 2 ω — статическому от клонению. При ω → ∞ все кривые асимптотически стремятся к нулю. С увеличением коэффициента затухания, например при 2 δ 2 > ω 0 2 , выражение (38.8) становится мнимым, что означает отсутствие ре- зонанса (см. нижнюю кривую на рисунке — с увеличением частоты амплитуда монотонно убывает). рис. 51 78 ра з д е л II молЕкУляРная Физика и тЕРмодинамика Гл а в а 7 основы молЕкУляРно-кинЕтичЕской тЕоРии идЕальных газов § 39. статистический метод в молекулярной физике Молекулярная физика — раздел физики, в котором изучаются строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из огромного числа молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении, причем между молекулами одновременно действуют силы притяжения и отталкивания, зависящие от расстояния между молекулами. Атом — наименьшая частица химического элемента, являющаяся носителем его свойств. Молекула — электрически нейтральная частица вещества, об- ладающая его основными свойствами и состоящая из атомов, соединенных между собой химическими связями. Поскольку любое вещество состоит из огромного числа частиц, то поведение такой системы подчиняется статистическим закономер- ностям, описывающим не отдельную частицу, а всю совокупность частиц. Поэтому основой молекулярной физики является статистиче ский метод исследования — метод исследования систем из огромно- го числа частиц, оперирующий статистическими закономерностя- ми и средними значениями физических величин, характеризующих всю совокупность частиц (например, средние значения скоростей теплового движения молекул и их энергий). Процессы, изучаемые молекулярной физикой, — результат сово- купного действия огромного числа молекул. Например, температура тела определяется скоростью хаотического движения его молекул, но поскольку в каждый момент времени разные молекулы движутся с 79 различными скоростями, то температура тела может быть выражена только посредством средних значений скоростей движения. Физическую величину, определяемую числом специфических структурных элементов — молекул, атомов или ионов, из которых состоит вещество, называют количеством вещества. Единица ко- личества вещества в СИ — 1 моль (моль). [См. Введение. Единицы физических величин]; 1 моль — основная единица. § 40. основные понятия молекулярно-кинетической теории Фундаментальную физическую постоянную, определяемую чис- лом атомов (молекул или других структурных единиц), содержащихся в 1 моль различных веществ, называют постоянной Авогадро: N N A = ν , (40.1) где N — число молекул вещества; ν — количество вещества. N A = 6,022⋅10 23 моль −1 (40.2) Напомним, что 1 моль различных веществ содержит одно и то же число молекул. Физическую величину M m = ν , (40.3) равную отношению массы m вещества к количеству вещества ν, называют молярной массой. Молярная масса — это масса 1 моль вещества. Выразив ν из формулы (40.1) и подставив его в (39.3), найдем, что молярная масса вещества M mN N m N = = A A 0 , (40.4) где m/N = m 0 — масса одной молекулы. Единица молярной массы 1 кг/моль (килограмм на моль) — молярная масса вещества, име- ющего при количестве вещества 1 моль массу 1 кг. Физическую величину V V m = ν , (40.5) равную отношению объема V однородной системы к количеству вещества ν системы, называют молярным объемом. Соударяясь со стенками сосуда, газ оказывает на них давление ( p). 80 Давлением называют физическую величину, определяемую силой, действующей на единицу площади поверхности в перпендикулярном к поверхности направлении: p F S = ∆ ∆ (40.6) Единицадавления— паскаль (Па); Па = 1 Н/м 2 § 41. температура. температурные шкалы Температура в повседневной жизни связана с субъективными ощущениями «тепла» и «холода». Для сравнения температуры раз- личных тел, как впрочем и для определения температуры данного конкретного тела, необходимы объективные критерии. При соприкосновении двух тел, имеющих, согласно нашим ощу- щениям, разные температуры (одно тело холодное, другое горячее), холодное тело будет нагреваться, горячее — охлаждаться. По ис- течении какого-то времени наступит некоторое стационарное (не изменяющееся со временем) равновесное состояние тел, называемое тепловым равновесием. Температура тела и есть физическая величина, характеризующая состояние теплового равновесия системы тел. Температура определя- ется средней кинетической энергией атомов (молекул) в телах (газах), совершающих беспорядочное хаотическое движение. Чем выше тем- пература, тем больше скорость их движения, и наоборот. Приборы для измерения температуры посредством контакта с исследуемой средой называют термометрами. Действие всех тер- мометров основано на одном и том же принципе: свойства вещества изменяются при изменении температуры (например, тепловое рас- ширение жидкостей, газов и твердых тел при нагревании, изме- нение объема газа с температурой). Первый термометр изобретен Г. Галилеем (1600), в котором в качестве тела, расширяющегося при нагревании, использовалась вода. В соответствии с решением XI Генеральной конференции по ме- рам и весам (1960) в настоящее время можно применять только две температурные шкалы. 1. Международная практическая шкала (шкала Цельсия) гра- дуируется в градусах Цельсия (°С). Определяется двумя реперными (опорными) точками: 0 °С и 100 °С — соответственно температуры замерзания и кипения воды при давлении 1,013 ⋅10 5 Па. 2. Термодинамическая температурная шкала (шкала Кельви на) градуируется в кельвинах (К). Определяется по одной реперной 81 точке, в качестве которой взята тройная точка воды (температура, при которой лед, вода и насыщенный пар при давлении 609 Па на- ходятся в термодинамическом равновесии). Температура этой точки по данной шкале 273,16 К (точно). Температура T = 0 К называется нулем Кельвина. Это предельно низкая температура, которую невозможно достичь. В термодинамической шкале температура замерзания воды равна 273,15 К (при том же давлении, что и в Международной практической шкале). Термодинамическая температура ( T ) и температура (t) по Между- народной практической шкале связаны соотношением T = 273,15 + t. При расчетах обычно используют формулу T = 273 + t. Единицей термодинамической температуры в СИ является кель вин (К) [См. Введение. Единицы физических величин]; 1 К — основ- ная единица. Кельвин и градус Цельсия равны и отличаются лишь начальными уровнями отсчета температур по этим шкалам. В настоящее время достигнута самая низкая температура 5,9 ⋅10 −12 К (1995, американские физики Э. Корнелл и К. Виман при охлаждении атомов рубидия) и самая высокая 5,1 ⋅10 3 К (США; с ис- пользованием дейтериево-тритиевой плазменной смеси. § 42. законы идеального газа В молекулярно-кинетической теории используют идеализирован- ную модель — идеальный газ. Идеальным называют воображаемый газ, молекулы которого считаются материальными точками, которые не взаимодействуют друг с другом на расстоянии и столкновение которых между собой и со стенками сосуда является абсолютно упругим. Модель идеального газа можно использовать при изучении реаль- ных газов, если они достаточно разрежены. При расчетах, которые не требуют большой точности, при не очень высоких давлениях и не очень низких температурах газы можно рассматривать как идеальные. Кроме того, внося соответствующие поправки на собственный объем молекул и действующие межмолекулярные силы, можно перейти к теории реальных газов. Следует подчеркнуть, что модель идеального газа, как и всякая другая модель, позволяет изучать ограниченный круг явлений, аб- страгируясь от ряда факторов, не особенно влияющих на изучаемые свойства газа. Рассмотрим законы, описывающие идеальные газы [для равно- весных состояний (см. тепловое равновесие, § 41)]. |