Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
теоремой Штейнера: мо- мент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции J C относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния a между осями: J = J C + ma 2 (20.4) § 21. кинетическая энергия вращающегося твердого тела Абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z (рис. 27). Линейная скорость элементарной массы m i v i = ωr i , (21.1) где r i — расстояние массы m i до оси Z (в случае абсолютно твердого тела угловая скорость ω = const). Кинетическая энергия i-й элементарной массы T m v i i i = 2 2 , а кинетическая энергия вращающегося тела [учли (20.1) и (21.1)] T m v m r m r J i i i n i i i n i i i n z вр = = = = = = = ∑ ∑ ∑ 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ω ω ω , где J z — момент инерции тела относительно оси Z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела T J z вр = ω 2 2 (21.2) Из сравнения формул T mv = 2 2 (15.2) и T J z вр = ω 2 2 (21.2) следует, что, как указывалось ранее (см. § 20), момент инерции — мера инертности тела при вращательном движении. В случае плоского движения (движение, при ко- тором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях), например, цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из кинетической энергии поступательного движения со скоростью v C центра рис. 27 46 масс тела и кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела: T mv J С C вр = + 2 2 2 2 ω , где m — масса катящегося тела; J C — момент инерции тела относи- тельно оси, проходящей через его центр масс; ω — угловая скорость тела. § 22. момент силы. Уравнение динамики вращательного движения Различают моменты силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси. Моментом силы F относитель но точки O, из которой проводится радиус-вектор r точки приложе- ния силы (рис. 28), называется физическая величина, определяемая векторным произведением: M r F = [ , ]. Направление M совпадает с направлением поступательного движе- ния правого винта при его вращении от r к F . Модуль момента силы (см. рис. 28) M = Fr sin α = Fl, (22.1) где α — угол между r и F ; r sin α = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой O — плечо силы. Моментом силы относительно неподвижной оси Z называют скалярную величину M z , равную проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительно произвольной точки O данной оси Z (рис. 29). Если ось Z совпадает с направлением вектора M, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью: рис. 28 рис. 29 рис. 30 47 M r F z z =[ , ] . (22.2) Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг не- подвижной оси Z, проходящей через точку O (рис. 30). К этому телу приложена сила F с плечом r. За небольшой промежуток времени d t тело повернется с угловой скоростью ω на угол dj, а точка приложения силы опишет дугу d l = rdj. Работа dA, совершаемая этой силой за этот промежуток времени d t, d A = F dl = F r dj. (22.3) Учитывая, что модуль момента силы равен произведению силы на ее плечо [см. (22.1)], можно записать d A = M z d j, (22.4) где M z — момент силы относительно оси Z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы относительно оси на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: d d d T J J z z = = ω ω ω 2 2 [учли (22.4) и (21.2), а также постоянство момента инерции]. Принимая во внимание, что ω j = d d t , получим M J t J z z z = = d d ω ε или M z = J z ε, (22.5) где ε — угловое ускорение. Уравнение (22.5) — основное уравнение динамики вращатель ного движения относительно неподвижной оси. Обратим внимание на то, что уравнение (22.5) по форме анало- гично основному закону динамики (9.2): F = ma, только в уравнении (22.5) вместо силы фигурирует момент силы, вместо массы — момент инерции и вместо ускорения — угловое ускорение. § 23. момент импульса Как и в случае момента силы (см. § 22), различают моменты импульса относительно неподвижной точки и относительно не- подвижной оси. 48 Моментом импульса материальной точки относительно непо движной точки O называется физическая величина, определяемая векторным произведением: L r p r m v i i i i i i = = [ , ] [ , ], (23.1) где r i — радиус-вектор, проведенный из точки O; p m v i i i = — им- пульс этой материальной точки (рис. 31). Направление L i совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r i к p i Момент импульса материальной точки относительно не подвижной осиZ — скалярная величина L iz , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси (рис. 32). При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси Z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r i , с некоторой скоростью v i . Скорость v i и импульс m v i i перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом векто- ра m v i i . Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной частицы равен L iz = m i v i r i (23.2) и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта. § 24. момент импульса твердого тела относительно оси Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц: L m v r z i i i i n = = ∑ 1 (24.1) или с учетом (6.6) рис. 31 рис. 32 49 L m r m r J z i i i n i i i n z = = = = = ∑ ∑ 2 1 2 1 ω ω ω. Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость: L z = J z ω. (24.2) Продифференцируем уравнение (24.2) по времени: d d d d L t J t J M z z z z = = = ω ε , т. е. d d L t M z z = (24.3) Это выражение — еще одна форма уравнения динамики вра щательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. § 25. закон сохранения момента импульса Запишем уравнение (24.3) в векторном виде d d L t M = (25.1) В замкнутой системе момент внешних сил M = 0 и d d L t = 0, от- куда L = const. (25.2) Выражение (25.2) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса — фундаментальный за- кон природы. Отметим, что сохраняется именно вектор момента импульса. Естественно, что не все реальные системы можно считать зам- кнутыми, т. е. их суммарный момент внешних сил не равен нулю. Однако законом сохранения момента импульса можно пользоваться и для незамкнутых систем в следующем случае. Проекция момента сил на некоторое направление, например на ось Z, равна нулю. Тогда уравнение (25.1) в проекциях на оси координат имеет вид: 50 d d L t M x x = , d d L t M y y = , d d L t z = 0. Следовательно, систему можно считать замкнутой лишь для про- екции момента импульса на ось Z: L z = const. Рассмотрим некоторые проявления закона сохранения момента импульса. Человек, сидящий на скамье Жуковского (она с малым трением вращается вокруг вертикальной оси) и держащий в вытянутых руках гантели, приведен во вращение с угловой скоростью ω (рис. 33, а). Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится (рис. 33, б). Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется ( J 1 ω 1 = J 2 ω 2 ) и угловая скорость вращения ω 2 возрастает. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения. Пусть человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в ру- ках колесо, вращающееся вокруг горизонтальной оси (рис. 34, а). Начальный момент импульса L z = 0. Если поднять вращающееся колесо (рис. 34, б), то L z остается равным нулю (поворот колеса осуществляется за счет внутренних сил), и скамья начнет вращаться в направлении, противоположном направлению вращения колеса с угловой скоростью ω 2 , удовлетворяющей равенству L z = J 1 ω 1 − − J 2 ω 2 = 0, где J 1 — момент инерции колеса; ω 1 — угловая скорость колеса; J 2 — момент инерции системы «человек + скамья». Заканчивая рассмотрение динамики поступательного и враща- тельного движения, сопоставим основные величины и уравнения, рис. 33 определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его посту- пательное движение (табл. 2). Т а б л и ц а 2 Поступательное движение Вращательное движение Масса m Момент инерции J Скорость v r t = d d Угловая скорость ω j = d d t Ускорение a v t = d d Угловое ускорение ε ω = d d t Сила F Момент силы M z или M Импульс p mv = Момент импульса L z = J z ω Основное уравнение динамики F ma = ; F p t = d d Основное уравнение динамики M z = J z ε; M L t = d d Работа d A = F s d s Работа d A = M z d j Кинетическая энергия mv 2 2 Кинетическая энергия J z ω 2 2 рис. 34 52 Гл а в а 5 элЕмЕнты РЕлятивистской мЕханики § 26. Постулаты специальной (частной) теории относительности Как указывалось ранее, классическая механика прекрасно описы- вает движение макротел, движущихся с малыми скоростями ( v << c). А.Эйнштейн (1905) обратил внимание на то, что распространение представлений классической физики в область больших скоростей неправомерно. Анализ теоретических выкладок, экспериментальных данных, а также многих имеющихся противоречий к началу XX в. позво- лил Эйнштейну создать специальную теорию относительности (СТО) — теорию, описывающую законы механики и пространственно- временные отношения в инерциальных системах отсчета при скоро- стях движения, сравнимых со скоростью света. В рамках специальной теории относительности, называемой также релятивистской теори- ей, классическая механика Ньютона является предельным случаем для малых скоростей ( v << c). Обобщение СТО для гравитационных полей представляет собой общую теорию относительности. Специальная теория относительности опирается на два постула- та. Первый постулат Эйнштейна (принцип относительности) утверждает равноправие всех инерциальных систем отсчета. Этот постулат, таким образом, распространяет принцип относительно- сти Галилея (см. § 11) на все без исключения физические явления. Согласно этому принципу, все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность закона природы означает неизменность вида закона при замене в нем координат и времени одной системы отсчета координатами и временем другой системы отсчета. Второй постулат Эйнштейна (принцип постоянства скоро сти света) утверждает, что скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Согласно второму постулату Эйнштейна, постоянство скорости света — фундаментальное свойство природы. Если все другие скорости изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то скорость света в вакууме — величина инвари- антная. 53 Из постулатов Эйнштейна следует также, что скорость света в вакууме является предельной. Именно предельный характер этой скорости и объясняет одинаковость скорости света во всех инерциальных системах отсчета. В самом деле, согласно первому постулату Эйнштейна, законы природы одинаковы во всех инерциальных си- стемах отсчета. То, что скорость любого сигнала не может быть больше предельной, тоже закон природы. Следовательно, значение предельной скорости — скорости света в вакууме — должно быть одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Если бы это было не так, то эти системы можно было бы отличить друг от друга. Постоянство скорости света приводит к тому, что понятие одно- временности (являющееся в ньютоновской механике абсолютным!) на самом деле относительно. Для примера рассмотрим две инерциальные системы отсчета (рис. 35): систему K (с координатами x, y, z) и систему K ′ (с коор- динатами x ′, y ′, z ′), движущуюся относительно K вдоль оси X со скоростью v = const. В начальный момент времени t = t ′ = 0, когда начала координат O и O ′ совпадают, в этой точке излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна, скорость света в обеих системах одна и та же и равна c. Поэтому, если за время t в системе K сигнал дойдет до некоторой точки A, пройдя расстояние x = ct, то в системе K ′ координата светового импульса в момент до- стижения точки A такова: x ′ = ct ′ (t ′— время прохождения светового импульса от начала координат до точки A в системе K ′). Тогда x ′ − x = c(t ′ − t). Так как x ′ ≠ x (система K ′ перемещается по отношению к систе- ме K ), то t ′ ≠ t, т. е. отсчет времени в системах K и K ′ различен — отсчет времени имеет относительный характер (в классической физике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета течет одинаково, т. е. t = t ′). § 27. Преобразования лоренца |