Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
Преобразования Лоренца устанавливают связь координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой в специальной теории относительности. Они удовлетворя- рис. 35 54 ют постулатам Эйнштейна (см. § 26) и в предельном случае ( v << c) переходят в классические преобразования Галилея (см. § 11). Если система отсчета K ′ движется относительно системы K со скоростью v, направленной вдоль общей для обеих систем оси X (см. рис. 35), то переход от одной инерциальной системы ( K ) к другой ( K ′) подчиняется преобразованиям Лоренца: ′ = − − ′ = ′ = ′ = − − x x vt v c y y z z t t vx c v c 1 1 2 2 2 2 2 ; ; ; (27.1) При v > c выражения для x ′ и t ′ теряют физический смысл (стано- вятся мнимыми). Это соответствует постулату Эйнштейна, согласно которому движение со скоростью, большей скорости распростра- нения света в вакууме, невозможно. Из преобразований Лоренца следует важный вывод, что расстояние и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считаются абсолютными, не изменяющимися при переходе от одной системы к другой. Как пространственные, так и временные преобразования не яв- ляются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени — пространствен- ные координаты, т. е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. § 28. некоторые следствия из преобразований лоренца Относительность одновременности. Пусть в системе K в точках с координатами x 1 и x 2 в моменты времени t 1 и t 2 происходят два со- бытия. Согласно преобразованиям Лоренца (27.1) в системе K ′ этим событиям соответствуют моменты времени ′ = − − t t vx c v c 1 1 1 2 2 2 1 ; ′ = − − t t vx c v c 2 2 2 2 2 2 1 (28.1) Из (28.1) следует, что если события в системе K пространственно разобщены ( x 1 ≠ x 2 ), но одновременны ( t 1 = t 2 ), то в системе K ′ они не будут одновременными. 55 Таким образом, одновременность — понятие относительное, т. е. то, что одновременно в одной системе отсчета, не одновременно в другой. Поэтому, говоря об одновременности событий, надо обя- зательно указать систему отсчета, иначе понятие одновременности теряет всякий смысл. Промежуток времени между событиями в разных инерциаль- ных системах отсчета. Пусть в некоторой точке (с координатой x), покоящейся относительно системы K, происходят последовательно в моменты времени t 1 и t 2 два события. Временной интервал между этими событиями τ = t 2 − t 1 В системе K ′, движущейся относительно K со скоростью v : τ ′ = t ′ 2 − t ′ 1 (28.2) При подстановке (28.1) в (28.2) найдем ′ = − − τ t t v c 2 1 2 2 1 , или ′ = − τ τ 1 2 2 v c (28.3) — релятивистское замедление времени: τ ′, измеренный движу- щимися часами, больше, чем интервал времени τ, между теми же событиями, измеренный покоящимися часами. Таким образом, промежуток времени между двумя событиями в разных инерциальных системах отсчета разный. В системе K ′ τ ′ > τ, т. е. медленнее процесс протекает в системе K ′, нежели в системе K. Это означает, что часы, движущиеся относительно инер- циальной системы отсчета, идут медленнее, чем неподвижные часы (предполагается, что часы идентичны). Длина тел в разных инерциальных системах отсчета. Рас- смотрим стержень, расположенный вдоль оси X ′ и непо движный в системе K ′ (рис. 36). В системе K ′ длина стержня равна l ′ 0 = x ′ 2 − x ′ 1 , где x ′ 1 и x ′ 2 — не изменяющиеся со време- нем t ′ координаты начала и конца стерж- ня, а индекс «0» показывает, что в системе отсчета K ′ стержень покоится. Относительно системы K стержень движется со скоростью v. Для определения длины стержня в системе K надо отметить координаты его концов x 1 и x 2 в системе K рис. 36 56 в один и тот же момент времени t. Их разность l = x 2 − x 1 и опреде- лит длину стержня в системе K. Согласно формуле (27.1) ′ = ′ − ′ = − − − − − = − − l x x x vt v c x vt v c x x v c 0 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 , т. е. ′ = − l l v c 0 2 2 1 (28.4) — лоренцево сокращение длины: l ′ > l, т. е. длина стержня, измерен- ная в системе, относительно которой он движется, меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Лоренцово сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Лоренцево сокращение длины — эффект кинематический и взаимный: если в системах K и K ′ есть два одинаковых стержня, то с точки зрения каждой из них короче тот стержень, который отно- сительно нее движется. Отметим, что поперечные размеры тела не зависят от скоро- сти его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета: y ′ 2 − y ′ 1 = y 2 − y 1 и z ′ 2 − z ′ 1 = z 2 − z 1 , что непосредственно следует из преобразований Лоренца (27.1). Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим част- ный случай: когда материальная точка движется в системе K ′ вдоль оси X ′, а K ′ движется относительно K со скоростью v (оси X и X ′ совпадают), то связь скоростей u относительно системы K и u ′ от- носительно K ′ запишется в виде (вывод не приводим): ′ = − − u u v v c u 1 2 (28.5) Если v << c, u << c, то приходим к закону сложения скоростей в классической механике (11.3). Релятивистский закон сложения скоростей удовлетворяет второму постулату Эйнштейна (см. § 26). В самом деле, если u = c, то формула (28.5) примет вид ′ = − − = u c v v c c c 1 2 57 Если складываемые скорости сколь угодно близки к c, то их результирующая скорость всегда меньше или равна c. Если u = c, а v = c – a, где a — сколь угодно малая величина, то после подстановки этих значений в (28.5) получим u ′ = c. Таким образом, если каждая из складываемых скоростей не пре- вышает c, то и результирующая скорость не может превысить скоро- сти света c в вакууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить. § 29. основной закон релятивистской динамики Основной закон релятивистской динамики материальной точки в математическом выражении имеет вид F t m v c v p t = − = d d d d 1 2 2 , (29.1) где p mv v c = − 1 2 2 (29.2) — релятивистский импульс материальной точки (m — масса ма- териальной точки). Уравнение (29.1) удовлетворяет принципу относительности Эйн- штейна (см. § 26), утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т. е. математическая запись любого физического закона одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Отметим, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Предполагается, что масса m не зависит от скорости материальной точки и является инвариантом по отношению к выбору системы отсчета. В предельном случае (при v << c) выражение (29.2) совпадает с формулой для импульса p mv = в классической механике [см. (8.3)], а уравнение (29.1) принимает форму основного уравнения класси- ческой механики [см. (9.3)]. 58 В релятивистской динамике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Из приведенных формул (см. § 26—29) следует, что при v << c они переходят в формулы классической механики. Следовательно, усло- вием применимости законов классической (ньютоновской) механики является условие v << c. Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая v << c. Таким образом, классическая механика — это механика макротел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме). § 30. энергия в релятивистской динамике Полная энергия релятивистской частицы определяется вы- ражением E mc v c = − 2 2 2 1 , (30.1) где m — масса частицы; v — ее скорость; c — скорость распростра- нения света в вакууме. Полная энергия в разных системах отсчета различна, поскольку скорость v меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (см. § 28). Согласно формуле (30.1) покоящаяся частица ( v = 0) обладает энергией E 0 = mc 2 , (30.2) которую называют энергией покоя. Значения m и E 0 не зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Полная энергия в релятивистской динамике — это сумма кине- тической энергии и энергии покоя тела (частицы) E = T + E 0 . Отме- тим, что в полную энергию не включается потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. Тогда кинетическая энергия T, согласно формулам (30.1) и (30.2): T E E mc v c = − = − − 0 2 2 2 1 1 1 . (30.3) 59 Выражение (30.3) при скоростях v << c переходит в классическое (15.2): T mv = 2 2 (разложив в ряд 1 1 1 2 3 8 2 2 1 2 2 2 4 4 − = + + + − v c v c v c при v << c, правомерно пренебречь слагаемыми второго порядка мало- сти). В разных инерциальных системах отсчета как энергия (30.1) релятивистской частицы, так и релятивистский импульс (29.2) име- ют различные значения. Однако существует выражение E 2 – p 2 c 2 , которое инвариантно, т. е имеет одинаковое значение в разных инерциальных системах отсчета. Докажем это. Учитывая формулы (30.1) и (29.2), имеем E p c m c v c m v c v c m c E 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 2 1 1 − = − − − = = , (30.4) откуда релятивистское соотношение между полной энергией и им- пульсом частицы E 2 = E 2 0 + p 2 c 2 (30.5) Из выражений (30.1), (30.2) и (30.3) следует, что E = T + E 0 = T + mc 2 (30.6) Подставив (30.6) в (30.5), найдем связь между импульсом и кине- тической энергией частицы: pc T T mc = + ( ) 2 2 , (30.7) откуда следует, что при T << mc 2 выражение (30.7) переходит в нью- тоновское ( p mT = 2 ), а при T >> mc 2 приобретает вид p T c = . Выражение (30.2) справедливо как для отдельной частицы, так и для системы частиц (например, атома, атомного ядра и т. д.). Оно вы- ражает закон взаимосвязи массы и энергии: энергия покоя частицы (системы частиц) равна произведению массы этой частицы (системы частиц) на квадрат скорости распространения света в вакууме. Это один из основных законов теории относительности. Подчеркнем, что масса системы частиц в специальной теории от- носительности определяется не только массой ее составных частей, но и энергией их взаимодействия. Согласно закону взаимосвязи массы и энергии, можно записать ∆E 0 = c 2 ∆m, т. е. всякое изменение массы тела ∆m сопровождается изменени- ем энергии покоя ∆E 0 , и эти изменения пропорциональны друг другу. Закон взаимосвязи массы и энергии покоя (иногда говорят про- сто энергии) подтвержден экспериментами о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц. 61 Гл а в а 6 мЕханичЕскиЕ колЕбания § 31. колебания и их основные характеристики Колебаниями называют движения или процессы, которые ха- рактеризуются определенной повторяемостью во времени. Качание маятника часов, деревьев на ветру, биение сердца, вибрация струны звучащей скрипки, колебание напряжения между обкладками кон- денсатора — это примеры колебательных движений. Классифицировать колебания можно по различным признакам: – по характеру физических процессов (например, механические и электромагнитные колебания); – зависимости от времени (периодические и непериодические колебания); – способу возбуждения (например, свободные и вынужденные колебания). В данной главе будут рассмотрены механические колебания — движения тел, повторяющиеся через одинаковые (или почти оди- наковые) промежутки времени. Законченный цикл колебательного движения, после которого оно повторяется вновь в том же порядке, называют полным колебанием. Колебания называют свободными (собственными), если они происходят в системе, предоставленной самой себе после сообщения ей первоначального воздействия. Примером может служить груз, под- вешенный на нити и выведенный из положения равновесия, а затем предоставленный самому себе. Колебания называют гармоническими, если колеблющаяся ве- личина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Их рассмотрение важно по двум причинам: колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки • к гармоническим; различные • периодические процессы (процессы, повторяющи еся через равные промежутки времени) можно представить как на- ложение гармонических колебаний. Если материальная точка совершает прямолинейные гармониче- ские колебания вдоль оси X около положения равновесия (оно при- нимается за начало координат), то зависимость координаты x точки от времени (рис. 37) определяется выражением 62 x = A cos (ω 0 t + j), (31.1) где A = |x| max — максимальная величина смещения, называемая амплитудой ко лебания; ω 0 — круговая (циклическая) частота; ( ω 0 t + j) — фаза колебания, которая определяет значение колеблю- щейся величины от времени, прошедшего от начала текущего периода колебания; j — начальная фаза колебания, опреде- ляющая значение колеблющейся величи- ны в начальный момент времени (при t = 0 x 0 = A cos j). Период колебаний T — минимальный промежуток времени, через который повторяются значения всех физических величин, ха- рактеризующих колебательное движение, или время одного полного колебания (см. рис. 37). За период фаза колебания получает прира- щение 2 π, т. е. ω 0 ( t + T ) +j = (ω 0 t + j) + 2π, откуда T = 2 0 π ω (31.2) Величина, обратная периоду колебаний: ν = 1 T , (31.3) т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, на- зывается |