Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
частотой колебаний. Единица частоты — герц (Гц); 1 Гц — частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процесса. Срав- нивая (31.2) и (31.3), получаем ω 0 = 2πν. (31.4) § 32. механические гармонические колебания Пусть материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси X около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты x от времени t задается уравнением (31.1). Скорость v и ускорение a колеблющейся точки соответственно равны v x t A t A t = = − + ( ) = + + ( ) d d ω ω j ω ω j π 0 0 0 0 2 sin cos , (32.1) рис. 37 63 a v t A t A t = = − + ( ) = + + ( ) d d ω ω j ω ω j π 0 2 0 0 2 0 cos cos , (32.2) т. е. скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону. Амплитуда скорости и ускорения соответственно равна A ω 0 и A ω 2 0 Как следует из (31.1), (32.1) и (32.2), скорость опережает смещение по фазе на π 2 , а ускорение — на π (рис. 38). Ускорение и смещение находятся в противофазе, т. е. в момент времени, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение — мак- симального отрицательного значения, и наоборот. Формулу (32.2) можно записать в виде a = −ω 2 0 x, (32.3) т. е. при гармонических колебаниях вдоль оси X ускорение пропор- ционально смещению x тела от положения равновесия. Выражение (32.3) представим в виде d d 2 2 0 2 0 x t x + = ω (32.4) — это дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Согласно второму закону Ньютона, сила F, действующая на ма- териальную точку массой m: F = ma = −mω 2 0 x (32.5) [учли (32.3)]. Таким образом, сила про- порциональна смещению материальной точки из положения равновесия и на- правлена в противоположную сторону (к положению равновесия). Кинетическая энергия материаль- ной точки, совершающей гармонические колебания, T mv m A t m A t = = + ( ) = = − + ( ) 2 0 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 4 1 2 ω ω j ω ω j sin cos (32.6) Потенциальная энергияматериаль- ной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F [с учетом формулы (32.5)]: рис. 38 64 P = − = = = + ( ) = = + + ( ∫ F x m x m A t m A t x d 0 0 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 4 1 2 ω ω ω j ω ω j cos cos )) . (32.7) Из формулы (32.6) и (32.7) следует, что T и P изменяются с частотой 2ω 0 , т. е. с частотой, которая в два раза превышает частоту гармо- нического колебания. На рис. 39 представлены графики зависимости x, T и P от времени. Полная энергия E T m A = + = P ω 0 2 2 2 (32.8) Полная энергия во все моменты времени одинакова — выполняется закон сохранения механической энергии в силу консервативно- сти упругой силы — и равна максимальным значениям потенциаль- ной и кинетической энергии. Поскольку средние значения sin cos , 2 2 1 2 α α = = из формул (32.6)—(32.8) следует, что T E = = P 1 2 § 33. маятники Маятником называют любое тело, подвешенное так, что его центр масс находится ниже точки подвеса, и совершающее колебания под действием приложенных сил. Пружинный маятник — груз массой m, подвешенный на абсо- лютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы [см. (13.1)]: F = − kx, где k — жесткость пружины. Если маятник вывести из положения равновесия, сместив его вниз вдоль оси (рис. 40), то он начнет совершать колебания, дви- гаясь поступательно. Смещение x в любой момент времени равно деформации пружины, а сила упругости F пружины направлена в сторону, противоположную смещению маятника. При рассмотрен- рис. 39 65 ных допущениях уравнение движения груза (пружинного маятника) примет вид ma = −kx или mx kx = − , (33.1) где x a = . Подставив в эту формулу зависимости смеще- ния x (31.1) и ускорения a (32.2) от времени, получаем −mAω 0 2 cos ( ω 0 t + j 0 ) = −kA cos (ω 0 t + j 0 ), откуда k = mω 0 2 (33.2) Уравнение движения маятника в отсутствие сил трения из (33.1) и (33.2) x k m x + = 0 или x x + = ω 0 2 0, (33.3) решением которого является x = A cos (ω 0 t + j). (33.4) Таким образом, пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону (33.3) с циклической частотой ω 0 = k m (33.5) и периодом T m k = 2π (33.6) Формула (33.6) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Математический маятник — это идеализированная система, со- стоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжи- мой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является не- большой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Отклонение маятника от положения равновесия будем характери- зовать углом α, образованным нитью с вертикалью (рис. 41). Момент возвращающей силы M = F τ l = −mgl sin α, (33.7) где α — угол отклонения маятника от положения равновесия; F τ = = mg sin α — возвращающая сила; l — длина маятника; g — ускорение свободного падения. рис. 40 66 Момент силы стремится вернуть маятник в по- ложение равновесия и аналогичен в этом смысле упругой силе, а потому моменту M и угловому смещению α в формуле (33.7) приписаны противо- положные знаки. Запишем для маятника уравнение динамики вра- щательного движения. Угловое ускорение обозначим через α и, учитывая, что момент инерции маятника равен ml 2 , получаем ml 2 α = –mglsinα. При малых колебаниях маятника sin α = α. Тогда α α + = g l 0, (33.8) т. е. угол α удовлетворяет дифференциальному уравнению α ω α + = 0 2 0, (33.9) идентичному уравнению (33.3). Его решение имеет вид α = α 0 cos ( ω 0 t + j), (33.10) где α 0 — амплитуда (наибольший угол отклонения маятника от по- ложения равновесия). Таким образом, при малых колебаниях угловое отклонение мате- матического маятника изменяется по гармоническому закону (33.10) с циклической частотой ω 0 = g l (33.11) и периодом T l g = 2π , (33.12) не зависящим от массы маятника и амплитуды его колебаний, но зависящим от длины маятника и ускорения свободного падения. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизон- тальной оси, проходящей через точку O, не совпадающую с центром масс C тела (рис. 42). Точку O называют точкой подвеса. Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол α, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (22.5) в отсутствие сил трения момент воз- вращающей силы рис. 41 67 M J J mgl = = = − ε α α sin , (33.13) где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса; α — угол отклонения маятника из положения равновесия; F τ = mg sin α — возвращающая сила; l = OC — расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника. Знак « −» имеет то же значение, что и в случае формулы (33.7). Для малых колебаний маятника (sin α = α) выражение (33.13) можно записать в виде J mgl α α + = 0, или α α + = mgl J 0. (33.14) Принимая ω 0 = mgl J , (33.15) получим уравнение α ω α + = 0 2 0, идентичное с (33.3), решение которого известно: α = α 0 cos ( ω 0 t + j). (33.16) Из выражения (33.16) следует, что при малых колебаниях физи- ческий маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω 0 [см. (33.15)] и периодом T J mgl L g = = = 2 2 2 0 π ω π π , (33.17) где L J ml = — приведенная длина физического маятника. Точка O ′ на продолжении прямой OC, отстоящая от точки O подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний фи- зического маятника (см. рис. 42). Применяя теорему Штейнера (20.4), получим L J ml J ml ml l J ml l C C = = + = + > 2 , т. е. OO ′ всегда больше OC. Точка подвеса O маятника и центр качений O ′ обладают свой ством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка O подвеса станет новым центром кача- ний, и период колебаний физического маятника не изменится. рис. 42 68 Сравнивая формулы (33.12) и (33.17), видим, что если приведен- ная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следо- вательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого со- впадает с периодом колебаний данного физического маятника. § 34. сложение гармонических колебаний одинакового направления Сложение нескольких колебаний сводится к нахождению закона результирующих колебаний системы. Для сложения одинаково направленных колебаний используем векторную диаграмму. Из произвольной точки O оси X отложим вектор A (его модуль равен амплитуде A рассматриваемого коле- бания) под углом j, равным начальной фазе колебаний (рис. 43). Приводя этот вектор во вращение с угловой скоростью ω 0 (равна циклической частоте колебаний), проекция конца этого вектора будет перемещаться по оси X от −A до A, а координата этой про- екции на ось X x = A cos (ω 0 t + j). (34.1) Таким образом, согласно векторной диаграмме, проекция конца вектора A на ось X совершает гармонические колебания с амплитудой A, с циклической частотой ω 0 , равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой j, равной углу, образуемому вектором A с осью X в начальный момент времени. Сложим, используя векторную диаграмму, два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой частоты: x 1 = A 1 cos ( ω 0 t + j 1 ); x 2 = A 2 cos ( ω 0 t + j 2 ), (34.2) где A 1 и A 2 , j 1 и j 2 — соответственно амплитуды и начальные фазы первого и второго колебаний. Представим оба колебания с помощью векторов A 1 и A 2 (рис. 44). Результирующий вектор A находится с помощью правила сложения векторов. Результирующее колебание x = x 1 + x 2 = A cos (ω 0 t + j), (34.3) является также гармоническим, совершаемым с частотой ω 0 , ампли- тудой A и начальной фазой j. Из построения находим, что A 2 = A 2 1 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos ( j 2 – j 1 ), (34.4) tg sin sin cos cos j j j j j = + + A A A A 1 1 2 2 1 1 2 2 (34.5) 69 Если складываемые колебания синфазны (находятся в одной фазе), т. е. j 2 – j 1 = ±2mπ (m = 0, 1, 2, …), то A = A 1 + A 2 Если складываемые колебания находятся в противофазе, т. е. j 2 – j 1 = ±(2m + 1)π (m = 0, 1, 2, …), то A = |A 1 – A 2 |. Следовательно, сумма гармонических колебаний одного направ- ления с одинаковой частотой является гармоническим колебанием (34.3) с той же частотой, амплитудой и фазой, определяемыми вы- ражениями (34.4) и (34.5). § 35. биения Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения таких колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой, т. е. возникают биения. Биения — периодические изменения амплитуды колебания, воз- никающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами. Пусть амплитуды складываемых колебаний равны A, а частоты равны ω и ω + ∆ω, причем ∆ω << ω. рис. 43 рис. 44 70 Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих коле- баний были равны нулю (рис. 45, а). Тогда x A t x A t 1 2 = = + ( ) cos ; cos ω ω ω ∆ (35.1) Складывая эти выражения и учитывая, что ∆ω ω 2 << , найдем ре- зультирующее колебание x A t t = 2 2 cos cos , ∆ω ω (35.2) график которого изображен на рис. 45, б. В формуле (35.2) сомножитель в скобках изменяется гораздо медленнее, чем второй сомножитель. Поскольку ∆ω << ω, сомножи- тель в скобках почти не изменится, если сомножитель ωt совершит несколько полных колебаний. Поэтому результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда A б которого изменяется по следующему периодическому закону: A A t б = 2 2 cos ∆ω (35.3) График амплитуды результирующего колебания приведен на рис. 45, в. рис. 45 71 Частота изменения A б в два раза больше частоты изменения ко- синуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений (частота пульсаций амплитуды) равна разности частот складываемых коле- баний: ω б = ∆ω. Так как частота биений гораздо меньше частоты колебаний ( ∆ω << ω), то амплитуду A б (35.3) условно называют амплитудой биений. Период абсолютного значения косинуса равен π, поэтому период биений определяется из условия ∆ω π 2 T б = , откуда T б = 2π ω ∆ Наличие биений находит широкое применение на практике. Так, настройщики музыкальных инструментов по исчезновению биений определяют точное совпадение частоты струны и эталонного ис- точника звука (например, камертона). Биения используются при анализе слуха и т. д. § 36. сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, происходящих во взаимно перпендикуляр- ных направлениях вдоль осей X и Y. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем x A t y B t = = + ( ) cos ; cos , ω ω j (36.1) где j — разность фаз колебаний; A и B — амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания получают ис- ключением из выражений (36.1) параметра t. Записывая уравнения складываемых колебаний в виде x A t y B t t t = = + ( ) = − cos ; cos cos cos sin sin ω ω j ω j ω j 72 и заменяя во втором уравнении ωt на x A и sin ωt на 1 2 − x A , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно: x A xy AB y B 2 2 2 2 2 2 − + = cos sin j j (36.2) Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физи- ческий интерес: 1) j π = 2 2 m (m = 0, ±1, ±2, …). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой y B A x = ± , (36.3) где знак « +» соответствует нулю и четным значениям m (рис. 46, а), а знак « −» — нечетным значениям m (рис. 46, б). Результирующее колебание также гармоническое вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой A B 2 2 + ; 2) j π = + ( ) 2 1 2 m ( m = 0, ±1, ±2, …). В данном случае уравнение примет вид x A y B 2 2 2 2 1 + = . (36.4) Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями коор- динат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 47). При равенстве амплитуд A и B эллипс [см. (36.4)] вырождается в рис. 46 73 окружность. Случаи j π = ± 2 различаются направлением движения по эллипсу или по окружности. Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных ко- лебаний различны, но относятся друг к другу как целые числа, то траектория результирующего движения будет замкнутой; подобные замкнутые траектории называют |