Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
Полная механическая энергиясистемы тел — энергия механи- ческого движения и взаимодействия — равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий: E = T + P. (17.1) На материальные точки (тела) механической системы могут дей- ствовать как внутренние, так и внешние силы, которые могут быть консервативными и неконсервативными. Согласно формуле (15.4), суммарная работа всех сил А (внутренних и внешних, консервативных и неконсервативных), действующих на материальные точки системы, затрачивается на приращение кине- тической энергии системы: A = ∆T. (17.2) С другой стороны, согласно (16.1), работа внутренних и внешних консервативных сил А к равна приращению потенциальной энергии системы, взятой с обратным знаком: A к = −∆P. (17.3) Сложив почленно (17.2 и 17.3), получим ∆T + ∆P = A – A к = A неконс , где A неконс — работа всех внутренних и внешних неконсервативных сил. Последнее выражение можно записать в виде ∆(T + P) = A неконс (17.4) или ∆E = A неконс , т. е. работа неконсервативных сил равна приращению полной энергии системы. Таким образом, согласно (17.4), в случае отсутствия неконсер- вативных сил полная механическая энергия системы постоянна: E = T + P = const. (17.5) Полученное выражение (17.5) является законом сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют 37 только консервативные силы, полная механическая энергия сохра- няется, т. е. не изменяется со временем. Механические системы, на тела которых действуют только кон- сервативные силы (внутренние и внешние), называются консерва тивными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулиро- вать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется. Если рассматриваемая консервативная система тел является замкнутой, то внешние силы на тела системы не действуют. Однако следует понимать, что замкнутая система — это идеализация. На- пример, и Земля, и любое тело испытывают притяжение Солнца. В свою очередь Солнечная система испытывает притяжение других звезд и т. д. Таким образом, в консервативных системах, согласно закону со- хранения энергии, превращение механической энергии в другие виды энергии отсутствует, происходит взаимопревращение кинетической и потенциальной энергий, а именно увеличение одной из них сопро- вождается уменьшением другой и наоборот. Существует еще один вид систем — диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными. В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, при любых физических взаимодействиях энер- гия не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии. Этот закон не просто закон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энергии, выражающий и качественную сторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон сохранения и превращения энергии — фундаментальный за- кон природы, он справедлив для систем как макроскопических, так и микроскопических тел. § 18. графическое представление энергии Рассмотрим одномерное движение материальной точки [ее по- тенциальная энергия является функцией только одной переменной 38 (например, координаты x), т. е. P = P(x)]. График зависимости по- тенциальной энергии от какого-то аргумента называют потенци альной кривой. Рассмотрим также только консервативные системы (в них взаим- ные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют, и закон сохранения механической энергии описывается формулой (17.5), т. е. E + P = const). Анализ потенциальных кривых позволяет охарактеризовать дви- жение тел без детального знания уравнений движения. Анализ потенциальной кривой для тела в однородном поле тяжести. В данном случае потенциальная кривая P(h) = P = mgh — прямая линия, проходящая через начало координат, угол наклона которой к оси h (рис. 20) тем больше, чем больше масса m тела ( tg α = mg). Полная энергия E постоянна, поэтому на графике она представле- на горизонтальной прямой EE (каким будет значение E для каждого рассматриваемого случая, зависит от начальных условий). Потенциальная энергия P тела на высоте h определяется от- резком вертикали, заключенным между точкой h на оси абсцисс и потенциальной кривой. Кинетическая энергия T тела на высоте h задается ординатой между потенциальной кривой и горизонтальной прямой EE (см. рис. 20). Если h = h max , то T = 0 и P = E = mgh max , т. е. потенциальная энергия становится максимальной и равной полной энергии. Из графика следует, что на высоте h T = E − P или mv mgh mgh 2 2 = − max Тогда скорость тела на высоте h v g h h = − ( ) 2 max Анализ потенциальной кривой для упругодеформированного тела. Зависимость потенциальной энергии упругой деформации P = kx 2 2 от деформации x — потенциальная кривая — имеет вид рис. 20 рис. 21 39 параболы. График заданной полной энергии тела E — прямая EE, параллельная оси X (рис. 21). Потенциальная энергия P при деформации x определяется от- резком вертикали, заключенным между точкой x на оси абсцисс и потенциальной кривой. Кинетическая энергия T при деформации x задается ординатой между потенциальной кривой и горизонтальной прямой EE. С воз- растанием деформации x потенциальная энергия тела возрастает, а кинетическая — уменьшается. Абсцисса x max определяет максимально возможную деформацию растяжения тела, а −x max — максимально возможную деформацию сжатия тела. Если x = ±x max , то T = 0 и P = = E kx max , 2 2 т. е. потенциаль- ная энергия становится максимальной и равной полной энергии. При полной энергии тела, равной E, тело не может сместиться правее x max и левее −x max , так как кинетическая энергия не может быть отрицательной и, следовательно потенциальная энергия не может быть больше полной энергии. В таком случае говорят, что тело на- ходится в потенциальной яме с координатами −x max ≤ x ≤ x max Анализ потенциальной кривой произвольной формы. В каче- стве примера рассмотрим более сложную потенциальную кривую, изображенную на рис. 22. Если E — заданная полная энергия ча- стицы, то частица может находиться только там, где P(x) ≤ E, т. е. в областях I и III. Переходить из области I в III и обратно частица не может, так как ей препятствует потенциальный барьер CDG, ширина кото- рого равна интервалу значений x, при которых E < P, а его высота определяется разностью P max − E. Для того чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить до- полнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области I частица с полной энергией E оказывается «запертой» в потенциальной яме ABC и совершает колебания между точками с координатами x A и x C В точке B с координатой x 0 (см. рис. 22) потенциальная энергия частицы минимальна. Так как действующая на частицу сила (см. § 16) F x x = − ∂ ∂ P ( P — функ- ция только одной координаты), а условием минимума потенциаль- ной энергии ∂ ∂ = P x 0, то в точке B F x = 0. При смещении частицы из положения x 0 (и влево, и вправо) рис. 22 40 она испытывает действие возвращающей силы, поэтому положе- ние x 0 является положением устойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки x ′ 0 (для P max ). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия, так как при смещении частицы из положения x ′ 0 появляется сила, стремящаяся удалить ее от этого положения. § 19. Центральные абсолютно упругий и неупругий удары Удар— это столкновение двух или более тел, при котором взаи- модействие длится очень короткое время. Примерами удара могут служить столкновения двух бильярдных шаров, попадание пули в здание и т. д. При соударении тел они испытывают деформацию. В данном случае кинетическая энергия соударяющихся тел преобразуется в энергию упругой деформации и их внутреннюю энергию. Различают два предельных типа удара — абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Отметим, что оба эти типа ударов — идеа- лизация, поскольку в природе не существует ни абсолютно упругих, ни абсолютно неупругих тел. Однако их рассмотрение позволяет с большой степенью точности описывать удары, встречающиеся на практике. Прямую, проходящую через точку соприкосновения тел и нор- мальную к поверхности их соприкосновения, называют линией удара. Удар называют прямым, если скорости центров масс соударя ющихся тел перед ударом параллельны линии удара, и центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только прямые центральные удары. Центральный абсолютно упругий удар. Абсолютно упругий удар — такой, при котором механическая энергия тел не переходит в другие (немеханические) виды энергии. В классической механике при этом пренебрегают деформациями тел, а потому считается, что энергия на деформацию не теряется и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара вновь превращается в кинетическую энергию. Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Рассмотрим столкновение двух шаров масса- ми m 1 и m 2 , скорости которых до удара v 1 и v 2 , после удара — v 1 ′ и v 2 ′ (рис. 23). При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой, соединяющей их рис. 23 41 центры. Модули проекции векторов скорости на эту линию равны значениям скоростей. Их направления определяют знаки проекций. Если направление скорости совпадает с направлением оси, то про- екция положительна, если направления оси и скорости противопо- ложны, то проекция отрицательна. При указанных допущениях законы сохранения имеют вид: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ′ + m 2 v 2 ′; (19.1) m v m v m v m v 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 + = ′ + ′ (19.2) Произведя соответствующие преобразования в выражениях (19.1) и (19.2), получаем m 1 ( v 1 − v ′ 1 ) = m 2 ( v 2 − v ′ 2 ); (19.3) m 1 ( v 2 1 − v ′ 2 1 ) = m 2 ( v ′ 2 2 – v 2 2 ), (19.4) откуда v 1 + v ′ 1 = v 2 + v ′ 2 (19.5) Решая уравнения (19.3) и (19.5), найдем скорость первого и вто- рого шаров после удара: ′ = − ( ) + + v m m v m v m m 1 1 2 1 2 2 1 2 2 ; (19.6) ′ = − ( ) + + v m m v m v m m 2 2 1 2 1 1 1 2 2 (19.7) Так, если массы шаров равны (m 1 = m 2 ), то из (19.6) и (19.7) по- лучаем, что v 1 ′ = v 2 , v ′ 2 = v 1 , т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями. Центральный абсолютно неупругий удар. Абсолютно неупру гий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объеди- няются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 24). Если массы шаров m 1 и m 2 , их скорости до удара v 1 и v 2 , то, используя закон сохранения импульса, можно записать m v m v m m v 1 1 2 2 1 2 + = + ( ) , где v — скорость движения шаров после удара. Тогда рис. 24 v m v m v m m = + + 1 1 2 2 1 2 (19.8) Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обла- дающий большим импульсом, что и демонстрируется на рис. 24. В частном случае, если массы шаров равны (m 1 = m 2 ), то v v v = + 1 2 2 В процессе центрального абсолютно неупругого удара шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, поэтому эти силы подобны силам трения и закон сохранения механической энергии не соблюдается. Вследствие де- формации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить как разность кинетических энер- гий до и после абсолютно неупругого удара ∆T m v m v m m v = + − + ( ) 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 или с учетом формулы (19.8) ∆T m v m m v v = + ( ) − ( ) 1 1 1 2 1 2 2 2 Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v 2 = 0), то v m v m m T m m m m v = + = + 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 , ∆ Когда m 2 >> m 1 (масса неподвижного тела очень большая), то v << v 1 и почти вся кинетическая энергия при ударе переходит в другие виды энергии. Поэтому, например, для получения значитель- ной деформации наковальня должна быть массивнее молота. Наоборот, при забивании свай целесообразно иметь б льшую массу молота ( m 1 >> m 2 ), тогда v ≈ v 1 и вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение, а не на остаточную деформацию. Так, при забивании свай практически вся энергия идет на преодо- ление сопротивления грунта. 43 Гл а в а 4 основы динамики вРащатЕльного движЕния § 20. момент инерции. теорема Штейнера Момент инерции тела относительно данной оси — сумма про- изведений элементарных масс m i на квадраты их расстояний r i 2 до рассматриваемой оси (рис. 25) J m r i i = ∑ 2 (20.1) Момент инерции тела — мера инертности твердых тел при враща- тельном движении. Его роль такая же, как и массы при поступатель- ном движении. Момент инерции тела зависит от материала, размеров и формы тела, а также от расположения тела относительно оси. Момент инерции — величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей этого тела относительно той же оси. В качестве примера определим момент инерции однородного сплошного цилиндра (рис. 26) относительно его геометрической оси (масса цилиндра m, радиус R, высота h). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины d r с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра d J = r 2 d m (20.2) (учли, что d r << r). рис. 25 рис. 26 44 Объем элементарного цилиндра 2 πrhdr, его масса dm = 2πrhρdr и d J = 2πhρr 3 d r ( ρ— плотность материала; h — высота цилиндра). Тогда момент инерции сплошного цилиндра J J h r r hR R = = = ∫ ∫ d d 2 1 2 3 0 4 π ρ π ρ, но так как πR 2 h — объем цилиндра, его масса соответственно m = = πR 2 h ρ, то момент инерции сплошного цилиндра J mR = 1 2 2 (20.3) Моменты инерции для некоторых однородных тел (масса тела m) приведены в табл. 1. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходя- щей через его центр масс, то момент инерции относительно любой Т а б л и ц а 1 Тело Положение оси вращения Момент инерции Полый тонкостен- ный цилиндр радиу- сом основания R Ось симметрии J = mR 2 Сплошной цилиндр или диск радиусом основания R Ось симметрии J mR = 1 2 2 Прямой тонкий стержень длиной l Ось перпенди- кулярна стерж- ню и проходит через его сере- дину J ml = 1 12 2 Ось перпенди- кулярна стерж- ню и проходит через его конец J ml = 1 3 2 Шар радиусом R Ось проходит через центр шара J mR = 2 5 2 |