Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
трения скольжения всегда направлена в сторону, противо- положную относительной скорости соприкасающихся тел, и про- порциональна силе нормального давления: F тр = µN, (13.2) где µ — коэффициент трения скольжения (зависит от материалов трущихся поверхностей, не зависит от размеров трущихся поверхно- стей и уменьшается с увеличением скорости относительного движения трущихся поверхностей (в силу последнего фактора формула (13.2) выполняется приближенно)); µ — безразмерная величина; µ < 1. Роль сил трения в природе и технике двоякая — положительная и отрицательная. Например, благодаря трению подошвы наших ботинок отталкиваются от поверхности Земли, и мы имеет возмож- ность передвигаться. Если поверхность скользкая ( F тр очень мала), то передвижение затруднено. Однако, в свою очередь, трение тормозит движение, вызывает износ движущихся частей механизмов и т. д. В таких случаях для уменьшения сил трения на трущиеся поверхности наносят смазку (сила трения уменьшается примерно в 10 раз), которая заполняет не- ровности между этими поверхностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхности как бы перестают соприкасаться, а скользят относительно друг друга слои жидкости. Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется значительно меньшим вну- тренним трением жидкости. Радикальным способом уменьшения силы трения является за- мена трения скольжения трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т. д.). Сила тяготения (гравитационная сила). Движение небесных тел, как и движение тел вблизи поверхности Земли, происходит под действием сил взаимного притяжения. Это взаимодействие описыва- ется открытым Ньютоном законом всемирного тяготения (1678), согласно которому между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек ( m 1 и m 2 ) и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними ( r 2 ): F G m m r = 1 2 2 (13.3) Силу F также называют гравитационной силой. 28 Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направ- лены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие мате- риальные точки. Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной; G — фундаментальная физическая постоянная: G = 6,67⋅10 −11 Н ⋅м 2 /кг 2 Закон всемирного тяготения установлен для тел, принимаемых за материальные точки, т. е. для таких тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Если же размеры взаи- модействующих тел сравнимы с расстоянием между ними, то эти тела надо разбить на точечные элементы, подсчитать по формуле (13.3) силы притяжения между всеми попарно взятыми элементами, а затем геометрически их сложить, что является довольно сложной математической задачей. Ньютон, однако, показал, что закон тяготения справедлив в виде выражения (13.3) и в случае шаров с равномерно распределенной массой, но здесь под r надо понимать расстояние между центрами шаров. Если одно из тел представляет очень большой шар, напри- мер Землю, то второе тело, находящееся вблизи поверхности Земли, можно считать материальной точкой и применять для них закон всемирного тяготения в виде выражения (13.3). В данном случае под r подразумевают расстояние от центра Земли до тела. Направле- ние силы взаимодействия совпадает с прямой, соединяющей центр Земли с телом. В пространстве вокруг каждой массы существует силовое поле, называемое гравитационным, или полем тяготения. Взаимодей- ствие масс обусловлено существованием гравитационного поля. По мере развития общей теории относительности, в основе которой лежит факт равенства инертной массы (входит во второй закон Ньютона) и гравитационной массы (входит в закон всемир- ного тяготения), продолжается исследование природы тяготения. В настоящее время с доступной точностью опытов доказано, что гравитационная и инертная массы равны. Сила тяжести и вес. Согласно обобщенному закону Галилея (1636), установленному экспериментально, все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. В системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила тяжести: P mg = , (13.4) где g — ускорение свободного падения — ускорение, приобретаемое телом под действием силы тяжести. Оно определяется эксперимен- тально, изменяется вблизи поверхности Земли с широтой от 9,780 м/с 2 на экваторе до 9,832 м/с 2 на полюсах. При решении задач ускорение свободного падения принимают g = 9,81 м/с 2 29 В первом приближении, если пренебречь суточным вращением Земли, силу тяжести (13.4) можно считать равной силе (13.3), с ко- торой тело притягивается к Земле: mg GmM R = 2 , (13.5) где M — масса Земли; m — масса тела (тело в данном случае находит- ся на поверхности Земли); R — расстояние между телом и центром Земли. Сила ′ P , с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору или подвес, удерживающие это тело от свободного паде- ния, называется весом тела. Согласно третьему закону Ньютона сила реакции опоры или подвеса N = P ′, причем вес тела приложен к опоре (подвесу), а сила реакции опоры — к телу. Таким образом, сила реакции опоры (подвеса) всегда совпадает по значению с весом тела, а сила тяжести лишь в частных случаях. В качестве примера рассмотрим тело, находящееся в лифте. 1. Если лифт стоит на этаже (рис. 15, а) или движется равномер- но, то на тело действуют только сила тяжести mg и сила реакции опоры N ; эти силы в данном случае уравновешивают друг друга ( mg N = − ). По третьему закону Ньютона тело действует на опору (подвес) с силой P ′, равной − N, т. е. силой ′ = − = P N mg, (13.6) которая и есть вес тела. В случае, когда лифт стоит на этаже, вес тела совпадает по величине с силой тяжести. 2. Если лифт движется с ускорением a, то, согласно второму за- кону Ньютона, ma mg N = + . (13.7) рис. 15 По третьему закону Ньютона тело действует на опору с силой − = ′ N P , (13.8) тогда ′ = − ( ) P m g a . (13.9) Формула (13.9) определяет вес тела в общем случае. Уравнение (13.9) в проекции на выбранную ось X имеет вид P ′ = m(g ± a). Если лифт движется с ускорением вверх ( a > 0, рис. 15, б), то P ′ = m(g + a) > mg, т. е. вес тела больше силы тяжести, и тело испытывает пере- грузку. Если лифт движется с ускорением вниз ( a < 0, рис. 15, в), то P ′ = m(g − a) < mg, т. е. вес тела уменьшается и становится меньше силы тяжести. 3. Если лифт движется с ускорением, равным ускорению свобод- ного падения ( a g = ), то сила реакции опоры N и вес тела ′ P равны нулю, т. е. тело испытывает состояние невесомости. Невесомость — состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести. Например, космический корабль (и находящиеся в нем предметы, а также космонавты), совершающий свободный по- лет (двигатели выключены) движется с ускорением g , вследствие чего тела находятся в состоянии невесомости, не оказывая давления на соприкасающиеся с ними тела. Если двигатель включить, то тела получат суммарное ускорение a g ≠ и вес тела становится отличным от нуля. 31 Гл а в а 3 Работа и мЕханичЕская энЕРгия § 14. энергия, работа, мощность Энергия — универсальная мера всех форм движения и взаимо- действия материи. В зависимости от вида движения энергию условно разделяют на механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную, и др. Чтобы количественно характеризовать переход энергии из одного вида в другой или передачу энергии между взаимодействующими телами, вводится понятие работы силы. Если тело движется прямолинейно под действием постоян- ной силы F , составляющей угол α с направлением перемещения s (рис. 16), то работа этой силы A = F s s = Fs cos α, (14.1) где F s = F cos α — проекция силы на направление перемещения; s — путь, пройденный телом. Работа — скалярная величина: • при α π < 2 она положительна; • при α π > 2 — отрицательна; • при α π = 2 (сила перпендикулярна перемещению) равна нулю. Элементарная работа силы F (совершаемая за малый проме- жуток времени d t) на перемещении dr есть скалярная величина: рис. 16 32 d d d d A F r F s F s s = = = cos , α (14.2) где α — угол между векторами F и dr; d d s r = — элементарный путь; F s — проекция вектора F на вектор dr (рис. 17). Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу A F s F s s = = ∫ ∫ cos α d d 1 2 1 2 (14.3) Для вычисления этого интеграла необходимо знать зависимость силы F s от пути s вдоль траектории 1—2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 18), тогда искомая работа A опреде- ляется на графике площадью затонированной фигуры. Если, на- пример, тело движется прямолинейно, сила F = const и α = const, то получим A F s F s F s s = = = ∫ ∫ cos cos α α d d 1 2 1 2 (14.4) [см. также формулу (14.1)]. Единица работы — джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж = 1 Н⋅м). Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности: N A t = d d (14.5) За время d t сила F совершает работу F r d , и мощность, развивае- мая этой силой, в данный момент времени N F r t F v = = d d , (14.6) рис. 17 рис. 18 33 т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скоро- сти, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная. Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с). § 15. кинетическая энергия Механическая энергия бывает двух типов — кинетическая и по- тенциальная. Рассмотрим материальную точку, записав второй закон Ньюто- на: F m v t = d d (15.1) где F — результирующая всех сил, действующих на материальную точку. Умножив уравнение (15.1) на перемещение dr, получим F r m v t r d d d d = Поскольку v r t = d d , то F r mv v mv v mv d d d d = = = 2 2 Если система замкнута ( F = 0 ), то d mv 2 2 0 = , а величина T mv = 2 2 (15.2) остается постоянной. Эта величина называется кинетической энер гией. Кинетическая энергия — мера механического движения мате- риальной точки, зависящая от скорости движения в данной инер- циальной системе отсчета. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета. Кинетическая энергия всегда положительна. Учитывая формулу p = mv [см. (8.3)], выражение (15.2) для кине- тической энергии можно записать в виде T p m = 2 2 , (15.3) где p — импульс материальной точки; m — ее масса. 34 Работа силы при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2 A F r mv v m v v mv mv T T v v 12 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 = = = = − = − ∫ ∫ ∫ d d d , или A 12 = T 2 − T 1 , (15.4) т. е. работа результирующей всех сил, действующих на материальную точку, идет на приращение кинетической энергии материальной точки. Именно в этом и состоит физический смысл работы. Из формулы (15.4) следует, что единица кинетической энергии та- кая же, как и для работы, т. е. в СИ энергия измеряется в джоулях. § 16. Потенциальная энергия Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — кон сервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной (например, сила трения). Тела, находясь в потенциальном поле сил, обладают потенциаль- ной энергией P. Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их расположением относительно друг друга и характером сил взаимодействия между ними. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению по- тенциальной энергии, взятому со знаком « −» (работа совершается за счет убыли потенциальной энергии): d A = − dP (16.1) или F r d d = − P (16.2) [учли формулу (14.2)]. Согласно формуле (16.2), потенциальная энергия P = − + ∫ F r C d , где C — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. 35 Это, однако, не существенно, так как в физические соотношения входит или разность потенциальных энергий в двух точках, или производная функции P по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении условно считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а потенциальную энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Конкретный вид функции P зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на вы- соту h над поверхностью Земли, равна P = mgh, (16.3) где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого P 0 = 0 (рис. 19). Выражение (16.3) вытекает непосредственно из того, что потен- циальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли. Так как начало отсчета выбирается произвольно, потенциальная энергия может иметь отрицательное значение ( кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энер- гию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты глубиной h, P ′ = −mgh ′. Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости F x упр = − kx, где F x упр — проекция силы упругости на ось X; k — коэффициент упругости (для пружины — жесткость), а знак « −» указывает, что F x упр направлена в сторону, противоположную деформации x. По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е. F x = −F x упр = kx. Элементарная работа d A, совершаемая силой F x при бесконечно малой деформа- ции d x, d A = F x dx = kxdx, а полная работа A kx x kx x = = ∫ d 0 2 2 идет на увеличение потенциальной энергии пружины. рис. 19 |