Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
плотностью. Плотность однородного тела ρ = m V , (8.1) где V — объем тела. Единица плотности в СИ — килограмм на метр кубический (кг/м 3 ). Центром масс называется воображаемая точка С (характеризует движение тела или системы материальных точек, как целого), по- ложение которой задается радиусом-вектором: r m r m C i i i n = = ∑ 1 , (8.2) 20 где m i и r i — соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n — число материальных точек в системе; m m i i n = = ∑ 1 — масса системы. Импульсом материальной точки называют векторную величину, численно равную произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющую направление скорости: p mv = (8.3) Из определения следует, что импульс — это мера механического движения материальной точки. Ранее импульс назывался количе- ством движения. Импульс p системы, состоящей из n материальных точек, равен геометрической сумме импульсов всех точек системы: p m v i i i n = = ∑ 1 (8.4) Единица импульса в СИ — килограмм-метр в секунду [1 (кг ⋅м)/с] — импульс материальной точки массой 1 кг, движущей- ся со скоростью 1 м/с. § 9. второй закон ньютона Из опыта известно, что ускорение, приобретаемое телом, с одной стороны, прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил, а с другой — обратно пропорционально массе тела. Ньютон, обобщая результаты опытов, сформулировал основной закон дина- мики. Второй закон Ньютонагласит:в инерциальных системах отсче- та ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропор- ционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела): a F m = , (9.1) откуда следует связь движения с вызвавшей ее причиной — силой. Представив второй закон Ньютона (9.1) в виде F ma = , (9.2) можно определить единицу силы в СИ — ньютон: 1 Н — сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 в на- правлении действия силы: 1 Н = 1 кг⋅м/с 2 21 Записав выражение (9.2) в виде F ma m v t t mv p t = = = ( ) = d d d d d d (9.3) (учли, что масса в классической механике — величина постоянная, и ее можно внести под знак производной), получим d d p t F = . (9.4) Это выражение — более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение (9.4) называется также урав нением движения материальной точки. Если на тело действует несколько сил, то в формулах (9.3) и (9.4) под F подразумевается их результирующая (векторная сумма сил). На основании второго закона Ньютона (9.2), когда F i i ∑ = 0 (т. е. при отсутствии воздействия на тело других тел) ускорение a = 0, т. е. тело движется равномерно и прямолинейно, что утверждает также и первый закон Ньютона. § 10. третий закон ньютона Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга всегда носит характер взаимодействия, определяемого третьим законом Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: F F 12 21 = − , где F 12 — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; F 21 — сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы. На- пример, при движении по поверхности Земли сила, с которой мы отталкиваем Землю, равна по модулю и противонаправлена той силе, с которой Земля толкает нас вперед. Хотя эти силы и равны, но, согласно второму закону Ньютона, ускорения обратно пропорцио- нальны массам, и Землю ввиду ее гораздо большей (по сравнению с человеком) массе можно считать неподвижной. 22 Третий закон Ньютона выполняется в случае взаимодействия тел при непосредственном их контакте, а также если покоящиеся тела при взаимодействии находятся на некотором расстоянии друг от дру- га. Доказана также справедливость этого закона при взаимодействии посредством полей. Третий закон Ньютона, как впрочем и первые два, справедлив только в инерциальных системах отсчета. Ньютоновская механи- ка, как уже указывалось ранее, справедлива для скоростей движе- ния, много меньших скорости света в вакууме ( v << c). Поэтому в рамках классической механики третий закон Ньютона выполняется всегда. § 11. Принцип относительности галилея Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: K (с коор- динатами x, y, z), которую условно считаем неподвижной, и K ′ (с координатами x ′, y ′, z ′), движущуюся относительно K равномерно и прямолинейно со скоростью u ( u = const). Координатные оси X, Y, Z системы K и оси X ′, Y ′, Z ′ системы K ′ выберем так, чтобы оси X и X ′ совпадали, а оси Y и Y ′, а также Z и Z ′ были параллельны друг другу (рис. 13). Отсчет времени начнем с момента, когда начала отсчета O и O ′ систем совпадают. Скорость u направлена вдоль оси OO ′. Из рис. 13 следует, что x ′ = x − ut. Понятно, что y = y ′ и z = z ′. В ньютоновской механике предполагается, что время в обеих системах течет одинаково, т. е. t = t ′. Учитывая вышеизложенное, можно записать: ′ = − ′ = ′ = ′ = x x ut y y z z t t ; ; ; (11.1) или ′ = − r r ut, (11.2) где r и ′ r — радиусы-векторы движущейся точки в системах K и K ′ соответственно. Уравнения (11.1) и (11.2) носят название преобразо ваний координат Галилея. Записанные соотношения справедливы лишь в случае классиче- ской механики ( u << c), а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преоб- разованиями Лоренца (см. § 27). 23 Продифференцировав (11.2) по вре- мени и учитывая, что t = t ′, получим ′ = − v v u (11.3) — закон сложения скоростей в клас сической механике, где v и ′ v — скоро- сти материальной точки в системах K и K ′ соответственно. Продифференцировав (11.2) дваж- ды, получим ′ = a a, (11.4) т. е. ускорение материальной точки не изменяется при переходе от одной инерциальной системы к другой, следовательно, является инвариантом. Это означает, что система K ′ является инерциальной (точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно). Из уравнения (11.4) следует (учли (9.2)), что ′ = F F (приняли во внимание, что масса в классической механике одинакова во всех системах). Таким образом, уравнения динамики при переходе от одной инер- циальной системы отсчета к другой формулируются одинаково или, другими словами, уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований координат Галилея. Это утверждение называют принципом относительности Галилея. Г. Галилей первым обратил внимание на то, что никакими меха- ническими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится она или движется равномерно и прямолинейно (относительно какой-то инерциальной системы отсчета). Например, в каюте корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, невозможно определить, покоится корабль или дви- жется, не выглянув в окно. § 12. закон сохранения импульса. закон движения центра масс Рассмотрим в инерциальной системе отсчета механическую си- стему — совокупность конечного числа n взаимодействующих мате- риальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое. рис. 13 24 Второй закон Ньютона для каждого из тел [см. (9.3)] d d m v t f F i i i i ( ) = + , (12.1) где f i — равнодействующие внутренних сил (сил взаимодействия между материальными точками механической системы) и F i — внеш них сил (сил, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела), действующих на i-ю материальную точку. Складывая почленно уравнения (12.1) для n материальных точек, получим d d p t f F i i n i i n = + = = ∑ ∑ 1 1 , где p m v i i i n = = ∑ 1 — импульс системы [см. (8.4)]. Согласно третьему закону Ньютона, геометрическая сумма вну- тренних сил механической системы равна нулю: f i i n = ∑ = 1 0, поэтому d d p t F i i n = = ∑ 1 (12.2) Таким образом, производная по времени от импульса механиче- ской системы равна геометрической сумме внешних сил, действую- щих на систему. Рассмотрим замкнутую систему — механическую систему тел, на которую не действуют внешние силы. Тогда d d d d p t t m v i i i n = ( ) = = ∑ 1 0 или p m v i i i n = = = ∑ 1 const. (12.3) Формула (12.3) выражает закон сохранения импульса: суммар- ный импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения импульса справедлив только в инерциальных системах отсчета (иначе нельзя было бы пользоваться законами Ньютона) и является фундаментальным законом природы (он вы- полняется для замкнутых систем микрочастиц, подчиняющихся, как известно, законам квантовой механики). Отметим, что сохраняется векторная сумма импульсов, а не сумма их модулей. Импульс сохраняется и для незамкнутой систе- мы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю. Также сохраняется проекция импульса на направление, вдоль которого равнодействующая сил равна нулю. 25 Продифференцировав выражение (8.2) для радиуса-вектора цен- тра масс по времени, найдем скорость центра масс: v r t m r t m m v m C C i i i n i i i n = = = = = ∑ ∑ d d d d 1 1 (12.4) Учитывая, что p m v i i i = , а p i i n = ∑ 1 есть импульс p системы, можно записать p mv C = , (12.5) т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Подставив формулу (12.5) в выражение (12.2), получим m v t F C i i n d d = = ∑ 1 , (12.6) т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс. § 13. силы в механике Сила упругости. Под воздействием внешних сил тела деформиру- ются, т. е. изменяют свои размеры и форму. Если после прекращения действия силы деформация исчезает (размеры и форма тела восстанав- ливаются), то такую деформацию называют упругой. Если размеры и форма тела после прекращения действия на тело силы не восстанав- ливаются, то такую деформацию называют пластической. Сила, возникающая при упругой деформации тел, называется си лой упругости. В случае деформации сжатия или растяжения силы упругости направлены вдоль линии действия силы, вызывающей деформацию, противоположно направлению смещения частиц при деформации. Упругие силы по своей природе относятся к классу электромаг- нитных сил. Если тело находится в недеформированном состоянии, то расположение молекул (в состав молекул входят отрицательные и положительные частицы) таково, что силы притяжения разноимен- ных зарядов и силы отталкивания одноименных зарядов уравновеши- ваются. Если же тело сжимать, то молекулы сближаются, а если тело растягивать, то молекулы удаляются друг от друга, поэтому при де- формации электрические силы стремятся возвратить молекулы в ис- ходное состояние, в результате чего и возникает сила упругости. 26 Упругие силы подчиняются закону Гука, установленному опыт- ным путем (1660): сила упругости, возникающая вследствие растя- жения (или сжатия), пропорциональна изменению длины деформи- руемого тела и направлена в сторону, противоположную смещению частиц тела при его деформации: F упр = −kx, (13.1) где x — удлинение (сжатие) тела (например, пружины); k — коэффи циент жесткости (жесткость). Жесткость зависит от размеров пружины, ее размеров и упругих свойств материала пружины. Жест- кость в СИ выражается в ньютонах на метр (Н/м). Закон Гука хорошо выполняется только при малых деформациях. Силу упругости, действующую на тело со стороны опоры (или под- веса) перпендикулярно ее поверхности, называют силой реакции опоры N . Сила трения. Из повседневного опыта известно, что при движе- нии одного тела по поверхности другого возникает сопротивление движению, называемое трением. Причина этого — существование силы трения — тангенциальной силы, возникающей при сопри- косновении поверхностей двух тел и препятствующей их взаимному перемещению. Силы трения зависят от относительных скоростей тел, между ко- торыми они действуют. Силы трения могут быть разной природы, но в результате их действия механическая энергия всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел. Силы трения опреде- ляются характером взаимодействия между молекулами вещества и по природе относятся к электромагнитным силам. Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Внешнее трение — трение, возникающее в плоскости каса- ния двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Внутреннее трение — трение между слоями жидкости или газа, движущимися друг относительно друга. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, то говорят о трении покоя. Так, если к телу, лежащему на поверх- ности, приложить небольшую горизонтальную силу F (рис. 14), то никакого движения не будет. Это означает, что со стороны поверх- ности к телу приложена горизонтальная сила F тр п , препятствующая скольжению, которая равна силе F и противоположна ей по направ- рис. 14 27 лению. Данная сила и есть сила трения покоя. Скольжение начнется, когда внешняя сила F становится больше некоторого определенного значения. Внешнее (сухое) трение различают также по кинематическому признаку: трение скольжения (возникает, если тело скользит по поверхности опоры) и трение качения (возникает, если тело катится по поверхности опоры). Сила |