Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
барометрической формулой. Отметим, что она выведена для T = const. Учитывая, что p = nkT [см. (43.8)], M = m 0 N A [см. (40.4)] и R = kN A [см. (43.7)], формулу (46.3) можем записать в виде n n m gh kT = 0 0 e – , (46.4) где m 0 gh = P — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, тогда n n kT = − 0 e P , (46.5) где n — концентрация молекул (их число в единице объема) на вы- соте h; n 0 — то же, на высоте h = 0. Выражение (46.5) называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной рис. 59 92 температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул. Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (46.5) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести. § 47. опытное обоснование молекулярно-кинетической теории Одним из явлений, подтверждающих существование непрерывного хаотического движения молекул, является диффузия. Диффузия — самопроизвольное проникновение и перемешивание двух сопри- касающихся газов, жидкостей и даже твердых тел, обусловленное тепловым движением молекул. Примером диффузии газов является распространение запаха духов. Подтверждением вывода молекулярно-кинетической теории о хаотическом тепловом движении атомов и молекул является также броуновское движение (по имени шотландского ботаника Броуна; 1827) — беспорядочное движение малых частиц (размером около 1 мкм), взвешенных в жидкости или газе, происходящее под дей- ствием ударов молекул среды, в которой частицы взвешены. Так как молекулы движутся хаотически, броуновские частицы получают толчки с разных сторон, поэтому и совершают движение столь при- чудливой формы (рис. 60). Распределение молекул по скоростям и их определение впервые (1920) проведено немецким ученым Штерном. Схема установки Штерна приведена на рис. 61. Вдоль оси вну- треннего цилиндра с щелью натянута платиновая проволока, по- крытая слоем серебра и нагреваемая током при откаченном воздухе. При нагревании серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра, давая изображение щели O. Если прибор привести во вращение вокруг рис. 60 рис. 61 93 общей оси цилиндров, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки O на некоторое расстояние s. Изображение щели получается размытым. Исследуя толщину осажденного слоя, можно оценить распределение молекул по скоростям, которое соответствует максвелловскому распределению. Более точное подтверждение справедливости максвелловского распределения молекул по скоростям было осуществлено (1929) Ламмертом (рис. 62). Молекулярный пучок, сформированный источником, проходя через щель, попадает в приемник. Между источником и приемником помещают два диска с прорезями, закрепленных на общей оси. При неподвижных дисках молекулы достигают приемника, про- ходя через прорези в обоих дисках. Если ось привести во вращение, то приемника достигнут только те прошедшие прорезь в первом диске молекулы, которые затрачивают для пробега между дисками время, равное или кратное времени оборота диска. Другие же молекулы задерживаются вторым диском. Меняя угловую скорость вращения дисков и измеряя число молекул, попадающих в приемник, можно выявить закон распределения молекул по скоростям. Отметим еще, что Перрен (1909), исследуя под микроскопом броу- новское движение, нашел, что броуновские частицы распределяются по высоте подобно молекулам газа в поле тяготения. Применив к ним распределение Больцмана (46.5), Перрен экспериментально определил значение постоянной Авогадро [см. (40.2)], которое со- ответствовало значениям, полученным из других опытов, что под- тверждает применимость к броуновским частицам распределения Больцмана. § 48. средняя длина свободного пробега молекул В результате хаотического движения молекулы газа непрерывно сталкиваются между собой. Расстояние l, преодолеваемое молекулой между двумя последовательными столкновениями, называют длиной рис. 62 94 свободного пробега. Естественно, l каждой молекулы различна, но поскольку в газе молекул много, то вводят понятие средней длины свободного пробега l молекул. В силу хаотичности движения l для данного состояния газа является постоянной величиной, харак- теризующей всю совокупность молекул газа при данных давлении и температуре. Между столкновениями (на длине свободного пробега) молекула движется равномерно и прямолинейно. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкно- вении центры двух молекул, называют эффективным диаметром молекулы d. За 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней ско- рости v [см. (45.5)], и если z — среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина сво- бодного пробега l v z = (48.1) Для упрощенного вычисления средней длины свободного пробега молекул воспользуемся следующей моделью: молекулу представим в виде твердого шарика диаметром d, и она движется со скоростью v среди других «застывших» молекул. При движении эта молекула столкнется со всеми молекулами газа, центры которых лежат от тра- ектории движения молекулы (траектория движения ввиду большого числа молекул имеет сложный вид) на расстояниях, равных диаметру d молекул или меньших его. Тогда за 1 с движущаяся молекула стол- кнется со всеми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра высотой v и радиусом основания d (рис. 63). Среднее число столкновений за 1 с z = nV = nπd 2 v, где n — концентрация молекул газа; V — объем (V = πd 2 n). Точные расчеты показывают, что при учете движения других молекул z d n v = 2 2 π (48.2) Тогда средняя длина свободного пробега [подставили (48.2) в (48.1)] l d n = 1 2 2 π , (48.3) т. е. l обратно пропорциональна кон- центрации n молекул. Это означает, что чем меньше плотность газа (меньше n), тем больше средняя длина свободного рис. 63 пробега. Так, уменьшив плотность газа в 10 раз, во столько же раз увеличится l . Откачивая из сосуда газ, по мере понижения давления число столкновений молекул друг с другом уменьшается, что приводит к увеличению длины свободного пробега. Газ, давление которого ниже нормального атмосферного давления, называют разреженным. При достаточно большом разрежении стол- кновения между молекулами относительно редки, поэтому основную роль играют столкновения молекул со стенками сосуда. Вакуумом называют состояние газа, при котором средняя длина свободного пробега l молекул сравнима (или больше) с линейным размером d откачиваемого сосуда, характерным для рассматриваемого процесса. Если средняя длина свободного пробега гораздо больше линейного размера ( l >> d ), то имеет место сверхвысокий вакуум. Газ в со- стоянии сверхвысокого вакуума называют ультраразреженным. Понятие вакуума применимо к газу, находящемуся в замкнутом либо откачанном сосуде, а также газу в свободном пространстве, например к космосу. 96 Гл а в а 8 ПЕРвоЕ начало тЕРмодинамики § 49. основные понятия Термодинамика — раздел физики, в котором изучаются общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии те- плового равновесия (см. § 40), и процессы перехода между этими состояниями. Термодинамика, изучая свойства макроскопических тел, не вда- ется в их микроскопическую природу, как это делает молекулярная физика (см. § 39). Термодинамика основывается на термодинамическом методе исследования системы из большого числа частиц, оперирующий на основе законов сохранения энергии величинами, которые характе- ризуют систему в целом (например, давление, объем, температура). При этом не рассматриваются ее микроструктура и совершающиеся в ней микропроцессы. Термодинамика базируется на двух началах — фундаментальных законах, установленных в результате обобщения опыта. Область применения термодинамики значительно шире, чем молекулярно- кинетической теории, ибо нет таких областей физики и химии, в которых нельзя было бы пользоваться термодинамическим методом. Однако с другой стороны, термодинамический метод несколько ограничен: термодинамика ничего не говорит о микроскопическом строении вещества, механизме явлений, а лишь устанавливает связи между макроскопическими свойствами вещества. Молекулярно- кинетическая теория и термодинамика взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое, но отличаясь различными методами исследования. Термодинамика оперирует с термодинамической системой — совокупностью макроскопических тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией как между собой, так и с другими телами (внешней средой). Основная задача термодинамики — определение состояния термодинамической системы, которое задается параметрами со стояния — совокупностью физических величин, уже рассмотренных ранее (давлением, объемом, температурой и др.), характеризующих свойства термодинамической системы. 97 Любое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из параметров состояния, называют термодинамическим процессом. § 50. закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул Число степеней свободы — число независимых величин, опреде- ляющих положение системы (тела). Так, положение в пространстве материальной точки полностью определяется заданием значений трех ее координат (например, декартовых x, y, z). В соответствии с этим материальная точка имеет три степени свободы. В классической механике опытным путем показано, что при определении числа степеней свободы атомы следует рассматривать как материальные точки. Поэтому молекуле одноатомного газа приписывают три поступательные степени свободы. Двухатомной молекуле, в зависимости от характера связи между атомами, при- писывают либо три поступательные и две вращательные степени свободы (в случае жесткой связи), либо еще одну колебательную степень свободы (в случае упругой связи). Трехатомную молекулу характеризуют шестью степенями свободы — тремя поступательными и тремя вращательными. Естественно, жесткой связи между атома- ми не существует, поэтому для реальных молекул следует учитывать также колебательные степени свободы. Независимо от общего числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения ε 0 в (44.11), ε ε 1 0 3 1 2 = = kT . (50.1) В классической статистической физике выводится закон Больц мана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вра- щательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная 1 2 kT , а на каждую колебательную степень свободы — в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень «обладает» вдвое большей энергией по- тому, что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), но и потенци- 98 альная, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Таким образом, средняя энергия молекулы ε = i kT 2 , (50.2) где i — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоен- ного числа колебательных степеней свободы молекулы: i = i пост + i вращ + 2i колеб § 51. внутренняя энергия Внутренняя энергия термодинамической системы — это энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодей- ствия этих частиц. К внутренней энергии не относятся кинетическая энергия системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях. Внутренняя энергия U— однозначная функция термодинамиче- ского состояния системы, т. е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией. Это означает, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение внутрен- ней энергии определяется только разностью значений внутренней энергии этих состояний и не зависит от того, как система перешла в данное состояние. Внутренняя энергия определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Подобная неоднозначность не отражается на выводах, поскольку в термодинамике интерес представляет не абсо- лютное значение внутренней энергии термодинамической системы, а ее изменение при изменении состояния системы. Рассматривая в качестве термодинамической системы идеальный газ и учитывая, что молекулы идеального газа между собой не взаи- модействуют, внутренняя энергия, отнесенная к 1 моль идеального газа, равна сумме кинетических энергий N A молекул: U N i kTN i RT m A A = = = ε 2 2 (51.1) [учли формулы (50.2) и (43.7)]. Внутренняя энергия для произвольной массы m газа U m M i RT i RT = = 2 2 ν , (51.2) где M — молярная масса; ν = m M — количество вещества; i — число степеней свободы. 99 § 52. Работа газа при изменении его объема Найдем в общем виде работу, совершаемую газом над внешними телами. Пусть газ заключен в цилиндрический сосуд (рис. 64) с под- вижным поршнем площадью S, и вычислим работу, совершаемую газом при его расширении. Если газ медленно расширяется, переме- стив при этом поршень на бесконечно малое расстояние d l, то можно считать, что в течение процесса давление постоянно. Газ действует на поршень с силой F = pS, где p — давление газа. Работа, совершаемая газом при его расширении, d A = F dl = pS dl = p dV, где Sdl = dV — бесконечно малое увеличение объема. Таким об- разом, d A = p dV. (52.1) Полную работу A, совершаемую газом при изменении его объема от V 1 до V 2 , найдем интегрированием формулы (52.1): A p V V V = ∫ d 1 2 (52.2) Выражение (52.2) справедливо при любых изменениях объема твердых, жидких и газообразных тел. Рассмотрим графическое изображение произведенной работы на диаграмме p, V (рис. 65). При увеличении объема на dV совершаемая газом работа равна pdV, т. е. определяется площадью тонированной полоски с основанием d V. Поэтому полная работа, совершаемая газом при расширении от объема V 1 (точка 1) до объема V 2 (точка 2 ), определяется площадью, ограниченной осью абсцисс, кривой p = f (V ) и прямыми V 1 и V 2 Графически можно изображать только равновесные процессы — процессы, состоящие из последовательности равновесных состояний. Они протекают так, что изменение термодинамических параметров за конечный промежуток времени бесконечно мало. Все реальные про- цессы неравновесны (они протекают с конечной скоростью), но в ряде рис. 64 рис. 65 100 случаев неравновесностью реальных процессов можно пренебречь (чем медленнее протекает процесс, тем он ближе к равновесному). § 53. Первое начало термодинамики Первое начало термодинамики, сформулированное на основе многовековых опытных данных, — фундаментальный закон приро- ды — представляет собой закон сохранения и превращения энергии применительно к термодинамическим процессам. Внутреннюю энергию системы можно изменять в результате со- вершения над системой работы и сообщения ей теплоты. Так, при движении поршня внутрь цилиндра газ, находящийся в нем, сжимается, в результате чего его температура повышается, т. е. тем самым изменяется (увеличивается) внутренняя энергия газа. С дру- гой стороны, температуру газа и его внутреннюю энергию можно повысить за счет сообщения ему некоторого количества теплоты — энергии, переданной системе внешними телами путем |