Trofimova Физика для бакалавров. Учебник Рецензент ы др физ мат наук, проф
 Скачать 4.33 Mb.
|
|
изотермическим. График зависимости между параметрами состоя- ния газа при постоянной температуре называют изотермой. Изо- терма в координатах p, V представляет собой гиперболу (рис. 52, а). Гиперболы расположены на графике тем выше, чем выше температу- ра процесса. Изотермы в координатах р, T — прямая, параллельная оси p (рис. 52, б), в координатах V, T — прямая, параллельная оси V (рис. 52, в). Законы Гей-Люссака: 1) объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой: V = V 0 (1 + αt) (p = const, m = const); (42.2) 2) давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с температурой: p = p 0 (1 + αt) (V = const, m = const). (42.3) В этих уравнениях t — температура по шкале Цельсия; p 0 и V 0 — давление и объем при 0 °С, коэффициент α = 1/273,15 К −1 Процесс, происходящий при постоянном давлении, называют изобарным. График зависимости между параметрами состояния газа при постоянном давлении называют изобарой, которая в координатах V, t для двух разных давлений представлена на рис. 53. Процесс, происходящий при постоянном объеме, называют изо хорным. График зависимости между параметрами состояния газа при постоянном объеме называют изохорой, которая в координатах p, t для двух разных объемов представлена на рис. 54. Из уравнений (42.2) и (42.3) следует, что изобары и изохоры пере- секают ось температур в точке t = −1/α = −273,15 °С, определяемой рис. 52 83 из условия 1 + αt = 0. Если перенести начало отсчета в эту точку, то происходит переход к шкале Кельвина (см. рис. 54), откуда T = t + 1/α. Вводя в формулы (42.2) и (42.3) термодинамическую температуру, законам Гей-Люссака можно придать более удобный вид: V = V 0 (1 + αt) = V 0 [1 + α(T − 1/α)] = V 0 αT, (42.4) p = p 0 (1 + αt) = p 0 [1 + α(T − 1/α)] = p 0 αT, (42.5) V V T T 1 2 1 2 = ( m = const, p = const), (42.6) p p T T 1 2 1 2 = ( m = const, V = const), (42.7) где индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям, лежащим на одной изобаре или изохоре. На рис. 55 ( а—в) и 56 (а—в) соответственно представлены изобара и изохора в координатах p, V; p, T и V, T. рис. 53 рис. 54 рис. 55 84 Закон Авогадро: 1 моль любых газов при одинаковых температу- рах и давлениях занимает одинаковый объем. При нормальных условиях (T 0 = 273,15 К; p 0 = 1,013⋅10 5 Па) этот объем равен V m = 22,41⋅10 −3 м 3 /моль [см. (40.5)]. Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений p 1 , p 2 , … p n входящих в нее газов: p = p 1 + p 2 + … + p n (42.7) Парциальное давление — давление, которое производил бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре. Отметим, что при больших давлениях компоненты смеси нельзя рассматривать как независимые (проявляется их взаимодействие) и наблюдается отклонение от закона Дальтона. § 43. Уравнение состояния идеального газа Состояние любой массы газа определяется тремя термодинами- ческими параметрами: давлением p, объемом V и температурой T. Между этими параметрами существует определенная связь, на- зываемая уравнением состояния, которое в общем виде задается выражением f (p, V, T ) = 0, (43.1) где каждая из переменных является функцией двух других. Из законов Гей-Люссака (42.4) и (42.5) можно найти, что для m = const pV T = const. (43.2) рис. 56 85 При T = const и p = const объем газа пропорционален массе газа. Учитывая этот факт, Б.Клапейрон (1840) записал уравнение (43.2) в виде pV T B = , (43.3) где B — постоянная, пропорциональная массе газа и разная для различных газов. Уравнение (43.3) называют уравнением Клапей рона. Уравнение Клапейрона подтверждалось опытом: оказалось, что при комнатной температуре и атмосферном давлении азот и кисло- род хорошо описываются этим уравнением. Кроме того, из опыта следовало, что чем газ более разреженный, тем точнее выполняется уравнение (43.3). Если количество газа равно 1 моль, то константа B в уравнении (43.3) будет одинаковой для всех газов. Тогда уравнение состояния идеального газа можно записать в виде pV m = RT, (43.4) где V m — молярный объем [см. (40.5)]; R — молярная газовая по стоянная, общая для всех газов. Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (43.4), полагая, что 1 моль газа находится при нормальных условиях ( p 0 = 1,013⋅10 5 Па, T 0 = 273,15 К, V m = 22,41⋅10 −3 м 3 /моль): R = 8,31 Дж/(моль⋅К). (43.5) Уравнение (43.4) называют также уравнением Клапейрона— Менделеева для 1 моль газа. Учитывая, что V V m M V = = ν m m [см. (40.5) и (40.3)], можно перейти к уравнению Клапейрона—Менделеева для произвольной m массы газа: pV m M RT RT = = ν (43.6) Часто пользуются несколько иной формой записи уравнения со- стояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана: k R N = = ⋅ − A Дж К 1 38 10 23 , (43.7) Исходя из этого, уравнение (43.4) запишем в виде p RT V kN T V nkT = = = m A m , 86 N A / V m = n — концентрация молекул (число молекул в единице объема) или p = nkT (43.8) — еще одна форма записи уравнения состояния идеального газа. Из него следует, что давление идеального газа при данной температуре пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). § 44. основное уравнение молекулярно-кинетической теории Основное уравнение молекулярно-кинетической теории выведем для одноатомного идеального газа, предполагая, что молекулы газа движутся с одинаковой скоростью хаотически и число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по срав- нению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Далее хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, причем в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул (из них 1/6 молекул движется вдоль данного направления в одну сторону, а 1/6 молекул — в другую). При сделанных допущениях, и выделив на стенке сосуда элемен- тарную площадку ∆S, число ударов молекул за время ∆t на эту пло- щадку будет 1 6 n Sv t ∆ ∆ . При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ P m v n Sv t nm v S t = = 2 1 6 1 3 0 0 2 Тогда давление, оказываемое газом на стенку сосуда: p P t S nm v = = ∆ ∆ ∆ 1 3 0 2 (44.1) Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоро- стями v 1 , v 2 , … v N , то целесообразно рассматривать среднюю ква дратичную скорость v N v i i N кв = = ∑ 1 2 1 , (44.2) характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (44.1) с учетом (44.2) примет вид: p nm v = 1 3 0 2 кв (44.3) 87 Уравнение (44.3) называют основным уравнением молекулярно- кинетической теории идеальных газов. Отметим, что точный расчет с учетом движения молекул по все- возможным направлениям приводит к такой же формуле. Поскольку масса всех молекул принята одинаковой, то m 0 можно внести под знак среднего и выражение (44.3) записать в виде p n m v n = = 2 3 2 2 3 0 2 ε пост , (44.4) где 〈ε пост 〉 — средняя энергия поступательного движения молекулы. Учитывая, что n N V = , уравнение (44.3) можно записать в виде pV Nm v = 1 3 0 2 кв (44.5) или pV m v = 1 3 2 кв , (44.6) где m = Nm 0 — масса газа. Для 1 моль газа т = M (M — молярная масса), поэтому pV M v m кв = 1 3 0 2 , (44.7) где V m — молярный объем. С другой стороны, согласно уравнению (43.4) pV m = RT, тогда RT M v = 1 3 2 кв , (44.8) откуда v RT M кв = 3 (44.9) Так как M = m 0 N A , где m 0 — масса одной молекулы, а N A — по- стоянная Авогадро, то из уравнения (44.9) следует, что v RT m N kT m кв A = = 3 3 0 0 , (44.10) где k R N = A — постоянная Больцмана. Сравнивая выражения p = nkT (43.8) и p n = 2 3 ε пост (44.4), по- лучаем ε 0 3 2 = kT, (44.11) 88 т. е. средняя кинетическая энергия поступательного движения мо- лекулы идеального газа пропорциональна термодинамической тем- пературе и зависит только от нее. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения моле- кул идеального газа, и формула (44.11) раскрывает молекулярно- кинетическое толкование температуры. При предельно низких температурах (близких к 0 К) выражение (44.11) не справедливо, поскольку в этой области температур выводы молекулярно-кинетической теории не применимы. § 45. закон максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям При хаотическом движении молекул в газе они непрерывно стал- киваются между собой, в результате чего их скорости изменяются как по модулю, так и по направлению. Однако в состоянии термо- динамического равновесия (T = const) устанавливается стационарное (не меняющееся со временем) распределение молекул по скоростям, подчиняющееся статистическому закону, выведенному Максвел- лом (1859). Пусть в некотором объеме содержится большое число N молекул газа. Если всевозможные значения скоростей молекул разбить на малые интервалы d v, то на каждый интервал будет приходиться не- которое число молекул d N(v), скорость которых заключена в интер- вале от v до v + dv. Величина d N v N ( ) определяет относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, т. е. d d N v N f v v ( ) ( ) , = (45.1) откуда f v N v N v ( ) ( ) = d d (45.2) Функцию f (v) называют функцией распределения молекул по скоростям: она определяет относительное число (долю) молекул d N v N ( ) , скорости которых лежат в интервале от v до v + dv. Максвелл, предполагая, что газ состоит из большого числа одина- ковых молекул, его температура постоянна, молекулы газа движутся хаотически (потому все направления движения равновероятны), 89 на газ не действуют силовые поля, и, применяя методы теории вероятностей, теоретически получил функцию f v m kT v m v kT ( ) , = − 4 2 0 3 2 2 2 0 2 π π e (45.3) называемую законом распределения мо лекул идеального газа по скоростям. В формуле (45.3) m 0 — масса моле- кулы; v — ее скорость; k — постоянная Больцмана; T — термодинамическая температура. График функции (45.3) представлен на рис. 57. Характерной особенностью этой функции является то, что в показателе экспоненты стоит со знаком «–» отношение кинетиче- ской энергии молекулы со скоростью v к средней энергии молекул газа ( kT ). Так как при возрастании v множитель e − m v kT 0 2 2 уменьшается быстрее, чем растет множитель v 2 , то функция f (v), начинаясь от нуля, до- стигает максимума при v в и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно v в Относительное число молекул d N v N ( ) , скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, находится как площадь тонированной поло- ски на рис. 57. Площадь, охватываемая кривой f (v), равна единице. Скорость, при которой функция распределения молекул идеаль- ного газа по скоростям максимальна, называют наиболее вероятной скоростью. Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав выражение (45.3) (постоянные множители опускаем) по аргументу v, приравняв результат нулю и используя условие для максимума выражения f(v): d d e e v v v m v kT m v kT m v kT 2 2 0 2 2 0 2 0 2 2 1 2 0 − − = − = . Значения v = 0 и v = ∞ соответствуют минимумам выражения (45.3), а значение v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость v в : v kT m в = 2 0 (45.4) На рис. 58 для примера приведена функция распределения мо- лекул кислорода для двух температур (300 и 900 К). С повышением температуры максимум функции f (v) смещается вправо (значение рис. 57 90 наиболее вероятной скорости становит- ся больше). Площадь же, ограниченная кривой, остается неизменной, поэтому с повышением температуры кривая f (v) растягивается и понижается. При рассмотрении идеальных газов используется также средняя скорость v kT m = 8 0 π (45.5) (формулу для ее определения приводим без вывода). Таким образом, скорости, характеризующие состояние газа: наиболее • вероятная v kT m RT M в = = 2 2 0 ; (45.6) средняя • v kT m RT M = = 8 8 0 π π ; (45.7) средняя • квадратичная [см. также (44.9) и (44.10)] v kT m RT M кв = = 3 3 0 (45.8) [см. также рис. 58]. В формулах (45.6)—(45.8) учтено, что k R N = A и m 0 N A = M. § 46. барометрическая формула. Распределение больцмана Как известно из опыта, атмосферное давление p с высотой h убывает. Предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна, масса всех молекул газа одинакова, ускорение свободного падения не изменяется, выведем зависимость p(h). Выделим в атмосфере вертикальный столб площадью попереч- ного сечения 1 м 2 (рис. 59). Если атмосферное давление на высоте h равно p, то на высоте h + dh оно равно p + dp (при dh > 0 dp < 0, так как давление с высотой убывает). Разность давлений p и p + dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой d h с основанием площадью 1 м 2 : рис. 58 91 p − (p + dp) = ρgdh, где ρ — плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной). Сле- довательно, d p = −ρgdh. (46.1) Учитывая, что плотность газа ρ = m V , (46.2) и то, что при условиях, близких к нормальным, воздух хорошо подчиняется уравнению Клапей- рона— Менделеева (43.6) pV m M RT = , выражение (46.1) запишем в виде d d p Mg RT p h = − , или d d p p Mg RT h = − Проинтегрируем последнее уравнение d d p p Mg RT h p p h 0 0 ∫ ∫ = − , ln p p Mg RT h 0 = − [учли, что высоты обозначаются относительно уровня моря ( h = 0), где давление считается нормальным ( p 0 )]. Потенцируя последнее выражение, получим зависимость давления p от высоты h p p Mgh RT = − 0 e , (46.3) которая называется |