ЕН.Р.1 Фин вычисления. Учебнометодический комплекс дисциплины Финансовые вычисления 080109. 65 Бухгалтерский учет, анализ и аудит Форма подготовки (заочная)
 Скачать 1.86 Mb.
|
|
Если обозначить матрицу через Н, вектор – через А и вектор в правой части – через G, то получим уравнения в матричной форме: Н*А = G, А = Н-1* G. Рассмотрим далее задачу для случая портфеля состоящего из трех ценных бумаг: L =  *W12 + *W22 + *W32 +2*W1 * W2* +2*W1 * W3* +2*W2 * W3* + λ1 *( R1W1 + R2W2 + R3W3 – Rр)+ λ2 *(W1+. W2 W3 – 1).dL/dW1= 2 *W1 +2* W2* + 2W3* + λ1 * R1 + λ2 = 0dL/dW2= 2 *W1 +2* W2* + 2W3* + λ1 * R2 + λ2 = 0dL/dW3= 2 *W1 +2* W2* + 2W3* + λ1 * R3 + λ2dL/d λ1, = R1W1 + R2W2 + R3W3 – Rр = 0. dL/d λ2, = W1+. W2 W3 - 1. Представим данную систему уравнений в матричном виде:
Если обозначить матрицу через Н, вектор – через А и вектор в правой части – через G, то получим уравнения в матричной форме: Н*А = G, А = Н-1* G. Пример. Имеются три акции. Их параметры представлены в таблице
Матрица Н G и Н-1 для данной задачи будет иметь следующий вид
Удельные веса акций будут равны
Если инвестор хочет получить доходность Rр = 12%, то получим: W1 = 0,305, W2 = 0,259, W3 = 0,435. Рассмотренный пример иллюстрирует вычислительные трудности, связанные с использованием модели Марковица. Так сам Марковиц подсчитал, что анализ 100 ценных бумаг требует вычисления 100 ожидаемых значений доходности, 100 дисперсий и почти 5000 ковариаций. В связи с этим уже 1962 корпорацией IBM была разработана первая компьютерная программа для реализации модели Марковица. Модель оценки капитальных активов Выше было показано, как формируется портфель, состоящий из рисковых активов. Инвестор, однако, может создать портфель, включающий наряду с рисковыми и безрисковый актив. Этот актив имеет нулевой риск и некоторую безрисковую доходность, которую обозначим через Rf (см. рис.). Точка Rf соответствует ситуации, когда портфель сформирован только из безрисковых активов. Комбинация безрискового и рискового актива упрощает зависимость между риском и доходностью портфеля. Точка А соответствует ситуации, когда портфель составлен только из рисковых активов. Возможные портфели сформированные из комбинации рисковых и безрисковых активов будет располагаться на прямой, соединяющей точку безрисковой доходности и точку А пересечения этой линией эффективного множества рисковых портфелей. Вид линии RfА обусловлен отсутствием корреляционной зависимости между безрисковым активом с одной стороны и рисковым активом с другой, т.е. при комбинации рисковых и безрисковых активов эффект диверсификации не возникает. Рассмотренное взаимоотношение между риском и доходностью известна как модель оценки капитальных активов (capital asset pricing model CAPM). В соответствии с моделью CAPM инвесторы формируют портфель не только из рисковых активов, а определяют доли средств направляемых в рисковые и безрисковые активы. Точки на прямой RfА находящиеся вблизи точки А соответствуют портфелям, сформированным в основном их рисковых активов, а вблизи точки Rf– из безрисковых.  Рис. Достижимое множество портфелей в модели CAPM Выбор соотношения между риском и доходностью в рамках модели CAPM существенно отличается от модели Марковица. В рамках последней модели инвесторы ищут конкретный портфель рисковых активов, соответствующий их отношению к риску. В рамках модели CAPM (Capital asset pricing model) инвестор определяет риск портфеля путем выбора соотношения между рисковыми и безрисковыми активами. Так, например, инвесторы менее склонные к риску большую часть своих средств помещают в государственные ценные бумаги, а более терпимые к риску – в корпоративные ценные бумаги. На представленном выше рисунке можно провести сотни линий, соединяющих точку Rfи линию эффективных портфелей. Из них необходимо выбрать такую, которая является наилучшей для инвестора, т.е. обеспечивает наилучшее соотношение между доходностью и риском. Так например портфели, лежащие на линии RfА не являются эффективными, так как любому портфелю, лежащему на этой линии может быть противопоставлен портфель с большей доходностью при том же самом уровне риска. Например, портфель Р2 имеет более высокую доходность при том же уровне риска.    Следовательно, эффективные портфели будут лежать на линии, которая имеет наибольший наклон по отношению к горизонтальной оси. Эта линия выходит из точки Rf и является касательной по отношению к кривой, соответствующей эффективному множеству в модели Марковица. Портфели, лежащие на прямой RfМ обеспечивают наибольшую доходность при заданном уровне риска. Эта единственную линию называют линией рынка капитала (Capital Market Line). Точка М соответствует рыночному портфелю, т.е. портфелю составленному из всех рисковых активов. Каждый актив в рыночном портфеле представлен в пропорции соответствующий его доли на рынке. Так, например, на фондовом рынке США доля компании General Motors составляет один процент рисковых активов. Исходя из этого доля акций данной компании в рыночном портфеле также должна составлять один процент. Уравнение линии рынка капитала имеет следующий вид |
