ЕН.Р.1 Фин вычисления. Учебнометодический комплекс дисциплины Финансовые вычисления 080109. 65 Бухгалтерский учет, анализ и аудит Форма подготовки (заочная)

• Название: Учебнометодический комплекс дисциплины Финансовые вычисления 080109. 65 Бухгалтерский учет, анализ и аудит Форма подготовки (заочная)
• Дата: 13.09.2022
• Размер: 1.86 Mb.
• Имя файла: ЕН.Р.1 Фин вычисления.doc
• Тип: Учебно-методический комплекс; #675305
• страница: 4 из 17

Доходность облигаций

Облигации приобретаются инвесторами с целью получение дохода. Для анализа эффективности вложений в разные виды облигаций, а также в другие ценные бумаги следует сопоставить величину получаемого дохода с величиной инвестиций с затратами на приобретение ценной бумаги. Различают следующие показатели доходности: купонная доходность, текущая доходность, доходность к погашению, доходность за период владения.

Купонная доходность (R_К) устанавливается при выпуске облигации и для ее расчета используется следующая формула:

R_К=I/N,

где I— купонный доход, N— номинальная цена облигации.

Текущая доходность (R_T) определяется как отношение величины процентного дохода к цене приобретения облигации:

R_T= I /P,

где I — процентный доход, Р — цена приобретения облигации.

Пример. Облигация номиналом 1000 руб. продается по цене 900 руб. процентный доход в размере 15% годовых выплачивается один раз в год. Определить купонную и текущую доходность облигации.

Купонная доходность будет равна:

R_К=I/N = 150/1000 = 0,15 или 15% годовых

Текущая доходность будет равна:

R_T= I /P = 150/900 = 0,167 или 16,7% годовых.

Доходность к погашению равна требуемой норме прибыли инвестора R, при которой приведенная стоимость денежных платежей по облигации равна ее рыночной стоимости. В течение срока жизни облигации происходит изменение ее рыночной цены и доходности вследствие изменения процентных ставок. Если инвестор собирается держать облигацию до погашения, то он может сопоставить все полученные по облигации доходы (процентные платежи и сумму погашения) с ценой приобретения облигации. Полученная таким способом величина называется доходностью к погашению или внутренней нормой прибыли.

Доходность к погашению можно определить методом последовательных приближений, используя полученную ранее формулу

P = I/R*[1-1/(1+R)ⁿ] + N/(1+R)ⁿ,

где P – рыночная цена облигации, R – доходность к погашению, n – число периодов владения облигацией.

Метод последовательных приближений реализуется путем подстановки в данную формулу различные значения R и определения для каждого значения Rсоответствующего значения цены. Если для выбранного значения R мы получаем цену выше заданного значения цены (Р), то следует увеличить значение Rи найти новое значение Р. Если получено значение Р ниже заданной цены, то необходимо уменьшить значение R. Такие действия необходимо продолжать до тех пор, пока расчетная цена не совпадет с заданной точностью с рыночной ценой. Полученное таким образом значение Rи будет являться доходностью облигации к погашению или внутренней нормой прибыли облигации.

Пример. Номинал облигации — 1000 руб. Срок погашения облигации — через 3 года. По облигации выплачивается 15% годовых, выплата производится один раз в год. Курсовая цена облигации — 920 руб. Определить доходность облигации к погашению. В качестве первого приближения возьмем ставку дисконтирования равной 17%. Найдем цену облигации:

P = 150/0,17*[1-1/(1+0,17)³] + 1000/(1+0,17)³ = 955,81 руб.

Мы получим цену, которая выше курсовой цены облигации. Следовательно, ставка дисконтирования должна быть увеличена. Увеличим ее до 19% и найдем новое значение цены облигации:

P = 150/0,19*[1-1/(1+0,19)³] + 1000/(1+0,19)³ == 914,4 руб.

Мы получили значение цены, которое ниже курсовой цены облигации. Следовательно, чтобы получить значение цены, равное курсовой стоимости облигации ставка дисконтирования должна быть ниже 19%. Искомое значение находится между 17% и 19%. Продолжая представленные расчеты, можно найти значение доходности к погашению – 18,7%. Цена облигации в этом случае будет равна

P = 150/0,187*[1-1/(1+0,187)³] + 1000/(1+0,187)³ = 920,45 руб.

Таким образом, при ставке дисконтирования равной 18,7% текущая стоимость процентных платежей и суммы погашения облигации равна покупной цене облигации – затратам инвестора. Это означает, что доходность облигации к погашению составляет 18,7%. Использование показателя доходности к погашению позволяет инвестору решить вопрос о приемлемости инвестиций в приобретение облигации.

В реальных ситуациях для принятия того или иного решения не всегда необходимо производить точные вычисления, так как многие факторы, определяющие доходность финансовых инструментов, остаются вне контроля инвестора. В этом случае для получения приблизительного результата можно использовать следующую формулу:

R = [(N-P)/n+I]/[(N+P)/2],

где N — номинал облигации; Р— цена облигации; п — число лет до погашения облигации; I — ежегодный процентный доход. Для приведенного выше примера имеем:

R = [(1000-920)/3+150]/[(1000+920)/2] = 18,4%.

Отклонение значения доходности, полученного с помощью приближенной формулы, весьма незначительно и находится в пределах допустимой ошибки.

Бескупонная облигация

Для определения доходности бескупонной облигации (облигации с нулевым купоном) необходимо воспользоваться формулой для определения цены облигации:

P = N/(1+R)ⁿ.

После преобразований получаем следующее выражение для доходности бескупонной облигации:

R= - 1

Пример. Определить доходность бескупонной облигации номинальной стоимостью 1000 руб. Рыночная цена облигации равна 700 руб. и до погашения остается 3 года. Доходность определяется из представленного выше выражения

R= - 1 = - 1 = 0,126 или же 12,6%.

Доходность краткосрочных облигаций (сроком действия до 1 года) обычно определяется по формуле:

R = (DI/P) * (365/T)

где DI— величина дисконта; Р –цена облигации; Т — число дней до погашения облигации. Подставляя вместо D= N-Р, получаем:

R = [(N-P)/P] * (365/T) = (N/P-1)*(365/T)

Пример. Облигация номиналом 1000 руб. продается с дисконтом по цене 950 рублей. До погашения облигации остается 60 дней. Определить доходность к погашению. Используя полученное выше выражение получаем:

R = (1000/950-1)*(365/60) = 0,320 или же 32,0%

Доходность за период владения

Наряду с показателем доходности к погашению инвестор может использовать показатель доходности за период владения. Методика расчета этих двух показателей различается незначительно. Отличие заключается лишь в том, что инвестор получает не сумму погашения (номинальная облигация), а цену продажи облигации, которая может отличаться от номинала. Поэтому в приведенных выше формулах вместо номинала облигации будет фигурировать цена продажи облигации.

Пример. Инвестор приобрел облигацию номиналом 1000 руб., купонным доходом 20% и сроком погашения через пять лет за 800 руб. и продал ее через три года за 900 руб. Необходимо определить доходность за период владения. В данном случае для получения приблизительного результата можно использовать следующую формулу:

R = [(Рs-Pp)/n+I]/[(Ps+Pp)/2],

где Рs — цена продажи облигации; Pp — цена приобретения облигации; п — число лет владения облигацией; I — ежегодный процентный доход. Для приведенного выше примера имеем:

R = [(900-800)/3+200]/[(900+800)/2] = 27,45%.

Пример. Инвестор приобрел бескупонную облигацию номиналом 1000 руб. за 600 руб. и продал ее через 2 года за 800 руб. Определить доходность за период владения. В данном случае необходимо использовать следующую формулу

R= - 1

получаем:

R= - 1= 0,1547 или 15,47% годовых.

Пример. Государственная краткосрочная облигация номиналом 1000 руб. была куплена инвестором за 800 руб. и продана через 160 дней за 900 руб. Определить доход за период владения.

R = (Рs / Pp -1)*(365/T)

R = (900/800-1)*(365/160) = 0,29 или 29% годовых.
Цена и доходность депозитных сертификатов и векселей

По своим основным характеристикам депозитные и сберегательные сертификаты близки к краткосрочным и среднесрочным облигациям. По окончании срока действия сертификата его владелец получает сумму вклада и процентов. Если известна процентная ставка по сертификату сроком действия до одного года, то сумма начисленных процентов (процентного дохода) может быть определена по формуле:

D = N*[(R_c *T)/ 365]

где N — номинал сертификата; D— процентный доход; R_c— процентная ставка по сертификату; Т — срок действия сертификата.

Сумма, выплачиваемая владельцу сертификата при погашении, равна:

N+D = N + (N/365) * R_c *T = N * [1+ R_c *T/365]

Для определения цены сертификата используется формула:

P= [N * (1+R_c *T/365)]/[1+R*T/365]

где R— требуемая норма прибыли.

Пример 19.

До погашения депозитного сертификата номиналом 10 000 руб. осталось 90 дней. Процентная ставка по сертификату составляет 14% годовых. Требуемая норма прибыли по данному виду ценных бумаг составляет 13% годовых. Определить цену сертификата.

Используя формулу (11.26), получаем:

P= [10000 * (1+ 0,14 *90/365)]/[1+0,13*90/365] = 10024 .руб.

По российскому законодательству депозитные сертификаты предназначены для юридических лиц и выпускаются на срок до одного года. Для физических лиц выпускаются сберегательные сертификаты, срок действия которых может доходить до трех лет. Цена сертификатов, выпускаемых на срок более одного года, определяется так же, как и для облигаций.

Пример 20.

Сберегательный сертификат сроком действия 3 года имеет номинал 1000 руб. Проценты выплачиваются раз в полгода. Процентная ставка на первый год — 12% годовых. Требуемая норма прибыли составляет 13% годовых.

На основе анализа состояния финансового рынка инвестор считает, что процентная ставка по сертификатам пересматриваться не будет, и требуемая норма прибыли также останется без изменений. Тогда искомая величина может быть определена по формуле

Р=60/0,065*[1-1/(1+0,065) ⁶] + 1000/(1+0,065) ⁶ = 290,4 + 685,4 = 975,8 руб.

Цена сертификата ниже номинала, так как процентная ставка по сертификату ниже, чем требуемая норма прибыли по данному виду ценных бумаг.

Если известна рыночная цена сертификата и инвестор определил требуемую норму прибыли для данного вида ценных бумаг, то доходность сертификата со сроком погашения меньше года можно определить по формуле

R = (DI/P) * (365/T)

где DI— величина дисконта; Р –цена сертификата; Т — число дней до погашения.

Депозитный сертификат номиналом 100 000 руб. выпущен на срок 270 дней. По сертификату установлена процентная ставка из расчета 18% годовых. До погашения сертификата остается 90 дней. Сертификат продается по цене 109 000 руб. Определить доходность сертификата, если покупатель будет держать его до погашения.

Сумма, которую получит инвестор при погашении сертификата, определяется по формуле

N+D = 100000 * [1+ 0,18 *270/365] = 113315 руб.

Следовательно, доход держателя сертификата за период владения (90 дней) составит:

D90 = 113315-109 000 = 4315 руб.

Для определения доходности используем соотношение:

R = 4315/109000*(365/90) = 0,1605 или 16,05% годовых.

Общий подход при определении цены дисконтного или процентного векселя остается таким же, как и при определении других краткосрочных ценных бумаг (облигаций или сертификатов). Однако следует иметь в виду, что векселя котируются на основе дисконтной ставки (дисконтной доходности).

Важнейшим видом ценных бумаг являются акции. Акции могут иметь номинал, выкупную стоимость, так называемую «книжную» стоимость и рыночную цену или курс.

Номинал акции — это ее лицевая стоимость, обозначенная на акции. Эта величина не имеет какого-либо существенного значения, так как номинал не характеризует ни уровень дивидендов, ни величину стоимости, которая будет приходиться на акцию в случае ликвидации компании. Эта цена имеет значение только при организации акционерного общества. Но уже при последующих дополнительных выпусках акций их продажная цена может отличаться от номинала.

Необходимо учитывать, что абсолютное большинство российских акционерных обществ было создано в процессе приватизации государственных предприятий. Их уставный капитал определялся путем формальной оценки имущества АО по ценам, которые существенно отличались от рыночных даже в момент создания АО. Номинальная стоимость акции определялась по результатам ваучерного аукциона из формального условия приближенной делимости суммы уставного капитала на число ваучеров, предъявленных на аукцион. В дальнейшем ряд АО произвел переоценку имущества с увеличением номинала и изменением числа акций. Следует иметь в виду, что в международной практике номинал акции не имеет никакого значения. Существенна лишь рыночная цена акции. Однако в российских условиях акции большинства АО фактически не котируются на рынке и их номинал может служить в качестве начального ориентира при формировании рыночной цены.

Выкупная цена. В соответствие с Законом об АО при принятии решения о реорганизации общества, акционеры, голосовавшие против решения о реорганизации общества или не принимавшие участия в голосовании, вправе требовать выкупа принадлежащих им акций. Выкуп акций осуществляется по цене, определенной советом директоров, но не ниже рыночной стоимости.

Книжная (или балансовая) стоимость акции — это величина собственного капитала компании, приходящаяся на одну акцию. Если выпущены только обыкновенные акции, то эта стоимость определяется путем деления собственного капитала на число акций. Если выпущены также и привилегированные акции, то собственный капитал надо уменьшить на совокупную стоимость привилегированных акций по номиналу. Собственный капитал акционерного общества - это итог третьего раздела бухгалтерского баланса "Капитал и резервы".

Пример. В акционерном обществе раздел «Капитал и резервы» содержит следующие данные: уставный капитал – 124 тыс. руб., добавочный капитал – 3870 тыс. руб., резервный капитал – 22 тыс. руб., нераспределенная прибыль – 6648 тыс. руб. Все акции общества обыкновенные, их номинальная стоимость составляет 1 руб., а количество – 124 тыс. шт.

Балансовая стоимость акции = Итог раздела «Капитал и резервы» / число обыкновенных акций = 10664 тыс. руб. / 124 тыс. шт. = 86 руб.

Следовательно, при номинальной стоимости акции 1 руб., ее балансовая стоимость составляет 86 руб. По балансовой стоимости акции не продаются и не покупаются, она лишь свидетельствует о величине собственных средств акционерного общества, приходящихся на одну акцию.

Динамика балансовой стоимости акций в определенной мере отражает результаты деятельности акционерного общества. Если нет эмиссии дополнительных акций и не проводятся переоценки основных фондов, то динамика балансовой стоимости акций определяется результатами деятельности акционерного общества: при получении прибыли балансовая стоимость акций увеличивается, убытков – уменьшается. Полученная предприятием прибыль приводит к росту балансовой стоимости акций только в том случае, если направляется на развитие производства, в фонд накопления и другие фонды общества.

Рыночная цена, или курс акций — это та цена, по которой акции свободно продаются и покупаются на рынке. Номинал акции при этом значения не имеет, и акция меньшего номинала может продаваться по более высокой цене. Для инвестора имеет значение, какую прибыль приносит акция в данный момент и каковы перспективы получения прибыли в будущем.

Теоретически цена акций определяется либо как величина собственного капитала эмитента деленного на число эмитированных акций, либо как текущая стоимость будущих денежных поступлений. При это практическое использование этих теоретических оценок затруднено ввиду условности величины уставного капитала, а также полной неопределенности дивидендной политики в будущем.

Модели оценки стоимости акций определяются на основе анализа следующих факторов:

• 
  вид акций – привилегированная или простая,
  
• 
  сумма дивидендов, предполагаемая к получению в конкретном периоде,
  
• 
  ожидаемая курсовая стоимость акции в конце периода ее реализации,
  
• 
  ожидаемая норма прибыли,
  
• 
  число периодов использования акций.
  

Привилегированные акции

Модель оценки стоимости привилегированных акций основана на том, что эти акции дают право их собственникам на получение регулярных дивидендных выплат в фиксированном размере. Для определения цены привилегированной акции, имеющей фиксированную величину дивиденда, необходимо найти приведенную стоимость всех дивидендов, которые будут выплачены инвестору. Таким образом, общий подход к определению цены привилегированной акции соответствует рассмотренной нами ранее модели определения цены облигации. При этом надо учитывать, что облигация является бессрочной ценной бумагой; инвестор, однако, может продать ее через определенное время.

Если инвестор предполагает держать облигацию n периодов, то ее цена может быть определена из следующего выражения:

P = D/(1+R)¹+ D/(1+R)²+ … +D/(1+R)ⁿ + Рs/(1+R)ⁿ ,

где Р - стоимость акции; D- дивиденд на акцию; R- требуемая норма прибыли на данный тип инвестиций, Рs – стоимость акции на момент продажи.

Если инвестор предполагает держать облигацию достаточно долго, то ее цене может быть определена по формуле:

P = D/(1+R)¹+ D/(1+R)²+ … +D/(1+R)ⁿ +…

Как было показано ранее при достаточно большом n данное выражение может быть преобразовано к виду:

P = D/R

Пример. По привилегированной акции номиналом 50 долл. выплачивается дивиденд в размере 10 долл. Определить цену акции, если требуемая норма прибыли на данный тип акций составляет 20% годовых.

Применяя полученную формулу, имеем:

P = 10/0,2 = 50 долл.

Существует ряд подходов для определения требуемой нормы прибыли акции. Прежде всего следует ориентироваться на альтернативные возможности инвестирования с соответствующим уровнем риска. Требуемая норма прибыли по рисковым активам складывается из безрисковой ставки и премии за риск. Так в данном примере требуемая доходность может складываться из безрисковой ставки, составляющей 12% и премии за риск – 12%.

Обыкновенные акции

Задача определения рыночной цены обыкновенных акций является значительно более сложной, чем привилегированных акций. Обусловлено это следующими обстоятельствами. Во-первых, дивиденд по обыкновенным акциям заранее не объявляется и можно исходить лишь из предположения о его предстоящем уровне. Во-вторых, на выплату дивидендов идет только часть чистой прибыли компании, другая часть в виде нераспределенной прибыли остается в компании и используется на развитие производства.

При этом величина нераспределенной прибыли определяет потенциал роста прибыли компании в будущем. По существу, нераспределенная прибыль является для акционеров капитализированным дивидендом, и ее увеличение ведет к росту рыночной цены акции. В результате доход инвестора от владения акцией складывается из величины получаемых дивидендов и прироста курсовой стоимости акции. При этом необходимо учитывать, что курсовая стоимость может не только вырасти, но и снизиться.

Таким образом, при определении цены обыкновенных акций необходимо учитывать не только размер дивиденда, но и прирост стоимости акции.

Пример. Прогнозируемая стоимость акции через год составляет 700 рублей, ожидаемые дивиденды – 100 руб., а требуемая норма прибыли – 25%. Необходимо определить цену акции. Эта цена определяется как приведенная стоимость будущих денежных поступлений, которые складываются из дивидендных выплат и цены акции на момент ее продажи:

P = (D+P₁)/(1+R) = (100+700)/(1+0.25) = 640 руб.

Инвестор может владеть акциями более одного года. В этом случае исходя из того, что доход на акцию обеспечивается за счет получения дивидендов и роста курсовой стоимости выражение для определения цены акции может быть представлено в виде:

P = D1/(1+R)¹+ D2/(1+R)²+ … +Dn/(1+R)ⁿ+ Рn/(1+R)ⁿ = ⁱ + Рn/(1+R)ⁿ

где Р — искомая цена акции; D1, D₂ ... D_n— ожидаемые дивиденды первого, второго, n-го года; R — требуемая норма прибыли на акцию.

Таким образом, мы получили выражение для определения цены акции. Однако его практическое использование затруднено в силу сложности задачи прогнозирования дивидендных выплат и будущей стоимости акции.

В связи с этим рассмотрим ряд частных случаев расчета цены акции. Акция является бессрочной ценной бумагой. При этом в отдельные периоды времени доход может быть получен только за счет действия одного фактора (дивиденды или рост курсовой стоимости). Если, например, компания в течение ряда лет не выплачивает дивиденды, а вся прибыль расходуется на развитие компании, то для определения цены акции может быть использовано выражение:

P = Рn/(1+R)ⁿ.

где R— ожидаемая норма прибыли на акцию, P, Рn — текущая стоимость акции и ее стоимость через n периодов.

Пример. На фондовом рынке продаются акции фирмы В по цене 100 руб. за штуку. По имеющимся прогнозам дивиденды не будут выплачиваться в течение пяти лет, а вся прибыль будет использоваться на развитие производства. Какова должна быть цена акции через пять лет для обеспечения нормы прибыли в размере 20% годовых. Применяя представленную выше формулу получим:

Рn =100х(1+0,2)⁵ =248,8 руб.

Таким образом, для обеспечения требуемой норму прибыли цена акции B через три года должна достичь 248,8 руб. Если по проведенным оценкам цена акции через три года будет ниже этой суммы, то вложения в покупку акций B не обеспечат требуемой нормы прибыли, и от покупки акций следует отказаться.

В ряде случаев вся прибыль компании может направляться на выплату дивидендов. В такой ситуации можно предположить, что цена акции остается неизменной и требуемая доходность обеспечивается только за счет дивидендных выплат.

Пример. На фондовом рынке продаются акции компании C. В течение последних лет вся прибыль компании направлялась на выплату дивидендов, которые составляли 100 руб. на акцию. Предполагается, что в течение ближайших трех лет вся прибыль также будет направляться на выплату дивидендов и их уровень останется прежним. Определить цену акции при условии, что она остается неизменной в течение рассматриваемого периода. Какой должна быть цена акции, чтобы обеспечить норму прибыли в размере 20% годовых. Для определения цены акции в данном случае может быть использовано следующее соотношение:

P = 100/(1+0,2)¹+ 100/(1+0,2)²+100/(1+0,2)³+Р/(1+0,2)³ = 500,83 руб.

В предыдущих примерах мы предположили, что доход на акцию обеспечивается либо за счет получения дивидендов, либо за счет роста курсовой стоимости. Такие случаи вполне возможны в отдельные короткие периоды времени. Если же рассматривать более продолжительные периоды времени, то доход на акцию обеспечивается за счет действия обоих факторов: выплаты дивидендов и роста курсовой стоимости.

Модель определения стоимости акций во многом зависит от поведения инвестора. Если инвестор планирует держать акцию в течение заранее определенного периода времени, то для определения цены акции может быть использовано поученное выше выражение

P = D1/(1+R)¹+ D2/(1+R)²+ … +Dn/(1+R)ⁿ+ Рn/(1+R)ⁿ = ⁱ + Рn/(1+R)ⁿ

Экономическое содержание данной модели состоит в том, что текущая реальная стоимость акции, используемой в течение заранее определенного срока, равна сумме предполагаемых к получению дивидендов и ожидаемой курсовой стоимости акции в момент ее реализации, приведенная к настоящей стоимости. Таким образом, в данном случае модель определения стоимости акции аналогична соответствующей модели облигации.

Пример. Инвестор приобрел акцию и планирует держать ее в течение трех лет. Прогнозируемые дивиденды для каждого года составляют 100,150 и 200 руб. соответственно, а прогнозируемая рыночная цена через три года – 1000 руб. Необходимо найти рыночную цену акции, если требуемая норма прибыли составляет 15%. Используя представленную выше формулу получим:

P = D1/(1+R)¹+ D2/(1+R)²+ D4/(1+R)³+ Р3/(1+R)³ = 100/(1+0,15)+150/(1+0,15)²+200/(1+0,15)³+1000/(1+0,15)³ = 989,39 руб.

Ряд инвесторов при приобретении акций предполагают держать их достаточно долго. В этом случае представленное выше выражение преобразуется к виду:

P = D1/(1+R)¹+ D2/(1+R)²+ … +Dn/(1+R)ⁿ = ⁱ .

В представленном выражении цена акции зависит только от характера изменения дивидендов. При стабильном уровне дивидендов может быть использована рассмотренная ранее модель определения цены привилегированных акций:

P = D/R.

Пример. По акции выплачивается ежегодный постоянный дивиденд в размере 20 руб. Ожидаемая норма прибыли акции данного типа составляет 15%. При этих условиях цена акции будет равна

Р = 20 /0,15 = 133,33 руб.

Следующая модель применима к акциям дивиденд по которым характеризуется постоянным темпом роста (модель Гордона). В этом случае для цены акции используется следующее выражение:

P = D*(1+g)/(R-g).

Где D – сумма последнего выплаченного дивиденда, g – темп роста дивидендов.

Данное выражение может быть получено с использованием представленной выше формулы для определения цены акции, которая в этом случае преобразуется к виду

P = D1/(1+R)¹+ D2*(1+g)/(1+R)²+ … +Dn*(1+g)^n-1/(1+R)ⁿ+ Рn/(1+R)ⁿ .

Обозначим D₁/(1+R) = a₁, (1+g)/(1+R) = q. С учетом этого получим

P = a₁+ a₁*q+ … + a₁*q^n-1+ Рn/(1+R)ⁿ .

Первые n слагаемых данной формулы представляют собой геометрическую прогрессию. Формула для определения суммы ее n членов имеет вид

S_n = (a₁-a₁*qⁿ)/(1-q).

С учетом этого выражение для определения цены акции будет иметь вид

P = D₁/(R-q)*[1-(1+q)ⁿ/(1+R)ⁿ] + P_n/(1+R)ⁿ

Если рассматривать акцию как бессрочную ценную бумагу, то при неограниченном возрастании числа членов (n стремиться к бесконечности) сумма ее членов стремиться к величине

S = a₁/(1-q) = D₁/(R-g).

Таким образом, для расчета цены акции с постоянным темпом роста дивидендов используется соотношение

P = D₁/(R-g).

Пример. Последний дивиденд, выплаченный по акции составляет 150 руб. Компания ежегодно увеличивает сумму выплачиваемых дивидендов на 10%. Ожидаемая норма доходности акций данного типа составляет 20%. При этих условиях цена акции будет равна

P = 150*(1+0,1)/(0,2-0,1) = 1650 руб.

Наиболее общей моделью оценки акций является модель переменного роста, которая позволяет учитывать различный характер роста дивидендов на различных отрезках времени. Данная модель предполагает, что после определенного момента в будущем Т дивиденды будут расти с постоянным темпом роста, а до этого времени инвестор прогнозирует индивидуальный размер выплаты дивидендов для каждого года (D₁, D₂, … D_n).

В рамках данной модели для определения цены акции используется следующее выражение



Пример. На фондовом рынке продаются акции акционерного общества «Альфа». Ожидаемые дивиденды в течение первых трех лет составляют 5 руб. на акцию. В последующие годы прогнозируются темпы прироста дивидендов — 10% в год. Требуемая норма прибыли на акцию — 20% годовых. Определить цену акции, если инвестор собирается держать акцию неограниченно долго. Для расчета цены акции в данном случае может быть использовано выражение

P = D/R*[1-1/(1+R)³] + D*(1+g)/(R-g).

P = 5/0,2*[1-1/(1+0,2)³] + 5*(1+0,1)/(0,2-0,1) = 10,53 + 55 = 65,53 руб.

Модель переменного роста величины дивидендов, описанная выше, лежит в основе многих применяемых на практике моделей дисконтирования дивидендов (DDM). Наиболее распространенные модели, называемые также трехэтапными, основаны на предположении, что компании в процессе своего развития проходят через три стадии:

1. 
   Стадия роста характеризуется большими объемами продаж и высокими прибылями. В силу возможности высокоприбыльных инвестиций величина доли дивидендных выплат достаточно низка.
   
2. 
   Переходный период характеризуется сокращением прибыли и замедлением роста доходов в результате конкуренции. В силу сокращения инвестиционных возможностей компания начинает выплачивать большую часть прибылей в виде дивидендов.
   

3. В стадии зрелости компания достигает состояния, при котором ее инвестиционные возможности позволяют получить лишь незначительную доходность на вложенный капитал. В этот период темпы роста доходов, доля выплат и доходность капитала стабилизируются и остаются на постоянном уровне до конца существования компании.

Процесс прогнозирования для трехэтапной DDM предполагает знание темпов роста доходов и дивидендов для всех трех фаз. Одним из самых значимых факторов, определяющих точность и соответственно эффективность применяемой модели, является качество прогноза будущих доходов и темпов роста компании. Для получения такого прогноза требуется тщательный анализ показателей финансово-хозяйственной деятельности компании. Такой анализ называется фундаментальным и охватывает не только деятельность предприятия, но и показатели экономики отрасли.

В общем случае недооцененная прибыльная, динамично растущая и прочная в финансовом положении компания представляет собой хороший объект для инвестиций. Однако абсолютные значения соответствующих показателей могут значительно различаться в зависимости от отраслевой принадлежности компании. Например, для коммунального хозяйства характерны высокая дивидендная доходность и низкие темпы роста прибыли, тогда как компании, работающие в сфере высоких технологий, могут демонстрировать стремительный рост прибыли и не выплачивать при этом вообще никаких дивидендов. Компании, зависящие от циклов деловой активности, обычно имеют более высокий уровень заемного капитала, в то время как предприятия, основывающие свою деятельность на интеллектуальной собственности, могут не нуждаться в дорогой инфраструктуре и зачастую работают либо с незначительным привлечением заемных средств, либо вообще без них.

В рамках фундаментального анализа для правильной оценки компании рассматриваются основные показатели деятельности компании, которые затем сравниваются с аналогичной группой в рамках данной отрасли. Эти показатели должны анализироваться как в абсолютных значениях — при определении стоимости акций рассматриваемой компании, так и в относительном выражении — при сравнении с другими аналогичными предприятиями.
Доходность акции

Полный доход от инвестирования в ценные бумаги складывается из текущего дохода, который получает инвестор в виде регулярных платежей процентов по облигациям и дивидендов по акциям, и курсового дохода, который образуется от изменения цены, возрастания стоимости (прирост капитала).

Для анализа эффективности вложений инвестора в покупку акций могут быть использованы следующие виды доходности: ставка дивиденда, текущая доходность акции для инвестора, текущая рыночная доходность, конечная и совокупная доходность.

Ставка дивиденда (R_c) определяется по формуле

Rc = D/N * 100%,

где D — величина выплачиваемых годовых дивидендов;

N — номинальная цена акции.

В российской практике ставка дивиденда обычно используется при объявлении годовых дивидендов.

Текущая доходность акции для инвестора (R_t) рассчитывается по формуле

R_t = D / P_p х 100%,

где Р_р- цена приобретения акции.

Текущая рыночная доходность (R_m) определяется отношением величины выплачиваемых дивидендов к текущей рыночной цене акции (Р_m):

R_m = D / P_m х 100%,

где P_m– текущая рыночная цена акции.

Конечная доходность (R_K) может быть рассчитана по формуле

R_K = [(Ps – P_p)/ n + D _c]/ P_p х100%

где D _c – величина дивидендов, выплаченная в среднем в год, n - количество лет, в течение которых инвестор владел акцией; Ps - цена продажи акции.

Доходность за период владения акцией, если она находилась у инвестора менее года, может быть определена по формуле:

R = [(P_s– Pp) + D]/Pp *(365/T)

где R — доходность акции в расчете на год; Pp,— цена покупки акции; P_s — цена продажи акции; D — дивиденды, полученные за период владения акций; Т — период владения акцией (в днях).

Пример 36.

Акция приобретена инвестором 1 февраля за 40 руб., продана 1 декабря того же года за 48 руб. Дивиденды в размере 3 руб. на акцию были выплачены 15 апреля. Определить доходность за период владения акцией.

С учетом того, что акция находилась у инвестора в течение 303 дней (365 - 31 - 31), имеем:

R = [(48– 40) + 4]/ 40 *(365/303) = 0,3614 или 36,14% годовых

Однако если акция находилась у инвестора в течение нескольких лет, то данная формула дает искаженные результаты, так как здесь не учитывается стоимость денег во времени. Поэтому необходим другой подход.

Пример 37.

Инвестор приобрел акцию за 50 руб. и продал ее через четыре года за 84 руб. За время владения акцией инвестор получил дивиденды за первый год 3 руб., за второй год — 4 руб., за третий год — 4 руб. и за четвертый год — 5 руб. Определить доходность от операции с акцией.

Если не учитывать доходов от реинвестирования дивидендов, то после продажи акции инвестор имел на руках сумму 100 руб. (3 + 4 + 4 + 5 + 84). Таким образом, доходность за период владения акцией может быть определена по формуле

R= - 1,

которая используется для определения доходности бескупонных облигаций:

R= - 1 0,1892 = 18,92 годовых

Однако полученный в примере результат является не совсем точным, так как не учитывает реинвестирование. Для получения более точной оценки воспользуемся методом последовательных приближений, применяя формулу, аналогичную формуле (11.7), используемой для определения цены облигаций:

P_p = D₁/(1+R) + D₂/(1+R)² + D₃/(1+R)³ + D₄/(1+R)⁴ +P_s/(1+R)⁴

где D_i —дивиденд соответствующего года; P_s — цена продажи акции; R — искомая норма прибыли; Р_p — цена покупки акции.

Суть метода, как было отмечено выше, заключается в том, что мы будем придавать Rразличные значения, пока не получим необходимую величину Р. Расчеты показывают, что равенство приведенных денежных потоков от владения акцией и цены приобретения имеет место при R = 0,205.

P_p = 3/(1+0,205) + 4/(1+0,205)² + 4/(1+0,205)³ + 5/(1+0,205)⁴ +84/(1+0,205)⁴ =

2,49+2,75+2,29+2,37+39,84=49.74

Полученный результат дает основание заключить, что доходность за период владения акцией составила около 20,5% годовых. Для приближенных расчетов доходности за период владения может быть использована следующая формула

R_K = [(Ps – P_p)/ n + D _c]/ [(Ps +P_p )/2]х100%.

R_K = [(84 – 50)/ 4 + 4]/ [(84+50)/2] х100%. = 18,66 %