ЕН.Р.1 Фин вычисления. Учебнометодический комплекс дисциплины Финансовые вычисления 080109. 65 Бухгалтерский учет, анализ и аудит Форма подготовки (заочная)
 Скачать 1.86 Mb.
|
|
Оценка долговых и долевых ценных бумаг Методология учета временной стоимости денег широко используется в задачах анализа стоимости ценных бумаг. Стоимость любой ценной бумаги (облигации, акции) определяется прежде всего величиной доходов, приносимых этой ценной бумагой. Поступление дохода может быть однократным и многократным. При этом в любом случае поступление дохода происходит через какой-то промежуток времени, после и средства на инвестирования средств в приобретение ценной бумаги. Таким образом стоимость ценной бумаги зависит как от величины получаемых доходов, так и от времени их получения. Цена облигаций В соответствие с Федеральным законом «О рынке ценных бумаг», под облигацией понимается эмиссионная ценная бумага, закрепляющая права ее держателя на получение от эмитента облигации в предусмотренный срок ее номинальной стоимости и зафиксированного в ней процента от этой стоимости. В рамках нашего курса мы будем рассматривать вопросы расчета цены и доходности данного вида ценных бумаг. По облигациям инвестор может получать следующие виды дохода: ежеквартальные, ежегодные (или с иной периодичностью) выплаты процента; доход в виде дисконта, когда ценная бумага размещается по цене ниже номинальной, а погашается по номинальной стоимости. Облигация имеет номинал (или номинальную цену), эмиссионную цену, курсовую цену, цену погашения. Номинальная цена — это та величина в денежных единицах, которая обозначена на облигации. Как правило, облигации выпускаются с достаточно высоким номиналом. Эмиссионная цена облигации — это та цена, по которой происходит продажа облигаций их первым владельцам. Оплата эмиссионных ценных бумаг общества, размещаемых посредством подписки, осуществляется по цене, определяемой советом директоров. Эмиссионная цена может быть равна, меньше или больше номинала. Цена погашения — это та цена, которая выплачивается владельцам облигаций по окончании срока займа. В большинстве выпусков цена погашения равна номинальной цене, однако она может и отличаться от номинала. Курсовая цена — это цена, по которой облигации продаются на вторичном рынке. Если каждая облигация имеет строго определенную номинальную цену, цену погашения и эмиссионную цену, уровень которых зафиксирован при выпуске займа, то курсовая цена претерпевает значительные изменения в течение срока жизни облигации — она колеблется относительно теоретической стоимости облигации, которая, по существу, выступает как расчетная курсовая цена облигации. Общий подход к определению теоретической стоимости любой ценной бумаги заключается в следующем: чтобы определить, сколько, по мнению данного инвестора, должна стоить ценная бумага в данный момент времени, необходимо привести к настоящему моменту времени (продисконтировать) все доходы, которые он рассчитывает получить за время владения ценной бумагой. Рассмотрим, какова специфика применения этого общего подхода к определению стоимости конкретных видов ценных бумаг. В зависимости от способа выплаты процентного дохода можно выделить два типа облигаций: (а) облигации с периодической платой процентного дохода или купонные облигации и (б) бескупонные (или дисконтные) облигации, доход по которым образуется за счет разницы между ценой погашения облигации и эмиссионной ценой и выплачивается при погашении облигации. Цена купонной облигации. Рассмотрим сначала облигацию с периодической выплатой процентного дохода. Пример. Продается облигация номиналом 10000 руб. Процентная (купонная) ставка составляет 12% годовых. Выплата процентов производится один раз в год. До погашения облигации остается ровно 5 лет. Требуемая норма прибыли (доходность инвестиции с учетом риска, соответствующего данному типу облигаций, составляет 15%. Определить курсовую цену облигации. Решение В конце каждого года держатель облигации получит процентный доход в размере 1200 руб., а в конце пятого года — еще и сумму, равную номиналу облигации т. е. 10000 руб. Определим дисконтированные (приведенные) стоимости для каждого года и найдем их сумму. Приведенная стоимость платежей составит: первый год = 1200/(1+0,15)1 =1043,48 руб. второй год = 1200/(1+0,15)2 = 907,37 руб. третий год = 1200/(1+0,15)3 = 789,02 руб. четвертый год = 1200/(1+0,15)4 = 686,10 руб. пятый год = (1200+10000)/(1+0,15)5 = 5568,38 руб. Таким образом, искомая цена облигации будет равна: 1043,48+ 907,37 + 789,02 + 686,1 + 5568,38 = 8994,35 руб. Часто цена облигации выражается в процентном отношении к номиналу. Применительно к приведенному примеру цена облигации составляет 89,94% номинала. Формула для определения стоимости облигации может быть представлена в следующем общем виде P = I/(1+R)1+ I/(1+R)2+ … +I/(1+R)n+ N/(1+R)n =  i + N/(1+R)nгде Р — цена облигации; I — процентный (купонный) доход в денежных единицах, R — требуемая норма прибыли (ставка дисконтирования). Для расчета цены облигации может быть использована полученная ранее формула аннуитета P = I/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n. Для приведенного выше примера цена облигации, вычисленная по полученной формуле, составит: P = 1200/0,15*[1-1/(1+0,15)5] + 10000/(1+0,15)5 = 8994,35 руб. Таким образом, мы получили тот же результат, что ив предыдущем случае. Приведенные выше расчеты справедливы, если ставка дисконтирования (требуемая норма прибыли) остается неизменной в течение рассматриваемого периода (срока действия облигации). В действительности ставка может изменяться. В этом случае для определения стоимости облигаций требуется найти дисконтированные потоки доходов для каждого года, используя следующую формулу: Dpi = Di/[(1+R1)*(1+R2) )*… *(1+Ri)] где Dpi— приведенная стоимость дохода i-ого года; Di – доход i-того года; R1, R2, Ri — ставка дисконтирования для 1-го, 2-го, ..., i -го года. Пример. По облигации номиналом 10000 руб. выплачивается доход в размере 10% годовых. Выплата процентов производится один раз в год. До погашения облигации остается 5 лет. Требуемая норма прибыли в течение первых трех лет — 15%, четвертый год — 12, пятый год — 10%. Определить курсовую цену облигации. В данном примере процентный доход каждого года и сумму погашения облигации необходимо продисконтировать по переменной ставке. Определим дисконтированные стоимости для платежей каждого года: первый год = 1000/(1+0,15)1 = 869,57 руб. второй год = 1000/(1+0,15)2 = 756,14 руб. третий год = 1000/(1+0,15)3 = 657,52 руб. четвертый год = 1000/[(1+0,15)3 * (1+0,12)] = 587,07 руб. пятый год = (1000+10000)/[(1+0,15)3 * (1+0,12) * (1+0,1)] = 5870,68 руб. Следовательно, цена облигации составит: Р = 869,57+ 756,14 + 657,52 + 587,07 + 5870,68 =8740,98 руб. Мы видим, что стоимость облигации выше, чем в предыдущем случае, так ставка дисконтирования в четвертом и пятом годах ниже, чем в первые три года. Мы рассмотрели вопрос определения цены облигации при ежегодных купонных выплатах. На практике процентные платежи могут осуществляться чаще, чем один раз в год. Так, например, по облигациям, эмитированным в США, доход часто выплачивается два раза в год. Для определения цены таких облигаций может быть использовано выражение P = (I/m)/(R/m)*[1-1/(1+(R/m))n] + N/(1+(R/m))n*m , где m – число купонных выплат в течение года. Пример. По облигации, имеющей номинальную цену 1000 рублей и купонную ставку 14%, процентные платежи выплачиваются два раза в год. Необходимо определить цену облигации, если до погашения остается 7 лет и требуемая норма прибыли составляет 16% годовых. Используя представленную выше формулу получим P = (I/m)/(R/m)*[1-1/(1+(R/m))n] + N/(1+(R/m))n*m = 70/0,08*[1-1/(1+0,0814 ]+ 1000/(1+0,0814) = 917,56 руб. Для облигаций, купонные выплаты по которым осуществляются чаще, чем один раз в год может быть рассчитана эффективная процентная ставка с использованием следующего выражения: iэ = (1+i/m)m -1. Для предыдущего примера эффективная купонная ставка будет равна iэ = (1+i/ m)m -1 = (1+0,14/2)2 -1 = 0,145 или 14,5%. Зависимость цены облигации от процентной ставки Рассмотрим зависимость цены облигации от ставки процента (требуемой нормы прибыли R). Цена облигации складывается из дисконтированных купонных выплат и номинала облигации. Из представленной ниже формулы видно, что обе эти величины убывают при повышении процентной ставки R. Исходя из этого, мы можем сделать вывод о влиянии денежно-кредитной политики государства на рыночные цены облигаций. P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n. При повышении учетной ставки ЦБ происходит повышение стоимости денежно-кредитных ресурсов в экономике – растут процентные ставки. Соответственно повышаются требования инвесторов к доходности облигаций. Новые облигации эмитируются с большей величиной доходности, а стоимость ранее эмитированных облигаций понижается для обеспечения повысившихся требований к доходности. При снижении учетной ставки ситуации развивается в противоположном направлении. Пример 3. Облигация имеет номинал 10000 рублей, купонную ставку 6% и срок погашения 15 лет. Определить размер премии (дисконта), если требуемая норма прибыли составляет 8%. Найдем цену облигации с использованием следующего выражения P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,08*[1-1/(1+0,08)15] + 10000/(1+0,08)15 = 5135,7 + 3152,4 = 8288,1. Таким образом, в данном случае облигация продается с дисконтом размер которого составляет 10000 – 8288,1 = 1711,9 руб. Рассмотрим далее случай, когда требуемая норма прибыли меньше купонной ставки, R = 4%. P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,04*[1-1/(1+0,04)15] + 10000/(1+0,04)15 = 6671 + 5553 = 12224. В данном случае облигация продается с премией, размер которой составляет 2224 руб. Последний вариант соответствует равенству купонной ставки и нормы прибыли P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,06*[1-1/(1+0,06)15] + 10000/(1+0,06)15 = 5827 + 4173 = 10000 руб. Таким образом, мы можем сделать вывод, что при равенстве требуемой нормы прибыли и купонной ставки курсовая цена облигации равна ее номиналу. При превышении нормы прибыли купонной ставки облигация продается с дисконтом, а при понижении относительно купонной ставки – с премией. Цена облигации и требуемая норма прибыли связаны обратной зависимостью. При повышении процентной ставки цена облигации, которая определяется как приведенная стоимость будущих денежных поступлений, падает; при снижении ставок ситуации развивается в противоположном направлении. Рассмотрим далее влияние фактора времени на стоимость облигации. В предыдущем примере рассмотрим эффект уменьшения срока погашения облигации до 10 лет: P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,08*[1-1/(1+0,08)10] + 10000/(1+0,08)10 = 4026 + 4632 = 8658 руб. P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,04*[1-1/(1+0,04)10] + 10000/(1+0,04)10 = 4867 + 6756 = 11623 руб. P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,06*[1-1/(1+0,06)10] + 10000/(1+0,06)10 = 4416 + 5584 = 1000 руб. На основе проделанных вычислений мы можем сделать вывод, что при уменьшении срока погашения облигации произошло снижение размера дисконта и премии. При равенстве купонной ставки и нормы прибыли курсовая цена равна номиналу вне зависимости от срока погашения. Теперь рассмотрим эффект увеличения срока погашения до 20 лет: P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,08*[1-1/(1+0,08)20] + 10000/(1+0,08)20 = 5891 + 2146 = 8037 руб. P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,04*[1-1/(1+0,04)20] + 10000/(1+0,04)20 = 8154 + 4564 = 12718 руб. Как и следовало ожидать, при увеличении срока погашения происходит возрастание как величины дисконта, так и премии. Зависимость цены облигаций от процентной ставки обуславливает риск инвесторов, связанный с ее колебаниями. В связи с этим актуальной является задача анализа чувствительности цены облигации к изменению требуемой нормы прибыли. Выражение для цены облигации может быть представлено в следующем виде: P = CF1/(1+R)1+ CF2/(1+R)2+ … + CF n/(1+R)n, где CF i – доход инвестора от владения облигацией в соответствующий период. Для анализа чувствительности цены к процентной ставке необходимо вычислить производную цены по доходности: dP/dR = (-1)*CF1/(1+R)2+ (-2)*CF2/(1+R)3+ … + (-n)*CF n/(1+R)n+1, Разделим далее левую и правую части соотношения на цену облигации (Р): dP/dR * 1/Р= [(-1)*CF1/(1+R)2+ (-2)*CF2/(1+R)3+ … + (-n)*CF n/(1+R)n+1]/P. Таким образом, мы получили выражение нормализованной по цене облигации чувствительности цены к изменению нормы прибыли. Представленное ниже выражение определяет показатель «дюрации» облигации (D) D= [(1)*CF1/(1+R)2+ (2)*CF2/(1+R)3+ … + (n)*CF n/(1+R)n+1]/P. Дюрация характеризует процентный риск облигации, т.е.е риск, связанный с изменением процентных ставок. При увеличении значения дюрации возрастает чувствительность цены облигации к изменению процентной ставки и соответственно увеличивается риск ценной бумаги. Пример. Необходимо рассчитать дюрацию облигации, имеющей номинальную цену 1000 руб., купонную ставку 10% и срок погашения 5 лет. Результаты расчетов сведены в таблицу Таблица Расчет дюрации облигации
Таким образом, величина дюрации для анализируемой облигации составила 4,1699 лет. Дюрацию называют также эффективным сроком жизни облигации. Чем выше этот срок жизни, тем в большей мере облигация реагирует на изменение процентных ставок; иными словами тем она более чувствительна к изменению ставок. В общем случае чувствительность цены к изменению процентных ставок зависит от времени до погашения облигации и купонной ставки; величина процентного риска возрастает при увеличении времени до погашения и снижении купонной ставки. Обусловлено это тем обстоятельством, что существенная часть цены облигации формируется за счет вклада приведенного значения номинальной цены, которую инвестор получает при погашении облигации. Чем дальше от текущего момента осуществляется эта выплата, тем она больше зависит от изменения процентной ставки. Что касается величины купонной ставки, то ситуация здесь примерно аналогична предыдущему случаю. При снижении купонной ставки повышается та часть цены облигации, которая формируется за счет приведенного значения номинальной цены, что, как было показано выше, приводит к росту процентного риска. До сих пор мы рассматривали случаи, когда до погашения облигации остается целое число лет или купонных периодов. Однако облигации могут продаваться и покупаются в любой момент времени (в начале, середине и в конце купонного периода). Допустим, облигация, о которой шла речь в примере 1, продается не за 5 лет до погашения, а за 4 года и 300 дней до срока погашения. Покупатель получит годовой процентный доход по этой облигации (при условии выплаты процентов 1 раз в год) через 300 дней после покупки облигации. Между тем в течение 65 дней облигация находилась в руках продавца, которому по праву принадлежит процентный доход за этот период, в то время как покупателю причитается доход только за 300 дней. Процентный доход покупателя и продавца за время Т определяется по формуле: Dr = D * T/365. где D — процентный доход за год или купонный период; Т — время, в течение которого облигация находилась в руках продавца или покупателя (в днях); Dr — процентный доход за время Т. В нашем примере процентный доход покупателя составит: D300 = 1200 * 300/365 = 986,3 руб. Процентный доход продавца будет равен: D65 = 1200 * 65/365 = 213,7 руб. Поскольку процентный доход в размере 213,7 руб., принадлежащий продавцу, получит покупатель облигации при оплате очередного купона, то цена облигации должна быть увеличена таким образом, чтобы продавец не понес ущерба. В рассматриваемом нами случае цена (цена, вычисленная в примере 1) должна быть увеличена на 213,7 руб. и составить 8954,68 руб. Однако это лишь приблизительный результат, так как цена в размере 850,47 руб. была получена нами при дисконтировании доходов ровно за 5 лет. Поэтому чтобы получить более точный результат, нужно продисконтировать ожидаемые доходы за тот период времени, который остается до погашения облигации с момента совершения сделки. Определим цену облигации для нашего примера: P = 1200/(1+0,15)300/365+ 1200/(1+0,15)1+300/365+1200/(1+0,15)2+300/365 1200/(1+0,15)3+300/365 (1200+10000)/(1+0,15)4+300/365 = 1021,83+ 930,23+808,89+703,39+ 5708,64 = 9172,98 руб. Выше речь шла об облигациях с постоянным купоном. Однако купонные облигации могут быть как с постоянной, так и переменной купонной ставкой. Изменения характеризуются тем, что величина процентного дохода изменяется в зависимости от изменения ситуации на финансовом рынке. Стоимость таких облигаций определяется по формуле: P= I1/(1+R1) + I2/[(1+R1)*(1+R2)] + (IN + N)/[(1+R1)*(1+R2)*..(1+Rn)], где I1, I2, In— процентный доход i-того периода (i = 1, 2, ..., п) R1, R2, Rnтребуемая норма прибыли (ставка дисконтирования) i-того периода. При расчете цены облигации в данном случае необходимо оценить величину процентных выплат и требуемую норму прибыли для всех периодов. Рассмотрим далее задачу определения цены бескупонной облигации. Ее можно представить как купонную облигацию с нулевым размером купонных платежей. Поскольку процентные платежи при этом равны нулю, то рассмотренная ранее формула принимает следующий вид: P = N/(1+R)n Пример 4. Бескупонная облигация номиналом 10000 руб. погашается по номиналу через 3 года. Определить курсовую цену облигации, если ставка дисконтирования составляет 15% годовых. P = 10000/(1+0,15)3 = 6575,16 руб. Рассмотренная формула может быть использована и при определении курсовой стоимости краткосрочных ценных бумаг – со сроком действия менее 1 года. Пример 6. Определить цену краткосрочной облигации номиналом 1000 руб., погашение через 180 дней. Требуемая норма прибыли по данному типу облигаций составляет 20% годовых. Используя полученную выше формулу получим: P = 1000/(1+0,2)180/365= 914,01 руб. Однако для определения цены краткосрочных облигаций обычно используется другая формула: P = N/(1+R*T/365) Применяя эту формулу, получаем: P = 1000/(1+0,2*180/365)=910,22 руб. Чтобы установить величину различий результатов вычислений при использовании представленных двух формул, рассмотрим ряд примеров. Пример 7. Номинал облигации — 1000 руб. Требуемая норма прибыли — 10% годовых, погашение — через 180 дней. Цена облигации, вычисленная по первой формуле: P = 1000/(1+0,1)180/365= 954,08 руб. по второй формуле: P= 1000/(1+0,1*180/365) = 953,00 руб. Пример 8. Номинал облигации — 1000 руб. Требуемая норма прибыли — 20% годовых, погашение — через 300 дней. Цена облигации, вычисленная по первой формуле: P = 1000/(1+0,2)300/365= 860,84 руб. по второй формуле: P= 1000/(1+0,2*300/365) = 858,83 руб. Пример 9. Номинал облигации — 1000 руб. Требуемая норма прибыли — 15% годовых, погашение — через 365 дней. Цена облигации, вычисленная по первой формуле: P = 1000/(1+0,15)= 869,56 руб. по второй формуле: P= 1000/(1+0,15*365/365) = 869,56 руб. Приведенные выше примеры показывают следующее. Расхождение в оценке курсовой стоимости облигации при использовании разных формул тем меньше, чем ниже ставка дисконтирования. Так, для полугодовой облигации при ставке дисконтирования 20% расхождение составляет около 0,4% цены, а при став дисконтирования 10% — около 0,1% цены. При одной и той же ставке дисконтирования расхождение в цене тем меньше, чем больше срок до погашения облигации. При сроке до погашения, равном 1 году (365 дней), обе формулы дают один и тот же результат расчетной цены облигации. Поскольку величины расхождений расчетной цены, полученной с использованием разных формул, являются весьма незначительными, то при вычислениях с краткосрочными инструментами используется первую формулу. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||