Курсач. Учебнометодическое пособие по дисциплине Теоретические основы электротехники для учащихся специальностей 236 03 31 Монтаж и эксплуатация электрооборудования (по направлениям)
 Скачать 3.45 Mb.
|
|
ТЕМА 10 РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 10.1 Цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью В неразветвленных цепях переменного тока могут быть включены последова- тельно резисторы, индуктивности и конденсаторы. Расчет цепи заключается в опре- делении напряжений на элементах цепи при протекании по ним общего тока, мощ- ностей элементов, коэффициентов мощности. На рисунке 10.1 приведена неразветв- ленная цепь с R, L и C. Предположим, что известен ток в цепи sin m i I t Рисунок 10.1 – Неразветвленная цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью Определим реактивные сопротивления 1 , L C X L X C Мгновенное значение приложенного к цепи напряжения : R L C u u u u Напряжение на активном сопротивлении u R совпадает по фазе с током i, напря- жение на индуктивности u L опережает ток на 90º, а напряжение на емкости u C отста- ет от тока на 90º. Действующее значение приложенного к цепи напряжения U=U R +U L + U C опре- делим методом векторного сложения. При построении векторной диаграммы сначала отложим горизонтально вектор тока I (рис. 10.2). Вектор падения напряжения на активном сопротивлении U R отло- жим совпадающим с вектором тока I. От конца вектора U R отложим вверх (опере- жающий ток на 90º) вектор индуктивного падения напряжения U L . От конца вектора U L отложим вниз (отстающий от тока на 90º) вектор емкостного падения напряже- ния U C Результирующий вектор U будет являться вектором приложенного к цепи напряжения. Величина U L –U C является падением напряжения на реактивных эле- ментах L и C. Рисунок 10.2 – Векторные диаграммы для цепи с активным сопротивлением, индук- тивностью и емкостью: а – Х L > X C ; б – Х L <X C ; в – Х L = X C В рассматриваемой электрической цепи можно выделить три режима: Х L >X C (рис. 10.2 а); Х L < X C (рис. 10.2 б); Х L =X C (рис. 10.2 в). В первом режиме U L >U C , а угол φ, образованный вектором тока и результирующего напряжения, положительный, т. е. напряжение опережает ток. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Во вто- ром случае U L < U C , а угол φ, образованный вектором тока и результирующего напряжения, отрицательный, т.е. напряжение отстает от тока. Цепь имеет активно- емкостной характер. При равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений рав- ны и напряжения на этих элементах. Приложенное напряжение равно активному напряжению. Этот режим называется резонансом напряжений. Разделив напряжения в треугольнике напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений (рис. 10.3 а), а умножив эти напряжения на ток, получим треуголь- ник мощностей (рис. 10.3 б). Рисунок 10.3 – Треугольник сопротивлений(а); треугольник мощностей(б) нераз- ветвленной цепи Полное сопротивление цепи 2 2 L C Z R X X Активная мощность 2 cos R P U I I R UI Реактивная 2 sin L C L C Q U U I I X X UI Полная 2 2 S P Q Коэффициент мощности cos R U R P U Z S Реактивная мощность может иметь разные знаки. Индуктивная мощность по- ложительна, емкостная – отрицательна. Активная и полная мощности всегда поло- жительны. 10.2 Проводимость, расчет электрических цепей методом проводимостей Для расчета сложных электрических цепей, и в особенности цепей переменного тока, целесообразно вместо сопротивления использовать проводимость. Проводимость в цепи постоянного тока g – величина, обратная сопротивлению R: 1 g R В цепях переменного тока, как известно, существует три типа сопротивлений: активное R, реактивное X и полное Z. По аналогии с этим введено и три типа прово- димостей: активная g, реактивная b и полная у. Однако только полная проводимость у является величиной, обратной полному сопротивлению Z: 1 y Z Для введения активной g и реактивной b проводимостей рассмотрим цепь пе- ременного тока из последовательно соединенных активного R и индуктивно- го X сопротивлений (рис. 10.4 а). Построим для нее векторную диаграмму (рис. 10.4 б). Ток в цепи I разложим на активную a I и реактивную ð I составляющие и от полученного треугольника токов перейдем к треугольнику сопротивлений (рис. 10.4 в). Из последнего имеем: cos ;cos , sin ;sin R R Z Z X X Z Z Рисунок 10.4 – Цепь с активным и индуктивным сопротивлениями Из векторной диаграммы (рис.3.27б) имеем: 2 cos , a U R R I I U Ug Z Z Z где 2 R g Z – активная проводимость, 2 sin , p U X X I I U Ub Z Z Z где 2 X b Z – реактивная проводимость. Теперь установим взаимосвязь между проводимостями. Для рассматриваемой цепи имеем: a p I I I и 2 2 a p I I I 2 2 2 2 , U I Ug Ub U g b Uy Z где 2 2 1 y g b z – полная проводимость цепи. По аналогии с треугольником сопротивлений (рис. 10.5 в) строим треугольник проводимостей (рис. 10.5 г). По аналогии с индуктивным X L и емкостным X C сопро- тивлениями различают индуктивную b L и емкостную b C проводимости. Если в цепи больше двух параллельных ветвей, то для рационального расчета используется метод проводимостей, который основан на следующем. 1)Ток в каждой цепи является векторной суммой активной и реактивной со- ставляющих (рис. 10.5). а) б) в) г) Рисунок 10.5 – Простейшая цепь переменного тока, состоящая из двух параллель- ных ветвей с последовательно включенными активными сопротивлениями и катуш- ками индуктивности Например, для рассмотренной выше цепи действующие значения то-ков в вет- вях можно рассчитать по следующим формулам: 2 2 1 1 1 a p I I I , 2 2 2 2 2 a p I I I 2) Активные составляющие совпадают по фазе с напряжением и равны: 1 1 1 1 1 1 1 cos a U R I I Ug Z Z , 1 1 2 1 R g Z , 2 2 2 2 2 2 2 cos , a U R I I Ug Z Z 2 2 2 2 R g Z , где g 1 и g 2 – активные проводимости первой и второй ветвей. 3) Реактивные составляющие токов отличаются по фазе от напряжения на 2 и рассчитываются по формулам: 1 1 1 1 1 1 1 sin p U X I I Ub Z Z , 1 1 2 1 X b Z , 2 2 2 2 2 2 2 sin , p U X I I Ub Z Z 2 2 2 2 X b Z , где b 1 и b 2 – реактивные проводимости первой и второй ветвей. Тогда: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 , , I U g b Uy I U g b Uy где 2 2 1 1 1 y g b и 2 2 2 2 2 y g b – полные проводимости обоих ветвей. Проводимость всей цепи может быть рассчитана по формуле представлена тре- угольником проводимостей (рис.3.28г), который является следствием векторной диаграммы токов: 2 2 y g b , где g=g 1 +g 2 и b=b 1 +b 2 4)Общая сила тока в цепи может быть рассчитана как модуль векторной суммы активной и реактивной составляющих 2 2 , a p I I I где 1 2 a a a I I I и 1 2 p p p I I I 5)Сдвиг фаз между током и напряжением: p a I tg I или cos g y 6)Активную, реактивную и полную мощность цепи можно рассчитать по фор- мулам: 2 2 2 2 2 cos , sin b, , g P UI UUy U g y b Q UI UUy U y S UI U y S P Q 10.3 Взаимная индуктивность. Согласное, встречное включения катушек Поток самоиндукции первой катушки 1 Φ можно разделить на два: поток рассе- яния 11 Φ , сцепляющийся только с катушкой 1 и поток взаимоиндукции 12 Φ , сцеп- ляющийся также со второй катушкой (рис. 10.6). 12 11 1 Φ Φ Φ . Аналогично для вто- рой катушки: 21 22 2 Φ Φ Φ Полное потокосцепление первой катушки: 21 1 1 1 Φ Φ w Ψ на рисунке потоки 1 Φ и 2 Φ направлены одинаково, говорят «согласно». Поэто- му в скобках перед 21 Φ стоит (+). Рисунок 10.6 – Взаимосвязанные катушки Если изменить направление тока в катушке 2, то потоки будут направлены встречно и будет знак(–). В общем случае: 21 1 21 1 1 1 21 1 1 1 Ψ Ψ Φ w Φ w Φ Φ w Ψ п (+) – согласное , (–) – встречное. 1 Ψ – потокосцепление самоиндукции, 21 Ψ – пото- косцепление взаимоиндукции. Величина 1 Ψ пропорциональна 1 i : 2 21 21 i M Ψ 1 1 1 i L Ψ где L 1 – индуктивность первой катушки; М 21 – взаимная индуктивность. Аналогично для второй катушки: 1 21 21 i M Ψ 2 2 2 i L Ψ Полная ЭДС, индуктированная в первом контуре: dt di M dt di L dt dΨ dt dΨ dt Ψ Ψ d dt dΨ e п п 2 21 1 1 21 1 21 1 1 1 ; Явление наведения ЭДС в каком-либо контуре при изменение тока в другом контуре, называется взаимоиндукцией. Наведённую ЭДС называют ЭДС взаимоиндукции и обозначают: dt di M e м 2 21 1 – ЭДС взаимоиндукции в первой катушке, dt di M dt di L e п 1 12 2 2 – ЭДС взаимоиндукции во второй катушке. В этих формулах M M M 12 21 , 1Гн M Степени индуктивной связи катушки определяются с помощью коэффициентов связи: 12 21 1 2 Ф Ф K Ф Ф 2 1 L L M K Поскольку у реальных катушек всегда существуют потоки рассеяния, то 1 K При расчёте таких цепей необходимо учитывать, как направлены потоки маг- нитносвязанных катушек – согласно или встречно. Направления потоков можно определить, зная направление намотки катушек на сердечнике и направление тока в катушках (рис. 10.7). Токи, входящие в одноимённые зажимы магнитосвязанных катушек, дают со- гласное направление магнитных потоков в этих катушек. Рисунок 10.7 – Согласное, встречное включения катушек * * i 1 i 2 Ф 1 Ф 2 i 1 i 2 Ф 1 Ф 2 Одноимённые зажимы помечают либо точкой, либо звёздочкой. Если на прин- ципиальной электрической схеме токи ориентированы одинаково относительно од- ноимённых зажимов катушек, то это согласное включение катушек, иначе – встреч- ное. 10.4 Коэффициент мощности Номинальные параметры, т. е. мощность источника S ист , мощность потребителя Р потр и коэффициент мощности cosφ потр , связаны следующим соотношением cos потр ист потр P S Чем меньше cosφ потр , тем большую мощность S должен иметь источник для пи- тания этого потребителя, т. е. тем больше его габариты, вес, расход материалов, сто- имость и др. Ток в цели потребителя с определенным cosφ потр равен п тр потр о cos P I U Чем меньше cosφ потр , тем больше ток потребителя I, тем больший ток проходит по проводам линий электропередачи, тем больше потери энергии в этой линии и меньше КПД её и всей системы. Так как большинство потребителей представляет собой нагрузку индуктивного характера, то для улучшения cosφ потр параллельно с ним подключаются конденсато- ры. Коэффициент мощности можно повысить, увеличив активную нагрузку. При этом увеличивается потребляемая энергия, что экономически нерационально (уменьшается КПД установки). 10.5 Ток, напряжение, сопротивление и мощность в комплексном виде Если ток и напряжение изменяются по синусоидальному закону sin , sin , m i m u i I t u U t то, как указывалось выше их можно изобразить векторами и, следовательно, записать комплексными числами: , , i u j j I Ie U Ue где I и U – комплексы тока и напряжения. Точка над комплексами указывает, что ток и напряжение изменяются по синусоидальному закону с определенной частотой ; I и U – модули комплексов тока и напряжения, они же действующие значения тока и напряжения ; i и U – аргументы комплексов тока и напряжения, они же начальные фазы тока , i и напряжения U Комплекс полного сопротивления цепи Z определяется отношением комплекса напряжения к комплексу тока, т. е. ( 0) j j U U Z e Ze I I Комплексные величины, не зависящие от времени, обозначаются прописными буквами с черточкой внизу. Модулем комплекса полного сопротивления является кажущееся сопротивле- ние цепи Z =U/I, а аргументом – угол сдвига фаз между током и напряжением Алгебраическая форма записи комплекса полного сопротивления Z Zcos sin j Z Ze jZ R jX Обратная величина комплекса сопротивления – комплекс проводимости 1 Y Z Любую цепь переменного тока можно рассчитывать по законам постоянного тока, если все величины представить в комплексной форме. В этом и заключается достоинство символического метода расчета. Комплекс полной мощности цепи S определяется произведением комплекса напряжения U и сопряженного комплекса тока * I (над сопряженным комплексом синусоидальной величины ставят «звёздочку») * 0 j j j j S UI Ue Ie UIe Se Если комплекс полной мощности S перевести из показательной формы в алгеб- раическую, то получится cos sin j S UIe UI jUI P jQ То есть вещественная часть комплекса полной мощности – активная мощность Р, а коэффициент при мнимой единице – реактивная мощность Q. 10.6 Законы Кирхгофа в комплексной форме Первый закон Кирхгофа в комплексной форме: сумма комплексных амплитуд токов ветвей, сходящихся в узле равна нулю, т.е. 0 I Поскольку каждое слагаемое в представленном выражении есть вектор, то ре- зультат есть сумма векторов. Это обстоятельство позволяет контролировать анали- тические расчеты наглядными графическими построениями-векторными диаграм- мами. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме – в установившемся синусои- дальном режиме сумма комплексных амплитуд ЭДС источников напряжений в кон- туре равна сумме комплексных амплитуд падений напряжений на элементах конту- ра. Если контур содержит N источников напряжений и L пассивных элементов, то математически это положение формулируется следующим образом Вопросы к теме 10 1. Рассказать порядок расчета неразветвленной цепи переменного тока с произ- вольным количеством элементов. 2. Рассказать порядок расчета неразветвленной цепи переменного тока методом активных и реактивных составляющих токов. 3. Рассказать порядок расчета неразветвленной цепи переменного тока методом проводимостей. 4. Объяснить принцип построения векторной диаграммы неразветвленной и разветвленной цепи переменного тока 5. Записать формулы для вычисления синусоидальных токов и напряжений комплексными числами. 6. Записать формулы для вычисления сопротивления и проводимости ком- плексными числами. 7. Записать формулу для вычисления мощности комплексным числом. Приве- сти формулу для вычисления мощности в комплексном виде. 8. Записать формулы закона Ома и законов Кирхгофа в комплексной форме. 9. Рассказать порядок расчета цепей переменного тока символическим методом 10. Рассказать, какие методы расчета цепей постоянного тока можно применить к расчету цепей переменного тока. |