Курсач. Учебнометодическое пособие по дисциплине Теоретические основы электротехники для учащихся специальностей 236 03 31 Монтаж и эксплуатация электрооборудования (по направлениям)
 Скачать 3.45 Mb.
|
|
ТЕМА 12 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ ПЕРИО- ДИЧЕСКИМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ТОКАМИ 12.1 Основные понятия Периодическими несинусоидальными токами называют токи, изменяющиеся в времени по периодическому несинусоидальному закону. Несинусоидальные токи возникают при различных режимах работы электрических цепей. Таких режимов четыре. 1. Источник электрической энергии вырабатывает несинусоидальную ЭДС или несинусоидальный ток, а все элементы цепи (активные сопротивления, индук- тивности и ёмкости) линейны, т.е. от величины тока не зависят. 2. Источник электрической энергии вырабатывает синусоидальную ЭДС, но один или несколько элементов цепи нелинейны, т.е. имеют нелинейные характери- стики (катушки со стальным сердечником, выпрямители). 3. Источник электрической энергии вырабатывает несинусоидальную ЭДС, ЭДС, а в электрическую цепь входит одно или несколько нелинейных сопротивле- ний. 4. Источник электрической энергии вырабатывает постоянную или синусои- дальную ЭДС, а один или несколько элементов цепив процессе работы изменяют свои параметры. Гармоники При рассмотрении периодических несинусоидальных колебаний можно воспользоваться теоремой Фурье, согласно которой любая периодически изменяющаяся величина может быть представлена в виде суммы постоянной составляющей и ряда синусоидальных составляющих с кратными частотами. Синусоидальные составляющие несинусоидальных колебавний называются гармониками. Синусоидальная составляющая, частота которой равна частоте несинусоидальной периодической величины, называеися основой, или первичной, гармоникой. А синусоидальные составляющие, частоты которых в 2,3, …,k раз больше частоты несинусоидальной величины, называются соответственно 2-й, 3-й, …, k-й гармоникой. Аналитическое выражение несинусоидальной функции можно записать так: 0 1 1 2 2 3 3 ( t) sin( t ) sin(2 t ) sin(3 t ) ... sin(k t ) k k f A A A A A где f(ωt) – несинусоидальная велчина, изменяющаяся с частотой ω. А 0 – постоянная составляющаяся несинусоидальной величины; А 1 ; А 2 ; А 3 ; …; А к – амплитуды соответственно 1-й, 2-й, 3-й, k-й, гармоник, т.е. синусоидальных составляющих с частотой ω, 2ω, 3ω, …, kω, ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 , ψ k – начальные фазы соответственно 1-й, 2-й, 3-й и k-й гармоник. Гармоники можно преобразовать, применив из тригонометрии формулу синуса суммы углов. k-ю гармонику можно представить в виде A sin(k ) A sink cos A cosk sin k k k k k k t t t Обозначив постоянные величины выражения можно получить A sin(k ) sink cosk k k k k t B t C t Тогда ряд Фурье для несинусоидальных периодической функции, примет вид 0 1 2 3 1 2 3 ( t) sin sin 2 sin 3 sink cos cos 2 cos 3 cosk k k f A B t B t B t B t C t C t C t C t В отличии от амплитуды k-й гармоники А К , постоянные величины B k и С k могут быть положительными или отрицательными. Такая запись характерна тем, что гармоники составляются ряд синусов и ряд косинусов с начальными фазами, равными нулю (ψ k =0). Свойства периодических кривых Несинусоидальные переодические кривые, с которыми приходится встречаться в электротехнике, являются симметричными относительно оси абсцисс или ординат или начала координат. Периодическая кривая называется симметрической относительно абсцисс, если на расстоянии половины периода они имеют ординаты, одинаковые по величине, но обратные по знаку (рис. 12.1 а), т.е. отрицательная полуволна такой кривой представляет собой зеркальное изображение положительной полуволны. Кривые симметрые относительно оси абсцисс, не содержат постоянной составляющей и четных гармоник. Такая кривая содержит только нечётные гармоники: 1 1 3 3 5 5 ( t) A sin( ) A sin(3 ) A sin(5 ) f t t t Рисунок 12.1 – Кривые несинусоидальных величин Кривые, симметричные относительно начала координат, не содержат постоянной составляющей и косинусоид. Такая кривая сожержит только синусоиды (рис. 12.1 б): 1 2 3 ( t) sin sin 2 sin 3 sink k f B t B t B t B t Кривая, симметричная относительно оси ординат, изображена на рисунке 12.1 г. Такая кривая не содержит синусоид. Она содержит постоянную составляющую и косинусоиды: 0 1 2 3 ( t) cos cos 2 cos 3 f A C t C t C t 12.2 Несинусоидальный ток в линейных электрических цепях Если к линейной цепи приложено несинусоидальное напряжение, которое раскладывается на ряд гармоник, то ток в этой цепи раскладывается на такое же количество тех же гармоник. Если, например, к неразветвлённой цепи, состоящей из R, L и C (рис. 12.2), приложено несинусоидальное напряжение 1 1 3 3 5 5 u U sin( ) U sin(3 ) U sin(5 ) m m m t t t то сопротивление этой линейной цепи для различных гармоник имеет различные значения. Рисунок 12.2 – Неразветвлённая цепь, состоящей из R, L и C, с приложенным несинусоидальным напряжением Активное сопротивление R для всех гармоник одинаковое, если пренебречь поверхностным эффектом. Индуктивное сопротивление X L =ωL с увеличением номера гармоники увеличивается, так как увеличивается ω, и для любой гармоники может быть определено выражением: X k X Lk L L k , где k – номер гармоники; X L1 – индуктивное сопротивление первой гармоники. Емкостное сопротивление 1 c X C с увеличением номера гармоник уменьшается и для любой гармоники определяется выражением: 1 1 C Ck X X k C k , где k – номер гармоники; X C1 – ёмкостное сопротивление первой гармоники. Полное сопротивление неразветвлённой линейной цепи для любой гармоники 2 2 (X ) k Lk Ck Z R X Угол сдвига фаз между током и напряжением для любой гармоники k Lk Ck k X X X arctg arctg R R Очевидно, угол сдвига фаз φ может быть положительным или отрицательным в зависимости от характера цепи для определённой гармоники X X L C или X X L C Амплитуды токов для каждой гармоники равны: mk mk k U I Z Мгновенное знаечение несинусоидального тока в линейной цепи с заданным несинусоидальным напряжением U определяется выражением 1 1 1 3 3 3 5 5 5 sin( ) sin(3 ) sin(5 ) m m m i I t I t I t Если в неразветвлённой цепи включен конденсатор, а в приложенном к этой цепи несинусоидальном напряжении имеется постоянная составляющая, то ток постоянной составляющей равен нулю, так как для постоянной составляющей конденсатор представляет разрыв цепи. Если задан несинусоидальный ток в линейной цепи и k-я гармоника тока записана: 1 sin( ) k m k i I t , то напряжение в цепи, соответствующее этой гармонике, равно: sin(k ) k mk k u U t k 12.3 Действующее значение несинусоидальной величины. Мощность несинусоидального тока Действующим называют значение несинусоидального тока, эквивалентное по- стоянному току по тепловому действию. При этом нужно учесть, что несинусои- дальный ток складывается из постоянной составляющей и ряда гармоник: 0 1 2 3 0 1 1 2 2 3 3 sin( ) sin(2 ) sin(3 ) m m m i I i i i I I t I t I t Для определения действующих значений тока гармоник и постоянной состав- ляющей несинусоидального тока можно использовать формулу 2 2 2 2 0 1 2 k I I I I I где 0 I – постоянная составляющая несинусоидального тока; 1 2 , , k I I I – действующее значение токов гармоник, т. е. 2 mk k I I Аналогично действующее значение несинусоидального напряжения определя- ется выражением 2 2 2 2 2 0 1 2 3 k U U U U U U Действующее значение несинусоидального напряжения является средней квад- ратичной величиной постоянной составляющей и действующих значений напряже- ний гармоник. Под активной мощностью Р несинусоидального тока понимают среднее значе- ние мгновенной мощности за период. 0 0 1 1 1 2 2 2 P P P P ... P U U cos U cos ... U cos k k k k k k k I I I I где Р 0 – мощность постоянной составляющей несинусоидального тока; Р 1 , Р 2 , Р k – активные мощности гармоник несинусоидального тока. Таким образом, потребляемая, т. е. активная, мощность в цепи несинусоидаль- ного тока определяется суммой постоянной мощности и активных мощностей гар- моник. Реактивная мощность в цепи несинусоидального тока, по аналогии, определя- ется выражением 1 2 1 1 1 2 2 2 U sin U sin ... U sin k k k k Q Q Q Q I I I Реактивная мощность в цепи несинусоидального тока определяется суммой ре- активных мощностей гармоник. Постоянная составляющая реактивной мощности отсутствует так как для по- стоянного тока колебание мощности (энергии) немыслимо. Полная, или кажущаяся, мощность в цепях несинусоидального тока равна S=UI. Угол сдвига фаз φ между эквивалентными синусоидами напряжения и тока вы- бирается таким, чтобы активная мощность эквивалентного синусоидального тока была равна активной мощности несинусоидального тока: cos э э Э Э P U I Вопросы к теме 12 1. Назвать причины возникновения несинусоидальных ЭДС, токов и напряже- ний в электрических цепях. 2. Написать аналитическое выражение несинусоидальных периодических вели- чин в форме тригонометрического ряда. 3. Сформулировать понятия действующего значения несинусоидального пери- одического тока и напряжения, коэффициентах формы и амплитуды, искажения пе- риодической кривой. 4. Рассказать о расчете мощности при несинусоидальном токе 5. Рассказать порядок расчета линейных электрических цепей при несинусои- дальном периодическом напряжении на её входе. ТЕМА 13 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 13.1 Нелинейные элементы Нелинейными электрическими цепями переменного тока называются цепи, в состав которых входят один или несколько нелинейных сопротивлений (нелиней- ных элементов) переменного тока. Характерной чертой нелинейных элементов переменного тока являются нели- нейная-амперная, кулон-вольтная, вебер-амперная и другие характеристики. Переменному току оказывают сопротивление активные сопротивления, индук- тивности и ёмкости. В соответствии с этим нелинейные сопротивления переменного тока могут быть разделены на три группы: 1) группа нелинейных активных сопро- тивлений; 2) группа нелинейных индуктивных сопротивлений; 3) группа нелиней- ных емкостных сопротивлений. 1. В качестве управляемых нелинейных активных сопротивлений широкое распространение получили электронные и полупроводниковые приборы, магнитные усилители и другие устройства. Неуправляемыми нелинейными активными сопро- тивлениями являются электрическая дуга, полупроводниковые выпрямители, лампы накаливания и др. Нелинейные элементы этой группы способствуют созданию не- синусоидальных токов в электрических цепях. 2. Под нелинейными индуктивными сопротивлениями, или иначе нелинейны- ми индуктивностями, понимают катушки с ферромагнитными сердечниками, для которых зависимость магнитного потока в сердечнике от тока в катушке нелинейна. Катушка с ферромагнитным сердечником в цепи переменного тока искажает форму кривой тока, т.е. является генератором несинусоидального тока. 3. Для нелинейных конденсатор конденсаторов зависимости заряда Q на об- кладках от напряжения, приложенного к конденсатору, нелинейна. Пространство между обкладками нелинейного конденсатора заполнено сегнетодиэлектриком, ди- электрическая проницаемость которого зависит от напряжённости электрического поля между обкладками конденсатора. 13.2 Выпрямители – источники несинусоидального тока Выпрямителями называют аппараты, преобразующие переменный ток в посто- янный. Основным элементом любого выпрямителя является электрический вентиль. Электрический вентиль обладает малым сопротивлением в прямом направлении и большим в обратном направлении. Вентиль имеет нелинейную вольт-амперную ха- рактеристику (рис. 13.1), поскольку обладает практически односторонней проводи- мостью. Графическое изображение электрического вентиля в электрических схемах и положительное направление прямого напряжения и тока показано на рисун- ке 13.1 а. Вентиль, сопротивление которого в прямом направлении равно нулю, а в об- ратном – бесконечно большое, считается идеальным вентилем. Характеристика иде- ального вентиля дана на рисунке 13.1 б. Вентиль, сопротивлением которого в пря- мом направлении пренебречь нельзя, а обратным током можно пренебречь, имеет вольт-амперную характеристику, изображенную на рисунке 3.59в. Вольт-амперная характеристика реального полупроводникового вентиля изображена на рисун- ке 13.1 г. Рисунок 13.1 – Вентиль В схеме однополупериодного выпрямителя вентиль включается последователь- но с потребителем R, ток которого необходимо выпрямить (рис. 13.2 а). Рисунок 13.2 – Схема однополупериодного выпрямителя Если к цепи, изображённой на рисунке 13.2 а, приложено синусоидальное напряжение (и обратным током вентиля можно пренебречь), то ток в по- ложительный полупериод изменятся также по синусоидальному закону: В течение же отрицательного полупериода напряжения (u<0) тока в цепи нет, так как предполагается R обр =∞. Таким образом, в рассматриваемой цепи создаётся однополупериодное выпрямление синусоидального тока (рис. 13.2 б). 13.3 Катушка с ферромагнитным сердечником Наиболее распространенным нелинейный элементом переменного тока в элек- трических машинах, трансформаторах и других аппаратах является катушка со стальным сердечником (рис. 13.3). Рисунок 13.3 – Катушка со стальным сердечником Если магнитный поток в сердечнике изменяется по синусоидальному закону , то при отсутствии рассеяния он индуктирует в катушке, расположенной на сердечнике, ЭДС самоиндукции Если пренебречь активным сопротивлением катушки, то напряжение, прило- женное к ней, равно по величине и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции: где , а действующее значение напряжения 𝑈 = 𝑈 𝑚 √2 = 2𝜋𝑓𝑊Ф 𝑚 1,41 или 𝑈 = 4,44𝑓𝑊Ф 𝑚 Если к катушке со стальным сердечником приложено синусоидальное напря- жение, то в сердечнике возникает синусоидальный магнитный поток. Ток в катушке при этом отказывается несинусоидальным. Это связано с нелинейной зависимостью между магнитным потоком и током . На рисунке 13.4 а показана петля гисте- резиса, изображающая эту зависимость. Рисунок 13.4 – Петля гистерезиса Для каждого момента времени (t 0 , t 1 , t 2 и т.д.) по петле гистерезиса находят зна- чение тока и откладываются его на ординате магнитного потока (смотри пунктиро- ванные линии на рисунке 13.4). При увеличении магнитного потока пользуются участком ab петли гистерезиса, при уменьшении – участка bc и т.д. Как видно (рис. 13.4 б), кривая тока при синусоидальном магнитном потоке не- синусоидальная. 13.4 Мощность потерь. Векторная диаграмма катушки со стальным сердечником При расчете цепи катушки со стальные сердечников несинусоидальный намагничивающий ток i часто заменяют эквивалентным синусоидальным, который имеет то же действующее значение, что и несинусоидanьный. При этой замене пользуются поправочным коэффициентом ξ зависящим от формы кривой тока, которая в свою очередь зависит от максимального значения индукции в сердечнике В m При синусоидальном токе векторная диаграмма для катушки (без активного сопротивления) со стальным сердечников (без рассеяния) может быть построена как для идеальной индуктивности, т. е. ток отстаёт от напряжения на угол 90 0 . Если учесть потери на циклическое перемагничивание в сердечнике Р ЦП и на вихревые токи Р ВТ , т.е. потери в стали Р СТ = Р ЦП +Р ВТ , то ток в катушке со стальным сердечником отстает от напряжения на угол φ'<90° (рис. 13.5 а). При этом появляется активная составляющая тока совпадающая по фазе с напряжением, и реактивная составляющая тока 𝐼 𝑝 = 𝐼 sin 𝜑 ′ = 𝐼 cos 𝛿. Реактивная составляющая тока, совпадающая по фазе с магнитным потоком и намагничивающая сердечник, называется намагничивающим током катушки. Угол δ, на который ток I опережает по фазе магнитный поток Ф (рис. 13.5 а), называется углом потерь Рисунок 13.5 – Векторная диаграмма катушки со стальным сердечником Потери в стали (магнитные потери) можно определить выражением 𝑃 ст = 𝑃 уд 𝐺, где G – масса ферромагнитного сердечника, кг; Р УД – удельная мощность потерь в стали, Вт/кг. Удельную мощность потерь вычисляют по формуле 𝑃 уд = 𝑃 1,0/50 𝐵 𝑚 , где Р 1,0/50 – потери в стали при индукции В m =1Тл и частоте f=50Гц; В m – максималь- ное значение индукции. Если не пренебрегать активным сопротивлением катушки R, то падение напря- жения на этом сопротивлении U а =IR совпадает по фазе с током I. На активном со- противлении возникают потери мощности, которые являются электрическими поте- рями и называются потерями в меди Р M =I 2 R. Эти потери складываются с магнитны- ми и создают суммарные потери в катушке со стальным сердечником Р= Р СТ +Р М Суммарные потери Р влияют на угол потерь δ и на активную составляющую тока катушки I а =Icosφ, так как cos 𝜑 = 𝑃 𝑈𝐼 Большая часть магнитного потока, т. е. основной поток Ф, замыкается в сер- дечнике, а незначительная часть потока Ф, рассеивается. Поток рассеяния Ф Р ин- дуктирует и катушке ЭДС рассеяния. На преодоление ЭДС рассеяние в напряжении, приложенном к катушке, появляется составляющая, которая опережает ток на угол 90 0 . Потом рассеяния Ф Р совпадает по фазе с током. Следовательно, напряжение на зажимах катушки со стальным сердечником складывается из напряжения U / , U a , U p . Это используется при построении векторной диаграммы катушки со стальным сердечником (рис. 3.63б). 13.5 Схемы замещения катушки с ферромагнитным сердечником При решении практических задач для идеализированной катушки можно соста- вить схему замещения с постоянными (при данном напряжении на катушке) величи- нами сопротивлений: активного R М и индуктивного Х М , соединенными последователь- но (рис. 13.6 а). При этом потери в ферромагнитном сердечнике Р М заменяют равными электриче- скими потерями в активном сопротивлении: а Х М определяют из уравнения Вместо последовательного соединения R М , Хм можно включить параллельно две ветви (рис. 13.6 б). В первой ветви, содержащей активную проводимость Gм, ток равен активной со- ставляющей тока катушки I a : Вторая ветвь содержит реактивную проводимость В М и намагничивающий ток I M : Рисунок 13.6 – Схема замещения с постоянными сопротивлений активного R М и ин- дуктивного Х М, соединенными последовательно 13.6 Феррорезонанс В цепи с линейными элементами при постоянной частоте источника питания резо- нанс достигается непосредственным изменением индуктивности или емкости. Если индуктивность или емкость нелинейны, то резонанс может наступать при из- менении тока в цепи или приложенного напряжения без какой-либо регулировки ка- тушки и конденсатора. Индуктивность или емкость такой нелинейной цепи изменяется в связи с измене- нием тока или напряжения, что ведет к изменению её собственной частоты, которая может о принять величину, равную частоте вынужденных колебаний источника. В цепях, содержащих катушку со стальным сердечником и конденсатор, резонанс- ные явления, связанные с нелинейным характером индуктивности, называют ферроре- зонансом. Вопросы к теме 13 1.Сформулировать понятие нелинейных электрических цепей, нелинейного эле- мента. 2.Назвать отличия нелинейных элементов от линейных 3.Сформулировать классификацию нелинейных элементов переменного тока. Привести примеры. 4.Дать определение выпрямителю электрического тока. 5.Рассказать о принципе действия вентиля. 6.Рассказать об особенностях катушки со стальным сердечником. 7.Дать определение феррорезонансу. |