Учебное пособие для подготовки к Единому Государственному Экзамену. Под редакцией профессора, доктора педагогических наук, директора моу Лицей 13 С. А. Старченко. Троицк 2016. 124

• Название: Учебное пособие для подготовки к Единому Государственному Экзамену. Под редакцией профессора, доктора педагогических наук, директора моу Лицей 13 С. А. Старченко. Троицк 2016. 124
• Дата: 09.01.2023
• Размер: 1.57 Mb.
• Имя файла: posobie_f.docx
• Тип: Учебное пособие; #878255
• страница: 15 из 27

Задача4.4. Очевидно, коэффициент трения - безразмерная величина. Действительно, в формуле (4.1) и F , и N имеют размерность силы, поэтому коэффициент трения – безразмерный.

(ответ - 4).

2) В задаче 5.4 тело не движется, и никакие силы не стремятся его сдвинуть. Поэтому шероховатости тела и опоры «не зацепляются» и сила трения равна нулю.

(ответ - 2).

3) В задаче 6.4 тело движется по шероховатой горизонтальной поверхности, поэтому сила трения определяется формулой (4.1) и равна μmg.

(ответ - 1).

4) Задача 7.4. Из условия не ясно, будет двигаться данное тело, или нет. Сравнение сдвигающей силы F =0,5Н и максимальной силы трения μmg = 1Н показывает, что данной сдвигающей силы не достаточно, чтобы сдвинуть тело. Следовательно, тело будет покоиться, а сила трения равняться сдвигающей силе F_Tp = 0,5 Н.

(ответ - 2).

5) Задача 8.4. Из анализа предыдущей задачи следует также, что сдвинуть данное тело может минимальная горизонтальная сила F = 1 Н.

(ответ - 3)

6) Задача 9.4. Аналогичный анализ необходимо выполнить, когда исследуется поведение тела на наклонной плоскости. Если тело аккуратно положить на плоскость, то в зависимости от коэффициента трения и угла наклона плоскости оно может как покоиться, так и скользить. Очевидно, для тела на наклонной плоскости сдвигающей силой является составляющая силы тяжести, параллельная плоскости, т.е. mg·sinα (см. рисунок). Сила реакции плоскости компенсирует составляющую силы тяжести, перпендикулярную плоскости, и потому равна mgcosα (параллельная и перпендикулярная плоскости составляющие силы тяжести показаны на рисунке пунктирными стрелками). Поэтому телу будет двигаться, если

μmgcosα ≤ mg·sinα, (4.2) или μ < tgα.

(ответ – 2)

7) Задача 10.4. Аналогичные рассуждения приводят к результату α ≥ arctgμ

(ответ- 1)

8) Задача 11.4. Ускорение тела, соскальзывающего с наклонной плоскости, можно найти из второго закона Ньютона. а = gsinα - μg·cosα. Для наклонной плоскости высотой 3 и длиной 5мsinα = 4/5, cosα = 3/5. Отсюда находим, что а = 2 м/с².

(ответ - 2).

9) Задача 12.4. В этой и следующей задачах необходимо выразить коэффициент трения между телом и поверхностью через кинематические характеристики движения тела по этой поверхности. Основная идея решения заключается в том, чтобы из кинематических характеристик найти ускорение тела, а затем из второго закона Ньютона - силу и коэф­фициент трения. Из законов равноускоренного движения (2.2) и (2.3) находим связь времени движения до остановки t и пройденного расстояния S

S = (at² )/2

Отсюдаполучаемa = 2S/t².С другой стороны из второго закона Ньютона для тела, движущегося по шероховатой горизонтальной поверхности, следует, что a = μg. Поэтому μ = 2S/gt² = 0,032.

(ответ- 3).

10) Задача 13.4. Из закона равноускоренного движения для скорости a = v₀/t (v₀- начальная скорость, t – время движения до остановки) и второго закона Ньютона a = μg получаем μ = v₀/gt.

(ответ - 1).

В нескольких следующих задачах также необходимо исследовать возможность движения тела под действием тех или иных сдвигающих сил.

11) В задаче 14.4 сдвигающей силой является сила тяжести, а сила реакции и сила трения возникают благодаря прижиманию тела к стенке внешней силой F (см. рисунок). Поэтому N = F. Отсюда заключаем, что брусок будет покоиться, пока сила тяжести будет меньше максимальной силы трения μF. Или μ > mg/F= 0,5.

(ответ - 3).

12) В задаче 15.4. сдвигающей силой является горизонтальная составляющая внешней силы F, т.е. Fcosα. Сила реакции поверхности, как это следует из проекции второго закона Ньютона на вертикальное направление, равна mg - Fsinα. Поэтому тело начнет двигаться, если

Fcosα = μ (mg - Fsinα).

Или

(ответ - 1).

13) Задача 16.4. Согласно второму закону Ньютона при действии на тело двух взаимно перпендикулярных горизонтальных сил F₁ и F₂,сдвигающая сила равна . Поскольку по условию при F₁ = 3 и F₂ = 4Н тело движется с пренебрежимо малым ускорением, то



Откуда получаем μ = 0,5.

(ответ- 4).

14) Задача 17.4. Цепочка начинает соскальзывать со стола, когда сила тяжести, действующая на свисающий со стола конец цепочки (mg/6), сравнивается с максимальной силой трения, действующей на ее часть, лежащую на столе (5μmg/6). Поэтому μ = 0,2

(ответ- 2).

15) Задача 18.4. График зависимости силы трения от сдвигающей силы строится следующим образом. При малых значениях сдвигающей силы тело покоится, а сила трения равна сдвигающей силе.

Когда же сдвигающая сила превосходит максимальную силу трения - μN, то сила трения не зависит от сдвигающей силы:



(ответ- 4).

16) Задача 19.4. Для значений сдвигающей силы, не превосходящих максимальную силу трения, тело покоится и его ускорение равно нулю.

Если сдвигающая сила превосходит максимальную силу трения F > μmg, ускорение тела находится из второго закона Ньютона:

a = (F/m)-μg .

(ответ- 1).

17) Задача 20.4. На тело со стороны наклонной плоскости действуют перпендикулярная плоскости сила реакции и сила трения, направленная вверх вдоль плоскости, причем поскольку тело движется, сила трения достигает своего максимального значения.

Чтобы найти направление вектора суммы этих сил заметим, что поскольку первоначально тело покоилось на плоскости, то в этом положении сумма силы нормальной реакции и силы трения, которая меньше максимальной, направлена вертикально вверх.

Поэтому правильный ответ для направления суммы сил трения и реакции в случае движения тела вниз по плоскости дает рисунок 2.

(ответ- 2).

18) Задача 1.4. Движение тела в системе отсчета, связанной с лентой, происходит следующим образом.

На покоящуюся ленту попадает тело, имеющее скорость v₀ + v₁, замедляется под действием силы трения, а затем останавливается.

При этом пока тело перемещается относительно ленты, на него действует постоянная сила трения μmg. Поэтому ускорение тела постоянно и равно μg.

Применяя закон равноускоренного движения для скорости (2.3) к моменту остановки тела относительно ленты:

0 = v₀ + v₁ - μgt

где t - время, прошедшее от начала движения тела по ленте до его остановки, получаем

t = (v₀ + v₁) /μg = 1 с.

(ответ 2).

19) Задача 2.4. После остановки в верхней точке тело начнет соскальзывать по плоскости вниз, так как μ = 0,3 < tg30 = 0,58.

Следовательно, график 3. не подходит.

При движении тела вниз проекция его скорости на ось х отрицательна, поэтому не подходит и график 4.

А поскольку ускорение тела при его движении вверх (а = g(sinα + μcosα) больше ускорения при движении вниз (а = g(sinα - μcosα), наклон второй части графика зависимости скорости от времени должен быть меньше его наклона при движении вниз.

(ответ - 1).

20) Задача 3.4. При движении тела по доске на доску в горизонтальном направлении действуют силы трения со стороны тела F_тр1 , и со стороны поверхности F_тp2, направленные так, как показано на рисунке.


Это значит, что сила трения, действующая на доску со стороны тела, стремится заставить ее двигаться, со стороны поверхности - не дать доске двигаться. Поэтому поведение доски определяется сравнением этих сил. А поскольку сила трения между доской и телом равна:

μmg = 10μ,

где т- масса тела, сила трения выражена в Ньютонах,

а максимальная сила трения между доской и поверхностью:

(μ/4)(m +M)g = 7,5μ,

где М - масса доски, сила трения также выражена в Ньютонах, то доска будет двигаться.

(ответ 1).

5. Задания на проверку элементов знаний и умений по теме:

закон сохранения импульса.)

(Задачи: 5.5; 6.5; 7.5; 8.5; 9.5; 10.5; 11.5; 12.5; 13.5; 14.5; 15.5; 16.5; 17.5; 18.5; 19.5; 20. 5; 1.5; 2.5; 3.5;4.5.)

Импульсом тела называется векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость

(5.1)

Импульсом системы тел называют векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему. С импульсом связаны два закона, которые можно использовать для нахождения скоростей тел.

Через изменение импульса тела можно записать второй закон Ньютона. Действительно, поскольку ускорение тела равно



где - изменение скорости тела за бесконечно малый интервал времени Δt, то из второго закона Ньютона получаем для изменения импульса этого тела

(5.2)

Формулу (5.2) принято называть вторым законом Ньютона в импульсной форме.

Для системы тел, которые взаимодействуют только друг с другом, но не с другими телами (такая система тел называется замкнутой), выполняется закон сохранения импульса. Этот закон утверждает, что вектор импульса такой системы тел не изменяется с течением времени, хотя импульсы отдельных тел системы могут изменяться. Рассмотрим применение этих определений и законов к решению задач.




1) Задача 5.5. При решении задач следует помнить, что импульс - векторная величина, и потому импульс тела при его вращении по окружности с постоянной по величине скоростью изменяется. В частности, величина изменения импульса тела за половину периода движения по окружности равна

Δр = = 2mv.

(см. рисунок, вычитание векторов выполнено на правой части рисунка).

(ответ - 2.)

2) Задача 6.5. Импульс данной системы тел находится с помощью векторного сложения импульсов отдельных тел, входящих в систему (см. рисунок).

Используя теорему Пифагора, находим величину импульса системы

.

(ответ - 4).

3) В задаче 7.5. удобно использовать второй закон Ньютона в импульсной форме (5.2). Поскольку действующая на тело сила постоянна, закон (5.2) можно применить не только к бесконечно малому, но и к конечному интервалу времени. Из закона (5.2) имеем



где и начальный и конечный импульсы тела, - действующая на тело сила,

Δt- время действия силы.

Поскольку по условию векторы начального импульса и силы направлены противоположно, находим, проецируя второй закон Ньютона на направление начального импульса

р₂ = р₁ – FΔt = 6 кг·м/с.

(ответ - 2).

4) Задача 8.5. С помощью второго закона Ньютона в импульсной форме удобно решать и данную задачу. Применяя этот закон для молотка (при этом надо учесть, что после удара молоток остановился, и, следовательно, Δр = mv), находим среднюю силу, действующую на него со стороны гвоздя, которая равна силе, действующей со стороны молотка на гвоздь



(ответ - 2).

5) Задача 9.5 является очень простой. Однако ее (может быть именно из-за простоты) плохо делают школьники. Поскольку импульс замкнутой системы сохраняется, то у системы тележек в любой момент времени он будет таким же, как и в начальный момент, причем независимо от характера столкновения (сцепились они, или нет, разлетелись и т.д.).

А поскольку в начальный момент импульс системы равен 1 кг·м/с, то таким же он будет и в дальнейшем

(ответ - 1).

6) Задача 10.5. Применяя закон сохранения импульса к столкновению тележек, получим

mv = 3mv₁,

где 3m - суммарная масcа тележек, v₁ - их скорость после столкновения. Отсюда находим, что

v₁ = v/3.

(ответ 3).

7) Задача 11.5. Закон сохранения импульса для системы «брусок - пуля» дает

mv = (m+ М)u,

где и - скорость бруска с застрявшей в нем пулей. Отсюда находим, что

u = mv/(m + М)

(ответ - 1).

8) В задаче 12.5 рассматривается столкновение тел, которые после этого слипаются. Если после столкновения тела останавливаются, то импульс этой системы тел после столкновения равен нулю. Следовательно, должен равняться нулю и импульс системы тел до столкновения. Поэтому до столкновения должно выполняться равенство

m₁v₁ = m₂v₂,

где т₁, т₂ и v₁, v₂ - массы и скорости тел до столкновения. Отсюда находим

v₂ = m₁v₁ /m₂ =0,4 м/с

(ответ - 3).

9) Задача 13.5 Закон сохранения импульса для системы тел здесь принимает вид

mv = m(v / 2) + Мu,

где u- скорость бруска после того, как его пробила пуля.

Поэтому

u = mv/2M.

(ответ 1).

10) Задача 14.5. Из закона сохранения импульса ^/+


где pиp'- импульсы первого тела до и после столкновения, р₁ - импульс второго тела после столкновения, находим

что означает, что вектор скорости второго тела после столкновения направлен так, как это показано на рисунке 3 в условии задачи. (ответ - 3).

11) Задача 15.5. Очевидно, скорость тележки после «аккуратного» сбрасывания тела (т.е. с нулевой скоростью относительно тележки) не изменяется.

Действительно, из закона сохранения импульса следует, что скорость тележки изменится, если изменится и скорость тела (так, чтобы не изменился суммарный импульс системы «тележка-тело»), В рассматриваемом же случае скорость тела не изменяется, поэтому не изменяется и скорость тележки.

(ответ - 3).

12) Задача 16.5. Закон сохранения импульса для человека и тележки, движущихся в одном направлении, имеет вид mv₁ + Mv₂= (m +M)v₃,

откуда получаем данный в условии задачи ответ 4.

Отметим, что остальные данные в условии ответы можно было «отбросить» сразу: в двух из них при одинаковых массах человека и тележки получается нуль в знаменателе (что невозможно), еще один ответ дает нуль для скорости при одинаковых скоростях человека и тележки (а ответ в этом случае, очевидно, должен дать именно эту скорость).

(ответ - 4).

13) Задача 17.5. Закон сохранения импульса для системы тел «тележка с песком - шар» имеет вид:



где М, m и v₁, v₂ - массы и скорости тележки и шара до столкновения, u - скорость тележки с шаром после столкновения.

Проецируя закон сохранения импульса на ось х (см. рисунок), находим



где u_х - проекция вектора на ось х. Отсюда следует, что вектор скорости тележки с шаром направлен против оси х и равен по величине 0,1 м/с.

(ответ - 2).

14) Задача 18.5. Рассмотрим закон сохранения импульса для гранаты

,

m₂и m₁ - массы двух осколков, v₁и v₂ - их скорости после взрыва.

Проецируя этот закон на направление движения гранаты, получаем

mv = m₁v₁ +m₂( )_x, (1)

где (v₂)_x - проекция скорости второго осколка на это направление.

Из формулы (1) следует, что второй осколок движется после взрыва противоположно направлению движения гранаты до взрыва, если m₁v₁ > mv, поскольку в этом случае проекция вектора отрицательна.

(ответ - 2).
Две следующие задачи поставлены очень похоже друг на друга, но в первой из них дана скорость человека относительно земли, во второй - относительно тележки. А какую скорость следует использовать в законе сохранения импульса?

Вообще-то можно брать скорости в любой системе отсчета, но важно, чтобы все скорости были заданы в одной и той же системе. А поскольку известна начальная скорость тележки относительно земли, удобно все скорости задавать именно в этой системе.

15) В задаче 19.5 имеем в системе отсчета, связанной с землей в проекциях на ось, направленную вдоль скорости тележки

(M + m)v = Mu – mv_1,

где u- скорость тележки после столкновения. Отсюда находим



(ответ – 1)

16) Задача 20.5. Закон сохранения импульса

(М + m) = М + m ,

в котором все скорости заданы относительно земли (v_1,оз– скороть человека относительно земли), необходимо объединить с законом сложения скоростей

+

где v₁- скорость человека относительно тележки, u- скорость тележки. Подставляя закон сложения скоростей в закон сохранения импульса, имеем

(М + m) = M +m( + ) = (М + m) +m .

Проецируя этот векторный закон на направление движения тележки, получим



Отметим, что отличие ответов этой и предыдущей задач сводится к отличию их знаменателей.

(ответ - 3).

17) В задаче 1.5надо рассмотреть закон сохранения импульса в случае, когда скорости тел после столкновения направлены не вдоль одной прямой. Из закона сохранения импульса для снаряда

имеем
Откуда

(ответ - 3).

18) Задача 2.5. Поскольку проекция импульса системы тел на ось у (см. рисунок) равна нулю, после слипания тела будут двигаться вдоль оси х. Поэтому из проекции закона сохранения импульса системы на ось х

2mvcos(α/2) = 2mu ,

где u - скорость тел после столкновения, получаем u = vcos(α/2).

(ответ - 3).

19) Задача 3.5. Поскольку импульс начального ядра равен нулю, то равна нулю и векторная сумма импульсов ядер-осколков.

Поэтому ,

p₁, р₂ и р₃ - импульсы первого, второго и третьего осколков.

По условию векторы ₁ и ₂ направлены перпендикулярно друг другу. Поэтому величину вектора можно найти по теореме Пифагора



Отсюда находим скорость третьего осколка v₃ = v.

(ответ - 1)

20) В задаче 4.5 сначала рассмотрим движение тела А по поверхности горки, когда тело В закреплено и может двигаться только вместе с горкой. Согласно закону сохранения импульса после соскальзывания тела А влево горка с телом В будет двигаться вправо с некоторой скоростью (см. рисунок), причем чем больше масса горки с телом В по сравнению с массой тела А, тем меньшую скорость приобретет горка.

Рассмотрим теперь соскальзывание тела В, но сделаем это в системе отсчета, связанной с горкой. В ней горка в начальный момент стоит, а затем после соскальзывания тела В вправо будет двигаться влево.

Если бы горка приобрела такую же скорость, как и в первом случае, то в системе отсчета, связанной с землей, она остановилась. Можно, однако, понять, что во втором случае горка приобретет большую скорость.

Действительно, в первом случае тело А при соскальзывании толкало в противоположную сторону горку вместе с телом В, а тело В - только одну горку (т.е. более легкое тело).

Поэтому после последовательного соскальзывания двух тел (сначала A, затем В) горка будет двигаться влево.

(ответ - 1).

6. Задания на проверку элементов знаний и умений по теме: