5 вариант. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки

• Название: Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки
• Дата: 27.11.2022
• Размер: 1.17 Mb.
• Имя файла: 5 вариант.pdf
• Тип: Учебное пособие; #814341
• страница: 2 из 7

Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Производная функции, ее геометрический смысл, свойства
производной. Производная сложной и неявно заданной функций. Предельные

11
и средние величины в экономике: предельные и средние издержки, предельная
и средняя производительность труда.
Средняя и точечная эластичность функции. Эластичности спроса и
предложения по цене, эластичность спроса по доходу. Дифференцируемость
функции, первый дифференциал и его геометрический смысл. Приближенные
вычисления с помощью дифференциала.
Основные теоремы дифференциального исчисления: лемма Ферма,
теоремы
Ролля
и
Лагранжа.
Правило
Лопиталя
раскрытия
неопределенностей.
Монотонность функции. Условие монотонности. Экстремум
функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Задача
максимизации прибыли. Моделирование налоговых поступлений в бюджет.
Кривая Лаффера.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
Формула Маклорена. Разложение элементарных функций по формуле
Маклорена. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Полное
исследование функции и построение графика с помощью дифференциального
исчисления.
Студенты должны знать три классические задачи, которые приводят к понятию производной: задачу о касательной к плоской кривой, задачу о скорости неравномерного прямолинейного движения и задачу о производительности труда. Их решение выявляет геометрический, механический и экономический смысл производной.
Изучая материал этой темы, студенты знакомятся с необходимым условием дифференцируемости функции. Усвоив основные правила дифференцирования, студенты должны уметь находить производную суммы и произведения нескольких дифференцируемых функций, производную частного двух функций, пользоваться основными формулами

12 дифференцирования, овладеть техникой дифференцирования функций, в частности правилом дифференцирования сложной функции.
Одно из простейших приложений производной – раскрытие неопределенностей вида [0/0] или




/
с помощью правила Лопиталя.
Надо четко представлять схему исследования функции для нахождения ее характерных точек и особенностей, по которым можно построить ее график.
Задачи по теме для самостоятельного решения
1. Найти производную функции: а)
2 3
4
(6 2
1)
;
х
y
х
х
е




б)
2
ln (
4 1) ;
y
x
х
х




в)
4
ln
2 3
x
y
х


2. Вычислить дифференциал функции
2 3
11
y
х
х



при х=2 и
Δх=0,1.
3. При помощи дифференциала функции найти приближенное значение
5 34 .
4. Вычислить пределы: а)
1 1
lim
;
ln
x
x
x


б)
3 0
4
lim
;
1 3 1
x
x
x



в)
0
sin 4
lim tg8
x
x
x

5. Составить уравнение касательной к графику функции
3 2
4 8
3 2
y
x
x
x




в точке х
0
=1. Сделать чертеж.
6. Составить уравнения касательных к графику функции
1
,
2
x
y
x

 

параллельных прямой, проходящей через точки с координатами (–2; 7) и
(2; –5). Сделать чертеж.
7. Составить уравнения касательных к графику функции
1 4 ,
y
x


проходящей через точку с координатами (4; –1). Сделать чертеж.

13 8. Найдите наибольшее значение функции
2
ln(
3)
2
y
x
x



на отрезке [-2,5; 0].
9. Исследуйте функцию


2 4
x
y
x


и схематично постройте ее график.
10. Исследуйте функцию


2 1
1
x
y
x
e



и схематично постройте ее график.
11. Исследуйте функцию ln x
y
x

и схематично постройте ее график.
12. Зависимость между издержками производства y и объемом выпускаемой продукции x выражается функцией
3 05
,
0 50
x
x
y


(ден. ед.).
Определите средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.
13. В математической модели рынка некоторого товара с функцией спроса
48
( )
7 14
D p
p
 

и функцией предложения
( ) 10 ln( )
2
p
S p


, где p – цена товара в рублях, вычислите эластичность предложения в точке рыночного равновесия.
14. Затраты на производство продукции объѐма х задаются функцией
4 5
2



x
x
y
. Производитель реализует каждую единицу продукции по цене 25 ден. ед. Найдите максимальную прибыль, равную разности между выручкой от реализации и затратами, и объем производства х, при котором прибыль будет максимальная.
Тема 4. Интегральное исчисление функций одной переменной
Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Основные
методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных функций.

14
Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница и ее
применение. Выпуск продукции за определенное время при заданном законе
мгновенной мощности производства.
Среднее значение функции. Средняя производительность труда,
средняя капиталоотдача.
Несобственные интегралы. Интеграл Пуассона.
Операция интегрирования функции является операцией, обратной дифференцированию, но в отличие от последнего приводит к неоднозначному результату: для любой непрерывной функции f (x) имеется бесконечное множество первообразных. Они отличаются друг от друга лишь на постоянное слагаемое. Правильность интегрирования можно проверить дифференцированием.
Под непосредственным интегрированием понимают нахождение неопределенного интеграла путем преобразования его к табличному с помощью основных правил интегрирования и тождественных преобразований подынтегрального выражения.
Практическое применение формулы интегрирования по частям, если оно целесообразно, связано с проблемой правильного разбиения подынтегрального выражения на сомножители u и dv. Отметим, что формулу интегрирования по частям, как правило, удобно применять, если подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную, обратную тригонометрическую или логарифмическую функцию
Студент должен знать определение определенного интеграла как предела интегральной суммы и то, что вычисление определенного интеграла сводится к применению формулы Ньютона – Лейбница.
Применяя определенный интеграл для вычисления площадей плоских фигур, мы исходим из того интуитивного утверждения, что всякая плоская фигура, ограниченная несколькими непрерывными кривыми, образующими замкнутый контур, имеет площадь. Следует помнить, что "простейшей"

15 фигурой, площадь которой выражается определенным интегралом, является криволинейная трапеция. Во всех остальных случаях фигуру нужно представить в виде сумм или разностей криволинейных трапеций. Решение задачи на вычисление площади криволинейной трапеции всегда начинают с построения чертежа и при этом следят за тем, чтобы граница фигуры содержала все заданные в условии линии и точки. Уяснить сказанное можно, разобрав примеры, в которых вычисляются площади различных плоских фигур.
Понятие несобственного интеграла с бесконечными пределами появляется как обобщение понятия определенного интеграла для случая, когда один из пределов интегрирования или оба не ограничены.
Задачи по теме для самостоятельного решения
1. Найти неопределенные интегралы: а)
3 2
5 7
9 1
x
x
x
dx,
x





б)
4 9
xdx
,
x


в)
2 5
4
x
x
x
e dx
,
e
e



г)


5 1
2 3
x
e
x
dx,
 


д)
5
ln x
dx.
x

2. Вычислить определенные интегралы: а)
1 2
0 5
6
dx
,
x
x



б)
1 5
4
e
ln x
dx,
x


в)
1 0
x
e dx.

3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:



5 1
y
x
x ,



4
y
,

1
x
.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции


3 48 2
y
.
x


5. Сменная производительность труда рабочего описывается функцией
 
2 0 312 2 5
f t
,
t
, t,
 

где t – время в часах. Причем 0 7
t
.
 

16
Определите объем выпуска продукции в течение месяца (за 24 рабочий день) бригадой, состоящей из 10 человек.
6. Изменение производительности производства с течением времени от начала внедрения нового технологического процесса задается функцией
0 5 5
32 2
, t
z
,




где t – время в месяцах. Найти объем продукции, произведенной за третий месяц, считая от начала внедрения рассматриваемого технологического процесса.
7. Найти объем выпускаемой продукции за пять лет, если в функции
Кобба–Дугласа
 
t
A t
e ,

  

2 1
L t
t
,
 
  

2 100 3
K t
t
,


0 1
a
,

1,


0 5
, ,
 
 
(t – время в годах).
Тема 5. Функции нескольких переменных
Пространство R
n
. Множества в пространстве R
n
. Функции
нескольких переменных. Примеры функций нескольких переменных в
экономике: функция полезности, многофакторные производственные
функции (мультипликативная, Кобба-Дугласа). Способы задания функции
нескольких переменных. Поверхности (линии) уровня функции. Кривые
безразличия и изокванты.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Частные
производные
функции
нескольких
переменных.
Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных.
Средняя и предельная производительность труда и капиталоотдача.
Коэффициенты эластичности выпуска по труду и капиталу. Предельные
нормы замещения факторов производства.
Производная сложной функции. Производная по направлению и
градиент.
Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые
условия локального экстремума. Достаточное условие для случая двух
независимых переменных.

17
Условный экстремум. Метод подстановки. Метод множителей
Лагранжа. Задача потребительского выбора, экономический смысл
множителей Лагранжа.
Глобальный экстремум. Минимизация затрат и максимизация
прибыли многопродуктовой фирмы.
Кратные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному.
При рассмотрении этой темы достаточно ограничиться рассмотрением функции двух переменных. Для успешного усвоения этого раздела рекомендуется использовать метод аналогии с функциями одной переменной, хотя с увеличением числа переменных возникают существенные качественные отличия. Область определения функции двух переменных изображается множеством точек плоскости, а график – некоторой поверхностью в трехмерном пространстве.
В определении частной производной функции по одной из переменных используется понятие частного приращения, а в остальном оно сходно с определением производной функции одной переменной. Обратите внимание на способы обозначения частных производных. Техника дифференцирования функции двух (нескольких) переменных использует те же правила и приемы, которые применялись при нахождении производных функций одной переменной.
Для экстремума функции двух переменных формулируется определение и необходимое и достаточное условия его существования.
Задачи по теме для самостоятельного решения
1. Найти частные производные первого и второго порядка для функции
2 2
(
)
3 2
4 11 8
,
.
f x y
x
xy
y
x
y






2.Найти полный дифференциал функции


2 2
(
)
ln
,
.
f x y
x
x
y



3. Найти полный дифференциал функции (
)
,
.
y
f x y
x


18 4. Вычислить приближенно 1,05 2,1 5. Найти производную функции
2 2
(
)
,
f x y
x
y


в точке М(1, 1) в направлении вектора


3 4
,
.
l


6. Найти производную функции


2 2
(
)
ln
,
f x y
x
y


в точке М(3, 4) в направлении градиента функции (
)
,
.
f x y
7. Найти экстремум функции
2 2
(
)
3 2
4 11 8
,
.
f x y
x
xy
y
x
y






8. Найти экстремум функции
2 2
(
)
4 5
,
.
f x y
xy
x
y
x
y



 

9. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:
i
x
2 4
5 6
9
i
y
5,5 6
6,5 7
7,5
В результате их выравнивания получена функция
2
y
x


Используя метод наименьших квадратов, аппроксимируйте эти данные линейной зависимостью
b
ax
y


(найти параметры а и b). Выясните, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделайте чертеж.
Тема 6. Дифференциальные уравнения
Социально-экономические задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям. Общее решение дифференциального уравнения. Частные
решения дифференциального уравнения. Задача Коши.
Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
первого порядка. Линейное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли.
Линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами. Устойчивость решения. Критерий устойчивости.

19
Различные вопросы математики, естествознания, экономики приводят к необходимости решения уравнений, содержащих в качестве неизвестной не только некоторую функцию, но и ее производные до некоторого порядка.
Если искомая функция, входящая в уравнение, является функцией одного переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же искомая функция является функцией от нескольких переменных, то в дифференциальные уравнения входят частные производные, а уравнение называется дифференциальным в частных производных. Мы будем изучать только обыкновенные дифференциальные уравнения, а поэтому в дальнейшем для краткости будем говорить «дифференциальные уравнения».
Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией можно записать в виде:
F(x,y,y

,…y
(n)
)=0.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.
Примером применения дифференциальных уравнений первого порядка может служить следующее уравнение, возникающее при рассмотрении
задачи
о
построении
математической
модели
демографического процесса. Пусть y=y(t) – число жителей региона в момент времени t. Число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорционально численности населения с коэффициентами пропорциональности k
1
и k
2
соответственно. Дифференциальное уравнение, описывающее изменение численности населения имеет вид:
y'=(k
1
-k
2
)y.
Задачи по теме для самостоятельного решения
1. Найти частное решение дифференциального уравнения y

=x, удовлетворяющее условию y(2)=4.

20 2. Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка
y
y
x
 
3. Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка
(x
2
+1)dx=x

y

dy
4. Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка xy´=y ln(
x
y
).
5. Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка
x
y
xy
xe .
 

6. Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка
3 1
y
y
x .
x
 


7.
Решить дифференциальное уравнение
1-го порядка




2 2
1 4
0
x
y
y
.





Раздел 2. Лине
й
ная алгебра