5 вариант. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки

• Название: Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки
• Дата: 27.11.2022
• Размер: 1.17 Mb.
• Имя файла: 5 вариант.pdf
• Тип: Учебное пособие; #814341
• страница: 5 из 7

,
,
,
,
,
,
,




0 75 0 25 0 25 0 75 4
3 0 004 0 25 4
x
x
x
x















,
,
,
,
,
,






0 25 0 25 0 75 0 75 4
3 4
4 0 00001 0 00001 4
4
x
x
x
x
x
x
x












,
,
,
,
,
,


0 25 0 75 1
0 00004 4
x
x
x





,
,
,
.
Для нахождения точек экстремума функции, приравниваем полученную производную к нулю. Решая полученное уравнение, находим
1
x

.
Убедимся, что
1
x

является точкой максимума функции. Для этого исследуем знак производной функции правее и левее этой точки. Знак производной определяется числителем дроби


0 25 0 75 1
4
x
x
x



,
,
. Нетрудно заметить, что если
1
x

дробь положительна, а при
1
x

дробь будет

42 отрицательной. Следовательно, при переходе через точку
1
x

производная меняет знак с плюса на минус, что свидетельствует о том, что точка
1
x

является точкой максимума (Рис.2).
Рис.2.
Таким образом, прирост объема выпускаемой продукции будет максимальным, если на зарплату вновь принятых сотрудников будет выделено 1 млн. руб., а на покупку нового оборудования
4 4 1 3
y
x
    
млн. руб. ►
6. Исследовать функцию
2 1
x
e
y
x



и построить ее график.
Решение. Воспользуемся общей схемой исследования функции и построения ее графика.
1. Находим область определения функции. Функция, стоящая в числителе определена для любого аргумента х, а знаменатель дроби должен быть отличен от нуля. Следовательно, область определения функции будет
1 0,
x
 
то есть
1.
x
 
Таким образом,

 

; 1 1;
x
      
Функция является функцией общего вида в силу того, что
 




 
2 2
1 1
x
x
e
e
y
x
y x
x
x
 
 
 

 
 
 
В силу области определения функции она может иметь вертикальную асимптоту. Выясним характер поведения функции слева и справа от точки
1.
x
 
Для этого найдем пределы функции при стремлении
х к точке
1

справа и слева:
2 1 2 1 0
;
1 0
x
x
e
e
lim
x

 
 



 






2 1 2 1 0 1
0
x
x
e
e
lim
.
x

 
 



 






х
4 1
0
u’(х)
u(х)
+
–
maх

43
Так как пределы равны бесконечности, то делаем вывод о том, что прямая
1
x
 
является вертикальной асимптотой.
Исследуем поведение функции на бесконечности. Будем исходить из того, что на плюс бесконечности и на минус бесконечности функция
x
y
e ,

стоящая в числителе, график которой представлен на рисунке 3, имеет разный характер поведения.
Рис.3.
Действительно,
0;
x
x
lim e


x
x
lim e
.

 
Найдем предел функции на плюс и на минус бесконечности:
2 0
0;
1
x
x
e
lim
x












 


2 2
2 1
1 1
x
x
x
x
x
x
e
e
e
lim
lim
lim
.
x
x













  








При вычислении последнего предела воспользовались правилом
Лопиталя раскрытия неопределенности вида
.

 
 

 
Так как при
x
 
получили конечное значение предела функции, то это означает, что график функции имеет левую горизонтальную асимптоту
0
y
.


44
Найдѐм точки экстремума и интервалы монотонности функции.
Сначала найдѐм критические точки функции, используя необходимое условие существования экстремума функции в точке (ищем те значения x, при которых производная функции или равна нулю, или не существует).
 












2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
1 1
1
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
e
x
e
e
e
x
y
x
x
x
x









  
 
  




 











Приравнивая числитель к нулю, получаем, что производная равна нулю при x=0. Используя достаточное условие существования экстремума функции в точке, выясним, достигает ли функция экстремума в критической точке.
Рис.4.
Производная функции отрицательна на интервале


;0
x
 
и, следовательно, функция на данном интервале является монотонно убывающей. Производная функции положительна на интервале


0;
x

 
и, следовательно, функция на данном интервале является возрастающей. Точка х=0 является точкой минимума функции. Значение функции в этой точке равно
 
0 2 2
2 1
0 0,137.
0 1
e
y
e
e







Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
Точка пересечения с осью ординат находится, задавая x=0. Эта точка была найдена ранее (является точкой минимума функции). Точки пересечения с осью абсцисс находится из уравнения y(x)=0. Уравнение
2 0
1
x
e
x



корней не имеет, ибо числитель всегда отличен от нуля и, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.
Строим график. Асимптоты изображаем пунктирными линиями
(Рис.5).
х
0
у’(х)
у(х)
+
–
min

45
Рис.5. ►
7. На предприятии внедряется новая технология производства, при которой изменение производительности труда одного рабочего в течение восьмичасовой рабочей смены описывается функцией
 
2 54 6 ,
p t
t
t


где t
– время в часах, 0 8.
t
 
Определить среднюю производительность труда одного рабочего за смену. Найти функцию объема продукции, производимой одним рабочим за время t. Определить среднюю производительность труда одного рабочего за смену. Найти объем выпуска продукции за месяц
(принять, что в месяце 24 рабочих дня) бригадой, состоящей из 5 человек.
Решение. Согласно экономическому смыслу производной, функция производительности труда является производной от функции объема выпускаемой продукции. На основании этого можно сказать, что для вычисления объема выпускаемой продукции одним рабочим за время t, достаточно найти интеграл от функции его производительности труда, то есть
 
 


2 3
2 0
0 0
54 6
54 6
2 3
t
t
t
t
t
u t
p t dt
t
t
dt







 









2 3
2 3
0 27 2
27 2
t
t
t
t
t




.

46
Таким образом, объем выпускаемой продукции за время
 
0 8
t

,
часов одним рабочим определяется функцией
 
2 3
27 2
u t
t
t


.
Средняя производительность труда одного рабочего за время
 
0 8
t

,
часов определяется соотношением:
 
 


2 3
2 0
1 1
27 2
27 2
t
u t
p t dt
t
t
t
t
t
t

 




.
В частности, если t=8, получим, что
 
2 8
27 8 2 8 88
u

  

.
Для определения объема выпуска продукции за месяц бригадой, состоящей из 5 человек, сначала вычислим объем продукции, выпускаемой одним рабочим за смену. Учитывая, что рабочая смена длится 8 часов, подставим в выражение для функции значение t=8. Получим, что
 


2 3
2 8
27 8 2 8 8
27 2 8 64 11 704
u

   

 

 
. Тогда искомый объем выпуска продукции будет равен 24 5 704 84480
 

. ►
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции y ln x.

Решение. Сначала сделаем схематичный чертѐж. Построим график функции y ln x.

Оси координат и график функции ограничивают заштрихованную фигуру. Следует отметить, что эта фигура является неограниченной снизу (Рис.6).
х
у
0 1

47
Рис.6.
Искомую площадь вычислим при помощи определѐнного интеграла, в котором подынтегральная функция представляет собой разность между уравнениями верхней границей и нижней линией, ограничивающих эту площадь. Сверху площадь ограничивается линией y ln x,

а снизу – графиком функции y ln x.

Пределы интегрирования будут соответственно от 0 до 1.


1 1
0 0
S
0 ln ln
x dx
x dx


 


кв. ед
Так как при х=0 функция y ln x

не определена, то мы имеем дело с несобственным интегралом второго рода. Вычислим его или покажем, что он не существует (расходится).
1 1
1 0
0 0
S
ln lim ln lim ln
a
a
a
a
x dx
x dx
x dx


 
 
 



Для вычисления последнего интеграла будем использовать формулу интегрирования по частям:
       
   
b
b
b
a
a
a
u x dv x
u x v x
v x du x




Положив, что
 
ln
u x
x

и
 
dv x
dx

Тогда
 
 
ln ln
dx
du x
d
x
x dx
x




и
 
v x
x

Подставим полученные выражения в наш интеграл, получим:
1 1
1 0
0
S
lim ln lim ln
a
a
a
a
a
dx
x dx
x
x
x
x




 
 











1 1
1 0
0 0
lim 1 ln1
ln lim ln lim ln
a
a
a
a
a
a
a
a
dx
a
a
dx
a
a
x







 

 

 
 
















48




0 0
lim ln
1
lim ln
1.
a
a
a
a
a
a
a




 



Последний предел вычислим следующим образом. Преобразуем неопределенность вида


0
 
к неопределенности вида
,

 
 

 
а затем воспользуемся правилом Лопиталя. Получим:




 
0 0
0
ln ln lim ln
0
lim lim
1 /
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a






  

   




  



  
 
 
 
2 0
0 0
2 1
lim lim lim
0.
1
a
a
a
a
a
a
a
a




 
 


Таким образом, площадь неограниченной снизу фигуры будет равна
S 1 0 1
  
кв. ед.
►

49
Варианты контрольной работы
Вариант № 1
(для студентов, номера студенческих билетов
которых оканчиваются цифрой 1)
1. Решить систему линейных уравнений
1 2
1 3
2 3
2 3
0 2
1
x
x
x
x
x
x












,
,
. по формулам Крамера и методом Гаусса. Сравнить полученные результаты.
2. Вычислить предел функции
2 2
10 2
7 2
x
x
x
x
lim
.
x
x


 


3. Найти коэффициент эластичности
x
x
E
y
y


в точке
0
x

1, если функция y x
( )определяется формулой:
2 3
1
x
y
e



. Является ли в этой точке функция эластичной.
4. Издержки производства С(х) (тыс.руб.) зависят от объема выпускаемой продукции х (ед.) как
3 2
120 270 200
C x
x
x
x




( )
.
Доход от реализации единицы продукции равен 150. Найти оптимальное для производства количество выпускаемой продукции. Вычислить при этом значении средние и предельные издержки производства.
5. Предприниматель решил открыть новую фирму по производству канцелярской продукции. При этом он готов на развитие этой фирмы выделить 8 млн. руб. Известно, что если на аренду помещения и приобретение нового оборудования выделить х млн. руб., а на зарплату сотрудников у млн. руб., то прирост объема выпускаемой продукции составит
0 25 0 75 0 002
U x y
x
y

,
,
( , )
,
. Как следует распределить выделяемые

50 денежные средства, чтобы прирост объема выпускаемой продукции был максимальным?
6. Исследовать функцию
1 3
2


x
x
y
и построить ее график.
7. На предприятии внедряется новая технология производства, при которой изменение производительности труда одного рабочего в течение восьмичасовой рабочей смены описывается функцией
2 48 4
p t
t
t


( )
, где t
– время в часах, 0 8
t
 
. Определить среднюю производительность труда одного рабочего за смену. Найти функцию объема продукции, производимой одним рабочим за время t. Найти объем выпуска продукции за месяц
(принять, что в месяце 24 рабочих дня) бригадой, состоящей из 3 человек.
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции y xln x.


51
Вариант № 2
(для студентов, номера студенческих билетов
которых оканчиваются цифрой 2)
1. Решить систему линейных уравнений
1 2
3 1
3 1
2 3
2 7
1 3
2 7
x
x
x
,
x
x
,
x
x
x
.













по формулам Крамера и методом Гаусса. Сравнить полученные результаты.
2. Вычислить предел функции
2 2
5 8
7 6
x
lim(
x
x
x
x
)


 


3. Найти коэффициент эластичности
x
x
E
y
y


в точке
0
x

2, если функция y x
( )определяется формулой:
2 2
5 1
y
ln ( x
)


. Является ли в этой точке функция эластичной.
4. Издержки производства С(х) (тыс.руб.) зависят от объема выпускаемой продукции х (ед.) как
3 2
30 240 500
C( x )
x
x
x
.




Доход от реализации единицы продукции равен 450. Найти оптимальное для производства количество выпускаемой продукции. Вычислить при этом значении средние и предельные издержки производства.
5. Предприниматель решил создать новую ферму по производству сельскохозяйственной продукции. При этом он готов на развитие этой фермы выделить 5 млн. руб. Известно, что если на аренду земли, помещения и приобретение нового оборудования выделить х млн. руб., а на зарплату сотрудников у млн. руб., то прирост объема выпускаемой продукции составит
5 4
5 1
002
,
0
)
,
(
y
x
y
x
U

. Как следует распределить выделяемые

52 денежные средства, чтобы прирост объема выпускаемой продукции был максимальным?
6. Исследовать функцию


3 3
x
y
x e



и построить ее график.
7. Изменение производительности труда одного рабочего в течение шестичасовой рабочей смены в связи с переоборудованием цеха описывается функцией
2 36 4
p( t )
t
t


, где t – время в часах,
0 6
t
 
Определить среднюю производительность труда одного рабочего за смену.
Найти функцию объема продукции, производимой одним рабочим за время t. Найти объем выпуска продукции за месяц (принять, что в месяце 24 рабочих дня) бригадой, состоящей из 8 человек.
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции


2 24 2
y
.
x



53