5 вариант. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки

• Название: Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки
• Дата: 27.11.2022
• Размер: 1.17 Mb.
• Имя файла: 5 вариант.pdf
• Тип: Учебное пособие; #814341
• страница: 1 из 7

Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Департамент анализа данных, принятия решений и
финансовых технологий
А.В. Потемкин, М.Н. Фридман
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие для студентов,
обучающихся по направлениям подготовки
38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент»
заочная ускоренная форма обучения
Утверждено на заседании Совета департамента
анализа данных, принятия решений и финансовых технологий
(протокол № 2 от 19 сентября 2017 г.)
Москва 2017

1
УДК
330.4(072
ББК 22.18я73
А46
Рецензент:
И.М. Эйсымонт, к.ф.-м.н., доцент департамента анализа данных,
принятия решений и финансовых технологий.
А.В. Потемкин, М.Н. Фридман. Математика. Учебное пособие для
студентов, обучающихся по направлениям подготовки 38.03.01 «Экономика» и
38.03.02 «Менеджмент», заочная ускоренная форма обучения. ‒ М.: Финансовый университет, Департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий, 2017, 74 с.
В пособии приведен обзор основных понятий и положений дисциплины
«Математика», даны методические рекомендации по ее изучению, выделены типовые задачи и приведены практико-ориентированные (экономические) задачи с решениями, представлены контрольные вопросы для подготовки к экзамену и задачи для самоподготовки по данной дисциплине, приведены варианты контрольной работы (с методическими указаниями по их выполнению и решением демонстрационного варианта), примеры тестовых заданий (с решениями и методическими указаниями по компьютерному тестированию) для студентов первого курса бакалавриата, обучающихся по заочной ускоренной форме обучения по направлениям
«Экономика» и «Менеджмент».
УДК
330.4(072)
ББК
22.18я73
Учебное издание
А.В. Потемкин, М.Н. Фридман
Математика
Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 38.03.01
«Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент», заочная ускоренная форма обучения.
Компьютерный набор, верстка:
А.В. Потемкин
Формат 60x90/16. ГарнитураTimes New Roman
©
©
А.В.Потемкин, 2017
М.Н. Фридман, 2017
©
Финансовый университет, 2017

2
Содержание
Введение……………………………………………………………………….3
Содержание разделов дисциплины …………………………………………5
Раздел 1 – Математический анализ ………………………………………….5
Раздел 2 – Линейная алгебра ………………………………………………..20
Методические указания по выполнению контрольных работ…………….31
Демонстрационный вариант контрольной работы ………………………..34
Варианты контрольной работы………………………………………………48
Теоретические вопросы для подготовки к экзамену ………………………68
Литература………………………………………………………………….…73
Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети
«Интернет»…………………………………………………………………….74

3
Введение
Настоящее пособие подготовлено для студентов первого курса бакалавриата, обучающихся по направлениям подготовки 38.03.01
«Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент», заочная ускоренная форма обучения. Целью данного пособия является оказание помощи студентам в организации занятий при изучении дисциплины «Математиках», подготовке к выполнению контрольной работы, предусмотренной в первом семестре в соответствии с учебными планами направлений заочной ускоренной формы обучения, а также успешной сдачи экзамена по дисциплине.
Изучение дисциплины «Математика» осуществляется на первом курсе в первом семестре обучения.
Организация самостоятельной работы студентов основывается на учебно-тематическом плане изучения дисциплины. В этом плане указана тематика лекций, практических занятий, вопросы и задания для самостоятельного изучения.
Лекционные занятия проходят в формате видеолекций. По видеолекциям для успешного освоения материала желательно составлять конспект.
При подготовке к практическому занятию необходимо повторить или, если это требуется, изучить соответствующий теоретический материал. Во время занятия нужно точно записывать формулировки решаемых задач, вопросы, указания преподавателя к решению и разбираемые решения. После занятий необходимо просмотреть записанные решения и восстановить в решениях имеющиеся пробелы. В случае затруднений отметить соответствующие задания и обратиться за консультацией к преподавателю.
Практические занятия проходят, как правило, в интерактивной форме и преподаватель учитывает активность студентов, направленную на решение предложенных задач, и в поиске ответов на вопросы. Не следует бояться дать неверный ответ или допустить иную ошибку: исправление и анализ ошибок

4 в режиме общения с преподавателем и сокурсниками в ходе практического занятия способствуют освоению учебного материала и предупреждают появление ошибок в дальнейшем.
Самостоятельная работа студентов включает в себя выполнение различного рода заданий, которые ориентированы на более глубокое усвоение материала изучаемой дисциплины. К выполнению заданий для самостоятельной работы предъявляются следующие требования: задания должны выполняться самостоятельно и представляться в установленный срок, а также соответствовать установленным требованиям по оформлению.
Домашняя контрольная работа являются одной из форм текущего контроля самостоятельной работы студентов по дисциплине «Математика».
Каждый вариант домашней контрольной работы содержит 8 заданий, выполняя которые студент должен продемонстрировать не только умение решать типовые задачи, но и проводить типовые расчеты, анализировать их, строить графики, а также применять математические знания к решению экономических задач.

5
Содержание разделов дисциплины
Раздел 1. Математический анализ
Тема 1. Числовые множества и функции
Элементы
теории
множеств.
Кванторы.
Операции
над
множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Конечные,
счетные и несчетные множества. Ограниченные и неограниченные
множества.
Множества натуральных, целых, рациональных и действительных
чисел. Комплексные числа и действия над ними. Модуль и аргумент
комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи
комплексных чисел.
Понятие функции. Числовая функция одной переменной. Способы
задания функций. График функции. Свойства функций одной переменной:
четность и нечетность, монотонность, выпуклость, периодичность,
ограниченность.
Функциональные зависимости в экономике: функции полезности,
однофакторные производственные функции, функции спроса и предложения.
Функции средних издержек и связь между ними (ATC = AVC + AFC).
Изучение темы следует начать с основных понятий теории множеств, введения операций над множествами и в дальнейшем в переходе к рассмотрению задач прикладного характера.
Рассмотреть расширение понятия числовых множеств, то есть переход от множества действительных чисел к множеству комплексных чисел.
Далее нужно четко усвоить важнейшее понятие математического анализа – функции, уметь находить область ее определения, знать способы задания функции: аналитический, графический, табличный, словесный.
В курсе дисциплины «Математика» рассматриваются в основном элементарные функции. Среди основных элементарных функций необходимо

6 знать свойства и строить графики следующих основных функций, таких как
y = C (постоянная), y = x
n
(степенная), y = a
x
(показательная), y = log
a
x
(логарифмическая), sin
y
x

, cos
y
x

,
y
tgx

,
y
ctgx

(тригонометрические функции), arcsin
y
x

, arccos
y
x

, arc
y
tgx

, arcc
y
tgx

(обратные тригонометрические функции), а далее необходимо усвоить понятие сложной функции (функции от функции).
Задачи по теме для самостоятельного решения
1. Заданы два множества




1;3;5;7 ,
1;2;4;5;6;8
A
B


. Найти
,
,
\
,
\
A
B A
B A B B A


. Определить мощности этих множеств.
2. Пусть


[ 3;
),
5;4 .
A
B
  
 
Выполнить следующие операции над множествами:
,
,
\ ,
\
A
B
A
B
A B
B A


3. Даны множества чисел:


2 3 5 6
A
, , ,

,


5 6 7 8
В
, , ,

,


3 4 6 8
С
, , ,

и универсальное множество


2 3 4 5 6 7 8 9
U
, , , , , , ,

. Найти множества чисел

 

D
С
В
В\ А
А С



 
,




E
А C
С
В




Являются ли множества Е и D равными? эквивалентными? включающими одно в другое
(
E
D

или
D
E

)? пересекающимися, но не включающими одно в другое? непересекающимися (



E
D
)?
4. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?
5. Из 100 абитуриентов 33 сдают ЕГЭ по математике, 23 – по информатике, 20 – по физике, 12 сдают экзамен и по математике и по информатике, 16 – по математике и физике, 10 – по информатике и физике, 7
–по математике, физике и информатике вместе. Сколько абитуриентов не сдают ни одного уз указанных предметов?
6. Для комплексных чисел
1
z
2 5i
 
и
2
z
6 8i
  
найти:

7 а)
1 2
z
z ;

б)
1 2
z
z ;

в)
1 2
z
z ;

г)
1 2
z
.
z
7. Комплексные числа
i
z


1
и
i
z
3 1
2


представить в тригонометрической форме и найти: а)
1 2
z
z ;

б)
1 2
z
;
z
в)
5 2
z ; г)
5 2
z .
8. Вычислить: а)





3 2
4 4
3
i
i
;
i



б)


1 9
4
i

9. Решить уравнения: а)
;
0 9
2


x
б)
0 2
2



x
x
10. Построить графики функций: а)


2 2
1 ;
y
x


б)


2 2
3 ;
y
log
x


в)
2 2
;
3
y
sin
x









г)
2 2
3 ;
y
x
x
  

д)
2 3
2
y
x
x
.



Тема 2. Предел и непрерывность
Числовые последовательности, предел последовательности и его
свойства, монотонные, ограниченные последовательности. Геометрическая
и арифметические прогрессии. Простые и сложные проценты. Наращение и
дисконтирование. Непрерывно начисление процентов.
Паутинообразная модель рынка одного товара. Последовательность
цен и ее сходимость. Понятие о числовых рядах. Сходимость ряда. Сумма
ряда. Вечная рента.
Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние
пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Первый и второй
замечательные пределы. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых
функций. Эквивалентные бесконечно малые и их использование при
вычислении пределов.

8
Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства
непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация. Примеры
непрерывных и разрывных функций в экономике: функция издержек,
зависимость налоговой ставки от дохода (случай пропорционального и
прогрессивного налога). Асимптоты графика функции. Асимптотическое
поведение функций спроса Торнквиста.
Важнейшими понятиями темы являются понятия предела и непрерывности. Понятие предела следует рассмотреть сначала для числовой последовательности
 
n
n
lim a

, а затем перейти к рассмотрению предела функции на бесконечности
 


x
lim f x

и в точке
 


0
x
x
lim f x

. Для освоения этих понятий целесообразно использовать их геометрическую интерпретацию.
Необходимо знать первый замечательный предел
(
) и второй замечательный предел в двух формах записи:
1 1
x
x
lim
e
x









и


1 0
1
/ y
y
lim
y
e



При вычислении пределов нужно освоить методы раскрытия неопределенностей вида




0 0
,






,




0
,





,
 

1
, в том числе с использованием замечательных пределов и эквивалентных бесконечно малых величин.
Необходимо с помощью пределов уметь находить уравнения асимптот кривых (горизонтальных, вертикальных, наклонных), к которым приближаются кривые при неограниченном удалении от начала координат.
Уметь применять полученные знания для нахождения асимптот различных функции спроса Торнквиста.
Также рассматриваются две задачи финансового анализа, такие как наращение и дисконтирование.

9
Суть задачи наращения состоит в присоединении к первоначальной денежной сумме
0
S
процентов в результате какой-либо финансовой операции
(например, процентов на банковский вклад). При этом размер наращенной суммы S
n через n лет при годовой ставке i =
(р% в год) находится по формулам простых, сложных и непрерывных процентов соответственно
0
(1
)
n
S
S
ni


,
0
(1
)
n
n
S
S
i


, S
n
=S
0
Дисконтирование представляет обратную задачу и состоит в нахождении первоначальной, или современной, суммы
0
S
по известной наращенной сумме S
n
.Соответствующие формулы для простых, сложных и непрерывных процентов:
0 1
n
S
S
ni


,
0
(1
)
n
n
S
S
i


, S
0
=S
n
.
Понятие непрерывности функции (в точке, на множестве
(промежутке)) является более простым, чем предел, так как оно выражается непрерывностью графика при прохождении данной точки, данного промежутка (без отрыва карандаша от листа бумаги). Наряду с интуитивным представлением надо знать два определения непрерывности функции в точке
(основанных на равенстве предела функции в точке ее значению в этой точке и на стремлении приращения функции к нулю при стремлении приращения аргумента к нулю) и на промежутке. Усвоить свойства непрерывных функций, а также то, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке области определения и может иметь разрыв лишь на границах области определения. Говоря о точках разрыва функции, надо разделять точки разрыва первого рода, устранимого разрыва и разрыва второго рода.
Задачи по теме для самостоятельного решения
1. Задана числовая последовательность следующего вида:
5 7 9 11 3
2 3 4 5
,
,
,
,
, ... .
Записать ее общий член.

10 2. Найти предел последовательности, общий член которой имеет вид:
2 2
3 2
4 2
5 7
.
n
n
n
u
n
n





3. Найти предел последовательности, общий член которой имеет вид:
2 5
1
cos
.
n
n
n
u
n



4. Найти предел:
2 4
lim 1
.
n
x
n








5. Найти предел:
3 2
3
lim
2 1
.
n
x
n
n









6. Вычислить пределы: а)
2 2
5 4
lim
;
2 3
2
x
x
x
x
x





б)
2
lim (
4
);
x
x
x
x



в)
2 2
lim (
5 9
6);
x
x
x
x
x





г)
2 2
2 4
lim
;
3 2
x
x
x
x




д)
0 9
3
lim
4 2
x
x
x
.

 
 
7. Вклад в размере 10000 руб. размещен на депозитном счете в банке под 5% годовых. Определить размер вклада через пять лет, если начисления процентов производится: а) один раз в год; б) раз в полгода; в) ежеквартально; г) ежемесячно; д) ежедневно (принять, что в году 360 дней); е) непрерывно.
8. Банк выдал кредит 5 млн. руб. на десять лет под 20% годовых. а)
Найти сумму долга (с процентами), которую необходимо возвратить банку; б) Каким должен быть выданный кредит, чтобы через десять лет при той же процентной ставке сумма долга (с процентами) составила 8 млн. руб.