5 вариант. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки
 Скачать 1.17 Mb.
|
Арифметические векторы и их использование в экономике. Геометрическая интерпретация векторов. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Примеры скалярного произведения в экономике. Длина вектора. Угол между векторами. Матрицы и их виды. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матрицы. Произведение матриц. Свойства операций над матрицами. Элементарные преобразования над строками и столбцами матриц. Теорема о приведении произвольной матрицы к ступенчатой форме. Ранг матрицы. Невырожденность квадратных матриц. Обратная матрица. Свойства обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Определитель квадратной матрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Свойства определителя. Критерий невырожденности матрицы. Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований. 21 Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел, расположенных в т строках и п столбцах. Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее порядок, уметь выполнять транспонирование матриц, алгебраические операции над ними (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение матриц). Следует четко уяснить, что если матрица – это таблица чисел, то определитель квадратной матрицы – это число, характеризующее эту матрицу и вычисляемое по определенным правилам. Необходимо уметь по этим правилам вычислять определители второго и третьего порядков. При изучении свойств определителей особое внимание следует обратить на их свойства и теорему Лапласа о разложении определителя по строке или столбцу. Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц, уметь их вычислять. Необходимо представлять, что такое ранг матрицы и как он определяется. В общем случае для определения ранга матрицы рекомендуется использовать метод элементарных преобразований. Важное значение имеет теорема о ранге матрицы, из которой следует, что ранг матрицы есть максимальное число ее линейно независимых строк (или столбцов), через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы). Задачи по теме для самостоятельного решения 1. Вычислить произведения матриц и или обосновать, что произведение не определено, если ( ), ( ) 2. Вычислить определители матриц: а) 1 2 ; 3 4 A б) 3 2 5 0 2 2 . 1 2 3 A 22 4. Вычислить определитель 1 1 0 0 0 2 1 1 1 1 0 1 2 1 1 3 5. Найти матрицу А -1 если 1 0 5 1 2 0 4 0 1 A . 6. Решите матричное уравнение 1 4 2 3 1 5 3 5 X Тема 8. Системы линейных уравнений и неравенств Система линейных алгебраических уравнений. Однородная и неоднородная система линейных уравнений. Определение решения системы линейных уравнений. Эквивалентность систем линейных уравнений. Совместные и определенные системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Общее решение системы линейных уравнений. Частные решения системы линейных уравнений. Базисные решения системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Общие решения однородной и неоднородной систем, связь между ними. Прямые на плоскости. Прямые и плоскости в пространстве. Системы линейных алгебраических неравенств и их использование в экономике: бюджетные множества, ограничения по использованию ресурсов. Поиск неотрицательных базисных решений системы линейных уравнений. Симплексные преобразования. 23 При изучении материала темы следует освоить матричную форму записи заданной системы n линейных уравнений с n переменными и уметь переходить к этой форме от общего вида системы и наоборот. Необходимо знать и уметь объяснить, какие системы уравнений называются совместными (определенными и неопределенными) и несовместными. Надо твердо уяснить, что вопрос о разрешимости системы n линейных уравнений с n переменными устанавливается с помощью теоремы Крамера. Решаются же такие системы различными способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Практический интерес в приложениях представляет случай, когда число m уравнений системы меньше числа n переменных n m Рассмотрение таких систем приводит к разбиению переменных на базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные и выделению из общего числа решений системы базисных решений, в которых все свободные (неосновные) переменные равны нулю. Следует отметить, что матричное уравнение B AX , к которому сводится система линейных уравнений (А – матрица системы, Х – неизвестный столбец переменных, В – столбец свободных членов), может рассматриваться и в случае, когда Х – неизвестная матрица. Вообще матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х имеют вид B AX (1), B XA (2), B AXC (3), где А, В, С, Х – матрицы таких размеров, что все используемые операции возможны, а левые и правые части этих матричных уравнений представляют матрицы одинаковых размеров. Задачи по теме для самостоятельного решения 1. Используя теорему Крамера, решить систему линейных уравнений: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 8 ; 2 7 ; 2 2 1. x x x x x x x x x 24 2. С помощью обратной матрицы решить систему линейных уравнений: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 4 ; 2 2 ; 5 3 3 2 . x x x x x x x x x 3. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 2 7 5 3 2 , , . x x x x x x x x x 4. Найти общее и базисное решения системы: 3 3 , 1 2 3 2 1 3 2 1 x x x x x x 5. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 0 2 4 5 10 0 , , . x x x x x x x x x x x x 6. Найти ранг матрицы: 2 3 5 3 2 A = 3 4 3 1 3 . 5 6 1 3 5 Тема 9. Линейное пространство Линейное (векторное) пространство. Линейная зависимость (независимость) системы векторов. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе. Преобразование координат вектора при замене базиса. В данной теме обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства, являющегося основным объектом линейной алгебры. Множества всех плоских и пространственных векторов, для 25 которых определены операции сложения и умножения, а также умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных (линейных) пространств. Рассматривается понятие базиса и размерности линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе. Преобразование координат вектора при замене базиса. Задачи по теме для самостоятельного решения 1. Даны четыре вектора 1 a , 2 a , 3 a и 4 a в некотором базисе. Покажите, что векторы 1 a , 2 a , 3 a образуют базис, и найдите координаты вектора 4 a в этом базисе, если 1 a =(3;4; – 3); 2 a =(2;1; – 4); 3 a =(– 5;5;0); 4 a =(8; – 16;17). 2.. При каких значениях векторы (1; 2;3), ( 1; 2;0), ( ; 2;3) a b c образуют базис пространства 3 R ? 3. Найдите ранг системы векторов 1 1 1 0 2 1 a ( ; ; ; ; ; ) , 0 0 1 2 0 1 b ( ; ; ; ; ; ) , 0 0 1 2 1 1 ( ; ; ; ; ; ) c и 2 3 1 0 1 0 d ( ; ; ; ; ; ) Тема 10. Линейные преобразования и квадратичные формы Линейные преобразования пространства R n (линейные операторы). Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Собственные значения матрицы. Характеристический многочлен матрицы. Собственные векторы матрицы. Линейная модель обмена (модель международной торговли). Симметрические матрицы и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к нормальному и каноническому виду. Кривые второго порядка. Нужно четко знать понятие базиса n-мерного пространства, представляющего совокупность его n линейно независимых векторов. При 26 этом любой вектор линейного пространства может быть представлен единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. Необходимо представлять, что такое линейный оператор и возможность его представления в матричной форме. Результатом действие линейного оператора на вектор привод к другому вектору. Для решения задач надо уметь находить собственные числа и собственные векторы матриц, используя характеристическое уравнение. При этом, надо понимать, что действие линейного оператора на собственный вектор приводит к растяжению или сжатию исходного вектора и, возможно к изменеию его направления на противоположное. Экономическим приложением матричного исчисления является рассмотрение задач, связанных с моделью Леонтьева международной торговли. Задачи по теме для самостоятельного решения 1. Линейный оператор A задан свои действием на базисе 1 2 e ,e пространства 2 R : 1 1 2 3 6 A e e e , 2 1 2 4 A e e e . Найти образ вектора 1 2 4 v e e при действии оператора A . 2. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора оператора , A заданного матрицей 9 2 2 6 А 3. Найдите собственные значения матрицы: 9 3 0 A = 0 1 0 6 6 4 4. При каком значении параметра вектор } ; 0 ; 1 { q является собственным вектором линейного оператора , A заданного матрицей 27 4 4 6 3 2 3 3 4 5 A . Найдите собственное значение оператора , A соответствующее данному вектору. 5. Предприятие производит продукцию трех видов (Р 1 , Р 2 , Р 3 ). При этом используется сырье трех типов (S 1 , S 2 , S 3 ). Нормы расхода сырья на единицу продукции каждого вида, себестоимость одной условной единицы каждого вида сырья и стоимость его доставки приведены в таблице: Показатель Норма расхода сырья на единицу продукции, у.е. S 1 S 2 S 3 Вид продукции Р 1 4 5 2 Р 2 3 1 2 Р 3 1 3 5 Себестоимость единицы сырья, ден. ед. 2 5 3 Стоимость доставки сырья, ден. ед. 3 5 4 Дневной план выпуска продукции составляет 100 единиц продукции Р 1 , 75 единиц продукции Р 2 и 50 единиц продукции Р 3 . Определить общие затраты предприятия за день работы. 6. Структурная матрица торговли двух стран имеет следующий вид: 3 1 5 3 2 2 5 3 . A Каким должно быть соотношение национальных доходов двух стран для сбалансированной торговли? Тема 11. Линейное программирование 28 Примеры линейных оптимизационных моделей в экономике. Линейная производственная задача. Постановка и различные формы записи задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. Каноническая форма задачи линейного программирования. Допустимые решения. Свойства области допустимых решений. Алгоритм симплексного метода линейного программирования. Симплексный метод как метод направленного перебора базисных допустимых решений. Критерий оптимальности. Экономическая интерпретация задачи линейного программирования, симплексного метода, симплексных оценок. Симметричная пара двойственных задач. Экономическая интерпретация двойственной задачи. Основное неравенство теории двойственности, его экономическая интерпретация. Малая теорема двойственности. Достаточное условие оптимальности пары взаимно двойственных задач. Первая и вторая основные теоремы двойственности, их геометрическая и экономическая интерпретация. Несимметричная пара двойственных задач. Третья основная теорема двойственности, ее геометрическая и экономическая интерпретация. Область устойчивости двойственных оценок. Транспортная задача. Задача, двойственная к транспортной. Замкнутая транспортная задача и ее решение методом потенциалов. Экономическая интерпретация оценок клеток, потенциалов поставщиков и потребителей. Вырожденная транспортная задача. Фиктивные поставки. Открытая транспортная задача, фиктивные поставщики и потребители. Обязательные и запрещенные поставки. 29 Линейное программирование – область математики, позволяющая разрабатывать теорию и численные методы решения задач на экстремум функций нескольких переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. Для практического решения оптимизационных экономических задач в первую очередь необходимо уметь составить экономико-математическую модель задачи, то есть построить некоторую целевую функцию, записать уравнения или неравенства, которым должны удовлетворять введѐнные в задаче переменные. Транспортная задача определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции. Целевая функция в транспортной задаче представляет собой общие транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Ограничения подразделяются на две группы. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Задачи по теме для самостоятельного решения 1. Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок таблице. Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 30 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида. Ингредиенты Расход ингредиентов, т ингр./т краски Запас, т ингр./сутки Краска 1-го вида Краска 2-го вида А 1 2 6 В 2 1 8 Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным. Решить задачу двумя способами – графическим и симплексным методом. 2. Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах D и E. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно. Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в следующей таблице. D E A 80 215 B 100 108 C 62 68 Построить математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны. 31 |