5 вариант. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки

• Название: Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки
• Дата: 27.11.2022
• Размер: 1.17 Mb.
• Имя файла: 5 вариант.pdf
• Тип: Учебное пособие; #814341
• страница: 7 из 7

( )
,
. Доход от реализации единицы продукции равен 200. Найти оптимальное для производства количество выпускаемой продукции. Вычислить при этом значении средние и предельные издержки производства.
5. Предприниматель решил расширить свое производство женской обуви. Для этого он готов на выделить 3 млн. руб. Известно, что если на аренду помещения и приобретение нового оборудования выделить х млн. руб., а на зарплату сотрудников у млн. руб., то прирост объема выпускаемой продукции составит
3 2
3 1
003
,
0
)
,
(
y
x
y
x
U

. Как следует распределить выделяемые денежные средства, чтобы прирост объема выпускаемой продукции был максимальным?

66 6. Исследовать функцию
2 5
1
x
x
у
e



и построить ее график.
7. Изменение производительности каждого из однотипных филиалов завода, производящих одинаковую продукцию, в течение квартала (72 рабочих дня) в связи с испытаниями нового оборудования описывается функцией
3 2
20 300 3
t
p( t )
t
t



, где t – время в днях,
0 72
t
 
Определить среднюю производительность филиала за квартал. Найти функцию объема продукции, производимой одним филиалом за время t.
Найти объем выпуска продукции за квартал, в течение которого происходили испытания нового оборудования (72 рабочих дня), четырьмя однотипными филиалами.
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции


5 12 1
y
.
x



67
Вариант № 10
(для студентов, номера студенческих билетов
которых оканчиваются цифрой 10)
1. Решить систему линейных уравнений
1 2
3 1
3 1
2 3
6 2
3 5
3 4
7 2
3 6
x
x
x
,
x
x
,
x
x
x
.













по формулам Крамера и методом Гаусса. Сравнить полученные результаты.
2. Вычислить предел функции
2 2
2 2
6 2
7 6
x
lim(
x
x
x
x
)


 


3. Найти коэффициент эластичности
x
x
E
y
y


в точке
0
x

1, если функция y x
( )определяется формулой:
2 4
1
x
y
e



. Является ли в этой точке функция эластичной.
4. Издержки производства С(х) (тыс.руб.) зависят от объема выпускаемой продукции х (ед.) как
2 1
10 2
C x
x
x

 
( )
. Доход от реализации единицы продукции составляет
8
p x
x
 
( )
. Найти оптимальное для производства количество выпускаемой продукции.
Вычислить при этом значении средние и предельные издержки производства.
5.
Функция полезности потребителя имеет вид
10 350
U x y
xy
y



( , )
.
Бюджетное ограничение составляет 2 80
x
y
 
.
Найти максимум полезности потребления.
6. Исследовать функцию
2 2
3
x
y
xe

 

и построить ее график.
7. Изменение производительности каждого из однотипных филиалов завода, производящих одинаковую продукцию, в течение квартала (72

68 рабочих дня) в связи с изменениями в технологическом процессе описывается функцией
3 2
30 800 3
t
p( t )
t
t



, где t – время в днях,
0 72
t
 
. Определить среднюю производительность филиала за квартал.
Найти функцию объема продукции, производимой одним филиалом за время
t. Найти объем выпуска продукции за квартал, в течение которого происходили изменения в технологическом процессе (72 рабочих дня), четырьмя однотипными филиалами.
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции
3
y
x ln x.


69
Теоретические вопросы для подготовки к экзамену
2
1. Множество. Операции над множествами. Конечные, счетные и несчетные множества. Ограниченные и неограниченные множества.
2. Комплексные числа и действия над ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.
3. Понятие функции. Свойства функций одной переменной.
4. Функциональные зависимости в экономике.
5. Числовые последовательности, предел последовательности и его свойства, монотонные, ограниченные последовательности.
6. Простые и сложные проценты. Наращение и дисконтирование.
Непрерывное начисление процентов.
7. Паутинообразная модель рынка одного товара.
8. Числовой ряд. Сходимость ряда. Сумма ряда.
9. Предел функции в точке и на бесконечности.
10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
11. Первый и второй замечательные пределы.
12*. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций.
13. Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций.
14. Точки разрыва и их классификация.
15. Асимптоты графика функции.
16. Производная функции, ее геометрический смысл, свойства производной.
17*. Производная сложной и неявно заданной функций.
18. Предельные и средние величины в экономике (случай функции одной переменной).
19. Средняя и точечная эластичность функции (случай функции одной переменной).
2
Вопросы, отмеченные * включаются в экзаменационные билеты по усмотрению преподавателя.

70 20. Дифференцируемость функции, первый дифференциал и его геометрический смысл.
21*. Основные теоремы дифференциального исчисления: лемма
Ферма, теоремы Ролля и Лагранжа.
22. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
23. Монотонность функции. Условие монотонности.
24. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума.
25. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
26*. Производные и дифференциалы высших порядков.
27*. Формула Тейлора. Формула Маклорена.
28*. Разложение элементарных функций по формуле Маклорена.
29*. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
30. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
31. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям.
32. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
33. Среднее значение функции.
34. Несобственные интегралы. Интеграл Пуассона.
35. Пространство R
n
. Множества в пространстве R
n
. Функции нескольких переменных.
36. Примеры функций нескольких переменных в экономике.
37*. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
38. Частные производные функции нескольких переменных.
39*. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных.
40*. Предельные и средние величины в экономике (случай функции нескольких переменных).
41*. Средняя и точечная эластичность функции (случай функции нескольких переменных).

71 42*. Производная сложной функции.
43*. Производная по направлению и градиент.
44. Локальный экстремум функции нескольких переменных.
Необходимые условия локального экстремума.
45*. Достаточное условие для случая двух независимых переменных.
46*. Условный экстремум. Метод подстановки.
47*. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
48*. Глобальный экстремум.
49*. Кратные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному.
50*. Общее решение дифференциального уравнения. Частные решения дифференциального уравнения. Задача Коши.
51*. Уравнения с разделяющимися переменными.
52*. Однородные уравнения первого порядка.
53*. Линейное уравнение первого порядка.
54*. Уравнение Бернулли.
55*. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
56*. Устойчивость решения. Критерий устойчивости.
57. Арифметические векторы.
58. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матрицы. Произведение матриц.
59. Элементарные преобразования над строками и столбцами матриц.
60. Теорема о приведении произвольной матрицы к ступенчатой форме. Ранг матрицы. Невырожденность квадратных матриц.
61. Обратная матрица.
62. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителя.
Критерий невырожденности матрицы.
63. Система линейных алгебраических уравнений. Теорема
Кронекера-Капелли.
64. Прямые на плоскости.

72 65. Прямые и плоскости в пространстве.
66. Системы линейных алгебраических неравенств и их использование в экономике.
67. Линейное (векторное) пространство.
68. Линейная зависимость (независимость) системы векторов. Базис и размерность линейного пространства.
69*.
Линейные преобразования пространства R
n
(линейные операторы).
70*. Собственные значения и собственные векторы матрицы.
71*. Линейная модель обмена (модель международной торговли).
72*. Симметрические матрицы и квадратичные формы.
73*.
Приведение квадратичной формы к нормальному и каноническому виду.
74*. Кривые второго порядка.
75*. Примеры линейных оптимизационных моделей в экономике.
76. Постановка и различные формы записи задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
77. Каноническая форма задачи линейного программирования.
Допустимые решения. Свойства области допустимых решений.
78*. Алгоритм симплексного метода линейного программирования.
79*. Симплексный метод как метод направленного перебора базисных допустимых решений. Критерий оптимальности.
80*. Симметричная пара двойственных задач. Экономическая интерпретация двойственной задачи.
81*.
Основное неравенство теории двойственности, его экономическая интерпретация.
82*. Малая теорема двойственности.
83*. Достаточное условие оптимальности пары взаимно двойственных задач.

73 84*. Первая и вторая основные теоремы двойственности, их геометрическая и экономическая интерпретация.
85*. Несимметричная пара двойственных задач.
86*. Третья основная теорема двойственности, ее геометрическая и экономическая интерпретация.
87. Транспортная задача.
88*. Задача, двойственная к транспортной.
89. Замкнутая транспортная задача и ее решение методом потенциалов. Экономическая интерпретация оценок клеток, потенциалов поставщиков и потребителей.
90*. Вырожденная транспортная задача.

74
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Высшая математика для экономистов. Учебник /под ред. Н.Ш.
Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
2. Высшая математика для экономистов. Практикум /под ред. Н.Ш.
Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
3. Высшая математика для экономического бакалавриата. Учебник и практикум / под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: Юрайт, 2014.
4. Кремер Н.Ш., Фридман М.Н. Линейная алгебра. Учебник и практикум / под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: Юрайт, 2014.
5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математический анализ:
Учебник и Практикум / под. ред. Н.Ш. Кремера – М.: Юрайт, 2014.
6. Математика для экономистов и менеджеров. Учебник /под ред.
Н.Ш. Кремера. – М.: Кнорус, 2015.
7. Математика для экономистов и менеджеров. Практикум /под ред.
Н.Ш. Кремера. – М.: Кнорус, 2015.
Дополнительная
8. Высшая математика: Учебник и практикум для академического бакалаврата /под ред. М. Б. Хрипуновой, И. И. Цыганок. — М.: Юрайт, 2017.
9. Гисин В.Б., Кремер Н.Ш. Математика. Практикум. – М.: Юрайт,
2017.
10. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики. Учебно-справочное пособие
/ под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: Юрайт, 2014.
11. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., И.Г.Шандра
Математика в экономике. – М: Финансы и статистика, ИНФРА-М, 2011, ч.
1,2.

75 12. Сборник задач по курсу "Математика в экономике". Под ред. В.А.
Бабайцева, В.Б. Гисина.— М. : Финансы и статистика: Инфра-М, 2010, ч. 1,2.
13. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов.
Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2006.
14. Красс М.С., Математика для экономического бакалавриата. ‒
М.ИНФРА-М, 2011 15. Малугин В.А. Математика для экономистов. Математический анализ. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2009.
16. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. ‒. М.: Физматлит, 2009.
Ресурсы информационно-коммуникационной сети «Интернет»
1.
Информационно-образовательный портал
Финансового университета при Правительстве Российской Федерации http://portal.ufrf.ru/.
2. Сайт департамента анализа данных, принятия решений и финансовых технологий. http://fa.ru/dep/data_analysis/
3. Библиотечно – информационный комплекс Финуниверситета при
Правительстве РФ. http://library.fa.ru.
4.
Репозиторий
Финуниверситета при
Правительстве
РФ. http://repository.vzfei.ru.
5. Компьютерная обучающая программа для студентов 1 курса по дисциплине «Математика» (КОПР1-М); зарегистрирована в Информационно- библиотечном фонде РФ, рег. №50200000053 от 08.06.2000. Дата обновления
06.12.2010. (http://repository.vzfei.ru). Доступ по логину и паролю.