5 вариант. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки

• Название: Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки
• Дата: 27.11.2022
• Размер: 1.17 Mb.
• Имя файла: 5 вариант.pdf
• Тип: Учебное пособие; #814341
• страница: 4 из 7

Методические указания по выполнению контрольных работ
В соответствии с учебным планом по дисциплине «Математика» каждый студент направлений «Экономика» и «Менеджмент» должен выполнить контрольную работу по приведенным в данном учебно- методическом пособии вариантам.
Номер варианта любой контрольной работы определяется по последней цифре номера личного дела студента, который совпадает с номером его студенческого билета.
В помощь студентам после варианта
10 приводится демонстрационный вариант контрольной работы с решениями содержащихся в нем заданий.
Сроки представления контрольных работ на проверку указаны в индивидуальном графике студента. Однако эти сроки являются крайними.
Чтобы работа была своевременно проверена, а при необходимости доработана и сдана повторно, ее надлежит представить значительно раньше указанного срока.
Если в ходе написания работы у студента появятся вопросы или затруднения в решении задач контрольного задания, он может обратиться к преподавателю за консультацией (по электронной почте).
После проверки контрольная работа студента получает оценку
«Зачтено» или «Не зачтено».
Каждая контрольная работа содержит набор заданий, при выполнении которых необходимо соблюдать следующие правила оформления.
Допускается оформление решения заданий домашней контрольной работы как от руки в ученических тетрадях, так и на листах формата А4
(набор текста и формул на компьютере не обязателен). В обязательном порядке должен быть правильно оформлен титульный лист.

33
Образец оформления титульного листа контрольной работы
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования
«Финансовый университет при Правительстве Российской
Федерации»
Департамент анализа данных, принятия решений и
финансовых технологий
Домашняя контрольная работа
по дисциплине
«Математика»
Выполнил(а) студент(ка) группы
______________________________
Преподаватель:
______________________________
Москва 2017

34
Перед решением каждой задачи варианта контрольной работы нужно обязательно привести полностью ее условие. Решения задач должны сопровождаться развернутыми пояснениями, нужно привести в общем виде используемые формулы с объяснением употребляемых обозначений, а окончательный ответ следует выделить.
При этом желательно придерживаться той последовательности при решении задач, в какой они даны в вариантах заданий, строго сохраняя при этом нумерацию примеров (задач).
Не допускается замена задач контрольной работы другими заданиями.
В конце работы приводится список использованной литературы
(указывают автора, название, издательство, год издания), ставится дата окончания работы и подпись.
Контрольная работа не проверяется, если ее вариант не совпадает с последней цифрой номера личного дела студента или она выполнена по вариантам прошлых лет.
При изучении учебного материала и подготовке к контрольным работам рекомендуется использовать видеолекции, учебники и учебные пособия, Интернет-ресурсы, приведенные ниже в разделе «Литература», а также данное пособие.

35
Демонстрационный вариант контрольной работы
1. Решить систему линейных уравнений
1 2
3 1
2 3
1 2
3 3
5 3
2 15 2
3 14
x
x
x
x
x
x
x
x
x


 






  


,
,
.
по формулам Крамера и методом Гаусса.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
1 3
1 5 3
1 2 15 2
1 3 14
.

  











Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов. Первый этап – так называемый прямой ход метода Гаусса – приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому виду. Проделаем это. Расширенную матрицу системы будем приводить к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования строк матрицы. Умножая первую строку на (–3) и прибавляя ее ко второй строке, получим нулевой элемент на месте элемента
21
a ,
то есть:
 
1 3
1 5
3 1
3 1
5 3
1 2 15 0
10 5 30 2
1 3 14 2
1 3 14
.

    

  





 










 

 




Далее обнуляем элемент
31
a .
С этой целью первую строчку матрицы умножаем на 2 и складываем с третьей строкой. Также, нетрудно заметить, что элементы второй строки пропорциональны 5. Поделим вторую строку на
(–5). Имеем:
1 3
1 5
2 1
3 1
5 0
10 5 30
: (-5)
0 2
1 6
2 1
3 14 0
7 5 24
.

   

  






 









 

 




На следующем шаге обнуляем элемент
32
a .
Это можно сделать, например, следующим образом. Элементы второй строки умножаем на (–7)

36 и складываем с элементами третьей строки, умноженными на 2. При этом получим, что элементы третьей строки будут кратны 3. Поделим ее на (–3), то есть:
 
 
1 3
1 5
1 3
1 5 1
3 1 5 0
2 1
6 7
0 2
1 6 0
2 1 6 0
7 5 24 2
0 0
3 6 :
3 0
0 1 2
.

  

  

  






 
  
 

 












 
 
 







Таким образом, матрица системы приведена к ступенчатому виду.
Такая матрица соответствует следующей эквивалентной исходной системе уравнений:
1 2
3 2
3 3
3 5
2 6
2
x
x
x
x
x
x


 



 




,
,
.
Второй этап решения – обратный ход метода Гаусса – начиная с последнего уравнения и поднимаясь вверх, находим неизвестные. В нашем случае, из последнего уравнения следует, что
3 2
x
.

Далее из второго уравнения находим
2
x и, соответственно, из первого уравнения определяем
1
x , то есть:
 




1 2
3 2
3 3
5 3
5 3
2 2
3 1
1 6
6 2
2 2
2 2
x
x
x
x
x
x
   

      

        




,
,
.
Следовательно, решением исходной системы уравнений является упорядоченная тройка чисел


3;
2; 2

. ►
2. Вычислить предел функции
2 3
2 2
4 3
5 1
3 2
3 1
x
x
x x
x
lim
.
x
x
x


 


 
Решение. Нетрудно заметить, что если вместо переменной х в выражение функции подставить очень большое число, то, как в числителе, так и в знаменателе получатся очень большие числа. Следовательно, мы

37 имеем дело с неопределенностью вида
.

 
 

 
Так как числитель и знаменатель представляют собой комбинации степенных функций, то можно и в числителе и в знаменателе вынести за скобку х с наибольшим показателем, а именно х
2
. Далее сокращаем на х
2
и пользуемся тем, что дроби, у которых степень знаменателя больше степени числителя являются бесконечно малыми и, следовательно, стремятся к нулю. В результате, получим:
2 2
3 2
2 4
3 5 1
3 2
3 1
x
x
x
x
x x
x
lim
lim
x
x
x



 


 


 


 
 
3 2
2 3
5 1
2 4
x
x
x
x
x














0 0
0 2
2 3
2 3
1 3
0 0
.
x
x
x












►
3. Найти эластичность функции
 
2 3
6
x
x
f x
e
 

в точке
0 5
x
.

Сделать вывод об эластичности функции в заданной точке.
Решение. Эластичностью
 
x
E
y
функции
 
y
y x

называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть:
 
0
lim
:
x
x
y
x
x
E
y
y .
y
x
y

 





 




Используя правило дифференцирования сложной функции, последнее выражение можно записать в виде
 


ln
x
x
E
y
y
x
y .
y


   
Другими словами говоря, эластичность функции представляет собой произведение аргумента на ее логарифмическую производную.
Прологарифмировав данную в условии задания функцию, получим:

38
 
2 3
6 2
2
ln ln
3 6 ln
3 6
x
x
f x
e
x
x
e
x
x
.
 



 



Далее находим производную полученного выражения, используя правило дифференцирования сложной функции. Имеем:
 






2 2
2 2
1 2
3
ln
3 6
3 6
2 3
6 2
3 6
x
f x
x
x
x
x
.
x
x
x
x



 











Следовательно, эластичность функции будет равна
 
 


2 2
2 2
3 2
3
ln
2 3
6 2
3 6
x
x
x
x
E
y
x
y x
x
.
x
x
x
x



 
 





В частности, при
0 5
x

эластичность будет равна
 
2 5
2 2 5 3 5 35 4 375 8
2 5 3 5 6
x
x
E
y
,
.

  



  
Так как эластичность в точке
0 5
x

больше единицы, то можно сделать вывод о том, что функция в этой точке является эластичной
1
. ►
4. Издержки производства С(х) (тыс.руб.) зависят от объема выпускаемой продукции х (ед.) как
 
3 2
2 39 280 30
C x
x
x
x
.




Доход от реализации единицы продукции равен 100. Найти оптимальное для производства количество выпускаемой продукции. Вычислить при этом значении средние и предельные издержки производства.
Решение. Количество выпускаемой продукции будет оптимальным для данного производства, если оно приводит к наибольшему значению функцию прибыли. Функция прибыли представляет собой разность между доходом и издержками производства, то есть
 
 
P x
px
C x .


В нашем случае
1
Функция называется эластичной в точке, если ее эластичность в этой точке по абсолютной величине превышает единицу, то есть
 
1

y
E
x

39
 


3 2
3 2
100 2
39 280 30 2
39 180 30
P x
x
x
x
x
x
x
x
.





 



Исследуем на экстремум функцию прибыли. Для этого найдем ее производную:
 


3 2
2 2
39 180 30 6
78 180
P x
x
x
x
x
x
.


 



 


Приравняв производную к нулю, получим:
 
2 6
78 180 0
P x
x
x

 



или
2 13 30 0
x
x
.



Решая квадратное уравнение, определяем критические точки.
2 2
13 4 30 49 7 ;
D

 


1 13 7 6;
2
x



1 13 7
10 2
x
.



Функцию прибыли имеет смысл рассматривать только при неотрицательных значениях переменной х – количества выпускаемой продукции. Поэтому будем определять наибольшее значение функции прибыли на промежутке


0;
.
 
Критические точки разбивают область определения функции прибыли на три промежутка (Рис. 2). Определив знаки производной на каждом промежутке, делаем вывод о том, что
10
x

является точкой максимума (Рис. 1).
Рис.1.
Таким образом, количество выпускаемой продукции для производства будет оптимальным, если оно составляет 10 единиц. При этом, прибыль будет равна
 
3 2
10 2 10 39 10 180 10 30 70
P
.
  






Функция средних издержек производства АС(х) определяется как отношение функции издержек к количеству выпускаемой продукции, то есть
 
 
C x
AC x
.
x

х
10 3
0
Р’(х)
Р(х)
+
–
min
–
maх

40
В нашем случае
 
3 2
2 2
39 280 30 30 2
39 280
x
x
x
AC x
x
x
.
x
x








Средние издержки при
10
x

будут равны
 
2 30 10 2 10 39 10 280 93 10
AC
.
 

 


Предельные издержки производства МС(х) определяются как производная функции издержек, то есть
 
 
MC x
C x .


Определим их.
 


3 2
2 2
39 280 30 6
78 280
MC x
x
x
x
x
x
.








Предельные издержки при
10
x

равны
 
2 10 6 10 78 10 280 100
MC
.
 




►
5. Предприниматель решил открыть новую фирму по производству кисломолочных продуктов. При этом он готов на развитие этой фирмы выделить 4 млн. руб. Известно, что если на аренду помещения и приобретение нового оборудования выделить у млн. руб., а на зарплату новых сотрудников х млн. руб., то прирост объема выпускаемой продукции составит


0 25 0 75 0 004
,
,
,
,
.
u x y
x
y

Как следует распределить выделяемые денежные средства, чтобы прирост объема выпускаемой продукции был максимальным.
Решение. Очевидно, что мы имеем дело с задачей об оптимизации производства, в которой целевая функция – прирост объема выпускаемой продукции данным предприятием – описывается функцией двух переменных
х и у вида


0 25 0 75 0 004
,
,
,
,
.
u x y
x
y

Сведем решение последней задачи к исследованию функции одной переменной.
По условию задачи на развитие фирмы предприниматель готов выделить 4 млн. руб., которые распределяются между суммой у млн. руб., выделяемой на приобретение нового оборудования, и суммой х млн. руб., выделяемой на выплату зарплаты сотрудникам предприятия, Очевидно, что
4
x
y
 
.
Разрешая последнее соотношение относительно у, получим

41 4
y
x
 
. Полученное выражение подставляем вместо у в функцию прироста объема выпускаемой продукции. В результате имеем:
 


0 75 0 25 0 004 4
u x
x
x


,
,
,
.
Функция
 
u x определена на промежутке
 
0; 4 . Наибольшее значение функции на отрезке достигается либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.
Для нахождения экстремумов функции, продифференцируем ее:
 








0 75 0 75 0 25 0 25 0 004 4
0 004 4
u x
x
x
x
x









,
,
,
,
,
,
 






0 75 0 75 0 25 0 25 0 004 4
4
x
x
x
x
















,
,
,
,
,






0 75 0 75 1 0 25 1 0 25 0 004 0 25 4
0 75 4
4
x
x
x
x
x




















,
,
,
,
,
,
,



  


0 75 0 25 0 75 0 25 0 004 0 25 4
0 75 4
1
x
x
x
x












