Гефан Г.Д. Эконометрика, 2005. Учебное пособие для студентов специальностей Бухгалтерский учёт, анализ и аудит

• Название: Учебное пособие для студентов специальностей Бухгалтерский учёт, анализ и аудит
• Дата: 04.06.2020
• Размер: 0.9 Mb.
• Имя файла: Гефан Г.Д. Эконометрика, 2005.pdf
• Тип: Учебное пособие; #128060
• страница: 2 из 10

Пример 5. В продолжениепримера 4 найдём условные математиче- ские ожидания и функцию регрессии Y по X. Воспользовавшись получен- ными выше значениями условных вероятностей
)
1
(


X
y
Y
P
j
, получаем
5 15 17 14
)
1
(
2 1
2 1






X
Y
M
Таким же образом можно найти математические ожидания Y при дру- гих значениях X.

10
Более простой способ позволяет сразу вывести общую формулу для
)
(
)
(
x
x
X
Y
M



. Вспомним, что x – это число рабочих 1-ой категории, а
(2 – x) – число рабочих 2-ой и 3-ей категорий среди двух отобранных. От- сюда
1 1
5 4
)
2
(
5 5
10
)
(







x
x
x
x
X
Y
M
Итак,
11 5
4
)
(


x
x

. Это означает, что имеет место линейная кор- реляция случайных величин, причём
20
)
2
(
,
5 15
)
1
(
,
11
)
0
(






X
Y
M
X
Y
M
X
Y
M
Замечание. Не путайте линейную корреляцию с линейной зависимо- стью величин! Последнее означало бы присутствие функциональной, а не корреляционной связи между X и Y.
2.4. Как измерить тесноту корреляции?
Форма корреляционной связи (линейная или нелинейная) не даёт нам информации о том, насколько тесно связаны между собой случайные величины. В качестве ‘‘измерителя’’ тесноты связи двух величин логично было бы предложить такой показатель, который принимает нулевое значе- ние при полном отсутствии зависимости между X и Y.
Корреляционным моментом (или ковариацией, т.е. совместной ва- риацией) случайных величин X и Y называется математическое ожи- дание произведения их отклонений:


)]
(
)][
(
[
)
,
(
Y
M
Y
X
M
X
M
Y
X




Преобразуем данное выражение:
),
(
)
(
)
(
)]
(
)
(
)
(
)
(
[
)
,
(
Y
M
X
M
XY
M
Y
M
X
M
Y
X
M
Y
XM
XY
M
Y
X







что (как и требовалось) равно нулю для независимых случайных величин.
Корреляционный момент двух независимых случайных величин ра- вен нулю. Если
0
)
,
(


Y
X
, то случайные величины называются коррелированными (в противном случае  некоррелированными).
Коррелированные величины зависимы (обратное не всегда верно).
2.5. Почему корреляционный момент неудобен для оценки
тесноты корреляции?
Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин. Например, существует корреляция меж- ду температурой воды и числом отдыхающих на пляже. В каких единицах будет измеряться ковариация? Очевидно, в «человеко-градусах» (или

11
«градусо-человеках»). По величине показателя, имеющего такую размер- ность, мы вряд ли получим представление о тесноте корреляции.
Коэффициентом корреляции системы случайных величин называет- ся безразмерная величина
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
Y
X
Y
M
X
M
XY
M
Y
X
Y
X
Y
X
r








Здесь
)
( X

и
)
(Y

— среднеквадратические отклонения случайных вели- чин. Кроме отсутствия размерности, достоинством этой характеристики является нормировка. Покажем, что при линейной функциональной зави- симости величин X и Y (
b
aX
Y


), которую можно рассматривать как предельно тесную корреляцию,
1
)
,
(



a
a
Y
X
r
Действительно, пусть
b
aX
Y


. Тогда:
)
(
)
(
),
(
)
(
2
X
a
Y
X
D
a
Y
D




,
),
(
)
(
)]
(
[
]}
)
(
)][
(
{[
)
,
(
2 2
X
a
X
aD
X
M
X
aM
b
X
aM
b
aX
X
M
X
M
Y
X












1
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(




a
a
Y
X
Y
X
Y
X
r



Область значений коэффициента корреляции:
1
)
,
(

Y
X
r
. Знаки ко- эффициента корреляции и коэффициента регрессии a совпадают.
Пример 6. Найдём коэффициент корреляции системы случайных ве- личин, представленной в примерах 4 и 5. Легко убедиться, что:
;
3 2
)
6 2
3 2
3 6
(
)
(
;
14
)
1 20 2
17 3
14 2
11 1
8
(
)
(
;
3
/
2 2
1
)
(
)
(
)
(
;
2 1
)
(
2 2
2 2
9 1
9 1
9 4
9 1
2 9
4 2
2 2
3 2
9 1
9 4
































Y
Y
M
X
M
x
p
x
X
X
M
i
i


;
)
2 14 2
17 40
(
)
(
9 102 9
1






XY
M
866 0
)
(
)
(
2 3
4 3
3 28 9
102





XY
r

12
3. ПАРНЫЙ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
3.1. Какая величина может служить количественной оценкой
корреляции по данным статистического наблюдения?
Как уже отмечалось в п.2.4, для независимых случайных величин X и
Y выполняется равенство
)
(
)
(
)
(
Y
M
X
M
XY
M

. Имея дело со статистиче- скими данными, кажется естественным заменить математические ожида- ния их статистическими аналогами (выборочными средними):









n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
y
x
n
xy
y
n
y
x
n
x
1 1
1 1
,
1
,
1
и считать мерой корреляции величину
y
x
xy 
, представляющую собой статистический аналог ковариации. Правда, для того чтобы исключить влияние единиц измерения признаков, следует, как и в п.2.4, от абсолют- ного показателя (ковариации) перейти к относительному показателю (ко- эффициенту корреляции).
Выборочным коэффициентом линейной корреляции называется ве- личина
y
x
xy
y
x
xy
r




, где
1
,
1 2
2 2
1 2
2 2
2 2
1 2
2
y
y
y
y
n
x
x
x
x
n
n
i
i
y
n
i
i
x


























Величины
y
x

 ,
называются выборочными среднеквадратическими отклонениями признаков, а их квадраты
2 2
,
y
x


– выборочными дис- персиями признаков.
Выборочный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от –1 до 1. Если количественные признаки тесно коррелированы
(т.е. близки к линейной функциональной зависимости), то
xy
r
1


. В ста- тистической практике принято считать корреляционную связь заметной при
5 0

xy
r
и достаточно тесной при
8 0

xy
r
. Теоретически при пол- ном отсутствии корреляции
xy
r
должен быть равен нулю. Однако на прак- тике, в силу выборочности данных, нет оснований ожидать, что для некор- релированных величин мы обязательно получим нулевое или близкое к нулю значение коэффициента
xy
r

13
Пример 7. В таблице приводятся выборочные данные о площади (Х, кв. м) и цене (Y, тыс. долларов) 10 квартир.
Требуется:
 найти среднюю площадь квартиры
x
и среднюю цену
y ;
 найти выборочный коэффициент линейной корреляции
xy
r
Решение.
При расчётах удобно составить таблицу следующего вида:
Получаем:
9319 0
,
96 11
,
96 159 2
2



xy
y
x
r


. Имеется тесная корреляционная связь между площадью квартиры и её ценой.
3.2. Что делать, если выборочный коэффициент корреляции
мал?
Результаты рассмотрения примера 7 достаточно очевидны. Однако при значениях
5 0

xy
r
(и меньше) мы не могли бы с уверенностью ут- верждать, что признаки корреляционно связаны. Из
0

xy
r
ещё нельзя за- ключить, что не равен нулю и генеральный коэффициент корреляции
)
,
(
Y
X
r
. Необходимо проверить гипотезу о том, что отклонение
xy
r
от ну- ля незначимо и случайно:
0
)
,
(
:
,
0
)
,
(
:
1 0


Y
X
r
H
Y
X
r
H
. В качестве кри- терия используется случайная величина
2 1
2
xy
xy
r
r
n
r
T



, подчиняющаяся распределению Стьюдента. Строится двусторонняя кри- тическая область. Правая критическая точка
)
,
(
2
k
t
cr

, где k = n – 2, может
x
i
58 74 36 44 70 52 57 65 37 45
y
i
20 21 12 15 22 18 17 23 14 16
i
i
x
i
y
2
i
x
2
i
y
i
i
y
x
1 58 20 3364 400 1160 2
74 21 5476 441 1554 3
36 12 1296 144 432 4
44 15 1936 225 660 5
70 22 4900 484 1540 6
52 18 2704 324 936 7
57 17 3249 289 969 8
65 23 4225 529 1495 9
37 14 1369 196 518 10 45 16 2025 256 720 средние
53.8 17.8 3054.4 328.8 998.4

14 быть найдена в таблице (приложение 1). На заданном уровне значимости

при
)
,
(
2
k
t
T
cr
r


нет оснований отклонить нулевую гипотезу; в про- тивном случае H
0 отвергается.
Пример 8. По выборке объёма n = 10 парных значений двух призна- ков найден выборочный коэффициент корреляции
4 0

xy
r
. Проверим ги- потезу
0
)
,
(
:
0

Y
X
r
H
на уровне значимости

= 0.05. Найдём наблюдае- мое значение критерия:
23 1
16 0
1 8
4 0



r
T
По таблице критических точек распределения Стьюдента находим
31 2
)
8
,
05 0
(
2

cr
t
. Поскольку
cr
r
t
T
2

, нет оснований отклонить нулевую гипотезу. Выборочный коэффициент корреляции незначим. Между при- знаками нет линейной корреляции.
4. НАЧАЛА РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
4.1. Что такое регрессия?
Корреляция и регрессия – смежные научные понятия, употребляе- мые, как правило, совместно. Термин «регрессия» уже появлялся в пара- графе 2 («функция регрессии»), но о его смысле мы не говорили. Оба по- нятия связаны с именем выдающегося английского антрополога Фрэнсиса
Гальтона. Изучая наследственность, Гальтон собрал статистический мате- риал, который доказывал (как ему казалось), что в среднем рост сыновей уменьшается по сравнению с ростом отцов. Говоря точнее, дети высоких родителей тоже выше своих сверстников, но всё же они ближе к среднему росту, чем родители. Такое явление Гальтон назвал regression to mediocrity
(возврат к среднему состоянию) и даже вывел соответствующее уравнение.
Хотя наблюдение Гальтона не нашло подтверждения в других исследова- ниях, разработанный им метод стал одной из основ обработки статистиче- ских данных.
Регрессией в теории вероятностей и математической статистике на- зывается зависимость среднего значения величины Y от значения другой величины X (или нескольких величин).
4.2. В чём состоит метод наименьших квадратов?
Пусть изучается взаимозависимость двух количественных признаков
)
,
(
Y
X
. В результате n опытов или наблюдений получены пары чисел: (x
i
,
y
i
), где i = 1, 2, ..., n. На основе предварительного анализа этих данных и с

15 учётом самой природы признаков мы можем сделать предположение о не- которой линии связи
)
,
(

x
f
y
x

, где под
x
y
подразумевается среднее значение признака Y, соответствующее значению X = x, а под

– совокуп- ность варьируемых параметров. Например, если диаграмма рассеивания свидетельствует о линейной форме корреляции (см. рис.1), то в качестве линии связи можно выбрать прямую
b
ax
y
x


Вопрос состоит в том, как получить оценки коэффициентов a и b.
Метод наименьших квадратов (МНК) состоит в минимизации сум- мы квадратов отклонений наблюдаемых значений количественного признака от теоретических значений того же признака, соответст- вующих некоторой гипотетической формуле.
Например, для случая, когда в качестве линии связи выбирается прямая, минимизируется функция двух переменных:






n
i
i
i
b
ax
y
b
a
S
1 2
min
)
(
)
,
(
Рассмотрим эту задачу подробнее. Необходимые условия экстремума:























n
i
i
i
n
i
i
i
i
y
b
ax
b
S
x
y
b
ax
a
S
1 1
0
)
(
2
,
0
)
(
2
Для простоты опуская индексацию, получим:














)
(
,
)
(
)
(
2
y
nb
a
x
xy
b
x
a
x
После деления на n система принимает вид









,
2
y
b
a
x
xy
b
x
a
x
Решение системы может быть легко найдено по правилу Крамера: есть то
,
,
*
*






b
a
b
a
2 2
2
*
2 2
*
)
(
,
)
(
x
x
xy
x
x
y
b
x
x
y
x
xy
a






или
x
a
y
b
*
*



16
Достаточным условием того, что критическая точка (
*
*
, b
a
) является точ- кой минимума, является положительность полного дифференциала 2-го порядка от
)
,
(
b
a
S
. Имеем
)
(
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
r
q
p
db
db
b
S
dadb
b
a
S
da
a
S
S
d















, где
db
da
n
b
S
r
x
n
x
b
a
S
q
x
n
x
a
S
p



















,
2
,
4 4
2
,
2 2
2 2
2 2
2 2
2
Условие
0 2

S
d
выполняется при
0

p
и
0 4
2

 pr
q
. Последнее нера- венство сводится к стандартному требованию положительности диспер- сии:
0 2
2

 x
x
Следовательно, значения
*
a и
*
b , определённые из необходимого условия экстремума, соответствуют минимуму функции
)
,
(
b
a
S
4.3. Как связаны выборочные уравнения регрессии
с коэффициентом корреляции?
Уравнение вида
b
ax
y
x


, в котором значения коэффициентов a =
a
* и b = b
*
вычислены по статистическим данным методом наимень- ших квадратов, называется выборочным уравнением линейной рег-
рессии Y по X. Угловой коэффициент a
*
называется выборочным ко- эффициентом регрессии или оценкой коэффициента регрессии.
Сравнивая формулы для выборочных коэффициентов корреляции
(см. п.3.1) и регрессии, нетрудно убедиться, что
xy
x
y
x
r
y
x
xy
a






2
*
Выразив из второго уравнения системы









,
2
y
b
a
x
xy
b
x
a
x
величину b и подставив её в уравнение
b
ax
y
x


, получим
)
(
x
x
a
y
y
x




17 или
)
(
x
x
r
y
y
xy
x
y
x





Линия регрессии проходит через точку (
y
x, ) с угловым коэффици- ентом, прямо пропорциональным коэффициенту корреляции.