Гефан Г.Д. Эконометрика, 2005. Учебное пособие для студентов специальностей Бухгалтерский учёт, анализ и аудит

• Название: Учебное пособие для студентов специальностей Бухгалтерский учёт, анализ и аудит
• Дата: 04.06.2020
• Размер: 0.9 Mb.
• Имя файла: Гефан Г.Д. Эконометрика, 2005.pdf
• Тип: Учебное пособие; #128060
• страница: 3 из 10

Пример 9. (Продолжение примера 7.) Пусть требуется дополнитель- но:
 записать уравнение линейной регрессии Y по X , построить на одном графике данные наблюдений и найденную линию регрессии;
 предсказать цену квартиры площадью 50 кв. м.
Решение.
Используя полученные ранее результаты, найдём:
09 4
255 0
);
8 53
(
255 0
8 17
;
255 0






x
y
x
y
r
x
x
xy
x
y


Это означает, что с ростом площади квартиры на 1 кв. метр цена возраста- ет (в среднем) на 255 долларов. Точно такой же результат может быть по- лучен непосредственно с использованием приведённых выше формул для
*
a и
*
b . Воспользовавшись найденным уравнением регрессии, получим

)
50
(
x
y
16.84. Итак, цена квартиры площадью 50 кв. м составит (в сред- нем) 16840 долларов. График с данными наблюдений и найденной линией регрессии показан на рис.2.
Рис. 2
10 15 20 25 35 45 55 65 75
X , кв.м.
Y , тыс. долл.

18
5. МОДЕЛЬ ПАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
5.1. На каких предположениях строится модель
линейной регрессии?
Модель парной линейной регрессии имеет вид
)
...,
,
1
(
n
i
b
ax
y
i
i
i





, где
x
i
– детерминированная (неслучайная) величина;
i

– случайная величина (ошибка регрессии), вызывающая отклоне- ние значения y
i
от точной линейной функции;
a и b – неизвестные параметры линейной функции регрессии.
Относительно ошибки регрессии
i

принимаются следующие допу- щения. Во-первых, считается, что эта величина имеет нормальное распре- деление, причём её математическое ожидание равно нулю, а дисперсия по- стоянна:
2 2
)
(
)
(
,
0
)
(







i
i
i
M
D
M
Независимость дисперсии ошибки
)
(
i
D

от номера наблюдения i на- зывается гомоскедастичностью. Противоположное свойство, т.е. за- висимость
)
(
i
D

от i, называется гетероскедастичностью.
Во-вторых, предполагается, что ошибки разных наблюдений некор- релированы:
j
i
M
M
M
M
j
i
j
i
j
i
j
i





,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(









Если свойство некоррелированности ошибок не выполняется, то го- ворят об автокорреляции остатков.
Суть сформулированных требований легко понять из рис.3. На рис.3а разброс точек относительно линии регрессии приблизительно оди- наков (гомоскедастичность), а на рис.3б – явно увеличивается с ростом X
Рис.3 а
X
Y
Рис.3 б
X
Y
Рис.3 в
X
Y

19
(гетероскедастичность). На рис.3в представлен случай автокорреляции ос- татков. Здесь ковариация
0
)
,
(
1


i
i



, и ошибки регрессии в соседних точках, как правило, имеют один знак.
5.2. Как выглядят уравнения регрессии в отклонениях
относительно средних значений количественных при-
знаков?
Пусть
y
y
v
x
x
u
n
y
y
n
x
x
i
i
i
i
i
i








,
,
/
,
/
. Получим уравнения регрессии в терминах отклонений
i
i
v
u , . Сложив уравнения рег- рессии
n
n
n
b
ax
y
b
ax
y








,
1 1
1
и разделив сумму на n, получим




b
x
a
y
, где


n
i
/


– средняя ошибка регрессии. Вычитание полученного уравнения из i-го уравнения регрессии даёт:








i
i
i
i
i
au
v
,
При переходе к уравнению регрессии в отклонениях угловой коэф- фициент a не изменяется, а параметр b обращается в нуль. Линии регрессии
au
v
b
ax
y



и параллельны, но вторая из них прохо- дит через начало координат.
Средние значения отклонений
i
i
v
u , равны нулю. Действительно,
0
)
/
(
/






x
n
x
n
u
u
i
i
. Доказательство того, что
0

v
, совершенно аналогично.
Теперь выразим выборочный коэффициент регрессии a
*
(МНК) че- рез отклонения
i
i
v
u , . Как мы только что убедились, угловой коэффициент линии регрессии в отклонениях – тот же самый, что и для линии регрессии
Y по X. Поэтому в формуле
2 2
*
)
(x
x
y
x
xy
a



достаточно заменить x, y на u, v. Учитывая, что
0

 v
u
, получим




2 2
*
i
i
i
u
v
u
u
uv
a

20
Найдём числовые характеристики величин

, δ
i
, v
i
. Согласно свойствам среднего арифметического,
n
M
D
M
/
)
(
)
(
,
0
)
(
2 2







Используя свойства дисперсии и условие некоррелированности ошибок регрессии, получим
1 2
)
(
2
)
(
2
)
(
)]
(
)
(
)
(
[
2
)
(
)
(
)
(
,
0
)
(
2 2
2 2
2 2
2 2
2





















n
n
n
n
n
M
n
n
M
n
D
M
M
M
D
D
D
M
i
j
i
i
i
i
i
i
i




















Числовые характеристики отклонения v
i
легко получить, если вспомнить, что значения x
i
(а, значит, и u
i
) детерминированы:
2 1
)
(
)
(
,
)
(


n
n
D
v
D
au
v
M
i
i
i
i




5.3. Являются ли оценки параметров регрессии a* и b*
несмещёнными и состоятельными?
Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание совпадает с оцениваемой величиной.
Найдём математические ожидания оценок:
)
(
)
(
)
(
)
(
;
)
(
)
(
*
*
*
2 2
*
b
x
a
b
x
a
a
M
x
y
M
a
x
y
M
b
M
a
u
au
u
u
v
u
M
a
M
i
i
i
i
i
i















Выборочные коэффициенты a
* и b
*
, получаемые методом наимень- ших квадратов, являются несмещёнными оценками параметров ли- нейной регрессии.
Согласноопределению, дисперсия состоятельной оценки должна стремиться к нулю при неограниченном возрастании числа наблюде- ний.
Найдём дисперсию оценки a
*
:














































2 2
2 2
2 2
2 2
*
)
(
)
(
2
)
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
u
u
y
D
u
u
u
y
u
y
u
D
u
y
y
u
D
i
u
i
v
i
u
D
a
D


21
Здесь были использованы равенство
0


i
u
и свойство некоррелирован- ности результатов разных наблюдений (в этом случае дисперсия суммы равна сумме дисперсий).
Полученный результат показывает, что оценка коэффициента рег- рессии a
*
является состоятельной при условии, что





2
lim
i
n
u
Это вполне естественное условие, означающее, что при


n
имеется бесконечное число ненулевых отклонений u
i
Оценку b
*
представим в виде




1 1
2 1
1
)
(
1
)
(
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
*
2 2
2
*
*




















































































i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
u
n
x
n
u
n
x
x
u
x
n
u
u
x
n
u
u
x
u
n
u
x
n
u
u
x
n
b
D
u
u
x
n
y
u
y
u
x
n
y
u
y
y
u
x
n
y
a
x
y
b





Очевидно, оценка b
*
всегда состоятельна.
Можно также показать, что оценки a
*
и b
*
имеют наименьшую дис- персию из всех линейных несмещённых оценок, то есть являются эффек-
тивными.
6. КАЧЕСТВО РЕГРЕССИИ
6.1. Что такое остатки регрессии и чем они отличаются
от ошибок регрессии?
Пусть оценки a
*
и b
* получены. Тогда прогноз значения признака Y по значению X = x
i даётся выборочным уравнением регрессии
*
*
b
x
a
y
i
x


Реальные результаты наблюдений, конечно, отклоняются от этой зависи- мости. Пусть в i-ом наблюдении при X = x
i было получено значение Y = y
i
(i =1, ..., n).
Величины
*
*
b
x
a
y
e
i
i
i



называются остатками регрессии.
Отличие остатков регрессии e
i от ошибок регрессии ε
i
заключается в следующем. Ошибки регрессии – теоретические, ненаблюдаемые величи- ны (точные значения параметров регрессии a и b неизвестны). Остатки же

22 представляют собой отклонения от выборочного уравнения регрессии и, значит, наблюдаемы.
6.2.Как оценить дисперсию ошибок σ
2
?
В п.5.3 мы получили выражения для дисперсий оценок параметров регрессии D(a
*
) и D(b
*
). В них, однако, фигурировала дисперсия ошибок
2

, которая на практике обычно неизвестна. Дисперсия ошибок
2
)
(



i
D
представляет собой третий неизвестный параметр регрессии.
Может ли она быть оценена по остаткам регрессии?
Рассмотрим величину

2
i
e
для того, чтобы выяснить, можно ли ис- пользовать её для оценки
2

. Перейдём при записи e
i
к отклонениям
i
i
v
u ,
:
i
i
i
i
i
u
a
v
b
x
a
y
b
u
x
a
v
y
e
*
*
*
*
*
)
(










;
)
(
2
)
(
]
)
[(
)
(
)
(
2
*
2 2
*
2
*
2
*
2
*
2
C
B
A
u
a
a
u
a
a
u
a
a
u
a
au
u
a
v
e
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i




























Найдём


)
(
)
(
)
(
2
C
M
B
M
A
M
e
M
i












2 2
2 2
)
(
)
(
)
(
]
)
[(
)
(
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
*
2 2
2 2
*
2 2
*
2





















































i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
u
u
u
u
M
u
D
u
u
M
B
M
u
u
a
u
au
u
u
v
u
a
u
u
a
D
u
a
a
M
u
A
M


2 2
2
)
1
(
1
)
(
)
(












n
n
n
n
D
M
C
M
i
i
В итоге получаем


2 2
2 2
2
)
2
(
)
1
(
2











n
n
e
M
i
. Отсюда сле- дует, что величина
2 2
*
*
2 2
2
)
(
2
)
(
2
s
n
b
x
a
y
n
y
y
n
e
i
i
x
i
i












является несмещённой оценкой дисперсии ошибок регрессии. Теперь мы можем заменить её оценкой s
2
, что позволяет получить характеристики рассеивания выборочных коэффициентов регрессии.

23
Величину
2
)
(
2




n
y
y
s
x
i
называют стандартной ошибкой оценки Y. Стандартные отклонения оценок коэффициентов регрессии связаны с s следующими форму- лами:
x
x
u
u
n
x
s
s
u
s
s
i
i
i
i
b
i
a








где
,
,
2 2
2
Пример 10. В течение 5 лет в городе Nсопоставлялись данные о среднегодовом числе зарегистрированных автомобилей (Х, тыс. шт.) и числе дорожно-транспортных происшествий за год (Y,тыс.):
Требуется:
 оценить линейную регрессию Y по X уравнением
*
*
b
x
a
y
x


;
 определить s (стандартную ошибку оценки Y), а также
a
s и
b
s (стан- дартные отклонения оценок коэффициентов регрессии).
Решение.
Удобно составить таблицу следующего вида:
i
i
x
i
y
2
i
x
i
i
y
x
i
u
*
*
b
x
a
y
i
x


x
i
i
y
y
e


2
i
e
2
i
u
1 80 12 6400 960
-49 12.92
-0.92 0.85 2401 2
95 16 9025 1520
-34 14.72 1.28 1.63 1156 3
120 17 14400 2040
-9 17.72
-0.72 0.52 81 4
150 22 22500 3300 21 21.32 0.68 0.46 441 5
200 27 40000 5400 71 27.32
-0.32 0.10 5041 сумма
645 94 92325 13220 0
–
–
3.57 9120 средняя
129 18.8 18465 2644
–
–
–
–
–
Выборочное уравнение регрессии:
326 3
12 0


x
y
x
. Применяя записан- ные выше формулы, легко получить: s = 1.09, s
a
= 0.011, s
b
= 1.552.
6.3. Как убедиться в значимости коэффициента регрессии?
Пусть имеется точечная оценка коэффициента регрессии a
*
. Сфор- мулируем правило проверки гипотезы о том, что коэффициент регрессии a
равен некоторому предполагаемому значению a
0
Основная гипотеза имеет вид
0 0
:
a
a
H

при конкурирующей гипо- тезе
0 1
:
a
a
H

. В качестве критерия используем величину
x
i
80 95 120 150 200
y
i
12 16 17 22 27

24
a
s
a
a
T
0
*


, имеющую распределение Стьюдента с (n – 2) степенями свободы.
При заданном уровне значимости гипотезы

находим правую гра- ницу двусторонней критической области
)
2
,
(
2

n
t
cr

(см. приложе- ние 1). При
cr
t
T
2

нет оснований отклонить основную гипотезу, иначе H
0 отвергается.
На практике чаще всего нет никакого априорного предположения о значении коэффициента регрессии. В этом случае имеет смысл проверить гипотезу о том, не равен ли коэффициент регрессии нулю. Её принятие бу- дет говорить, что влияние фактора X на случайную величину Y незначимо.
Значение критерия T при
0 0

a
, т.е.
a
a
s
a
t
*

, называется
t -
статистикой коэффициента
a .
Если
)
2
,
(
2


n
t
t
cr
a

, то коэффициент регрессии a значим.