Гефан Г.Д. Эконометрика, 2005. Учебное пособие для студентов специальностей Бухгалтерский учёт, анализ и аудит

• Название: Учебное пособие для студентов специальностей Бухгалтерский учёт, анализ и аудит
• Дата: 04.06.2020
• Размер: 0.9 Mb.
• Имя файла: Гефан Г.Д. Эконометрика, 2005.pdf
• Тип: Учебное пособие; #128060
• страница: 7 из 10

Пример 24 (продолжение примера 21). Дополнительно требуется:
 визуально убедиться в наличии гетероскедастичности остатков;
 считая, что в линейной модели регрессии дисперсия случайного чле- на прямо пропорциональна квадрату объясняющей переменной, пе- рейти к обобщённому МНК и оценить коэффициенты регрессии;
 на одном графике показать исходные данные и две линии регрессии, полученные обычным МНК и обобщённым МНК.
Решение
На рис.5 исходные данные показаны точками. Тест Голдфелда-
Квандта при малом количестве наблюдений использовать трудно, но вид диаграммы указывает на наличие гетероскедастичности (разброс значений
Y увеличивается с ростом X ). В примере 21 для этих же исходных данных мы перешли к степенной модели и добились роста коэффициента детерми- нации. Здесь мы опробуем обобщённый МНК.
Удобно составить следующую таблицу:

48
Для новых переменных оценка уравнения регрессии обычным МНК даёт следующий результат:
442 0
700 4


u
v
u
Как мы видели выше, при возвращении к старым переменным коэффици- енты регрессии должны поменяться ролями:
700 4
442 0


x
y
x
Сравнив этот результат с оценкой линейной регрессии для тех же данных обычным МНК в примере 21, обнаруживаем довольно существенную раз- ницу. На рис.5 линия регрессии, полученная обычным МНК, показана штриховой линией, а результат применения обобщённого МНК (с целью устранения влияния гетероскедастичности остатков) – сплошной линией.
i
i
x
i
y
i
i
x
u
/
1

i
i
i
x
y
v
/

1 22 15 0.04545 0.68182 2 33 22 0.03030 0.66667 3 27 18 0.03704 0.66667 4 17 12 0.05882 0.70588 5 15 11 0.06667 0.73333 6 35 18 0.02857 0.51429 7 24 14 0.04167 0.58333 8 27 19 0.03704 0.70370 9 40 20 0.02500 0.50000 10 33 18 0.03030 0.54545
Рис.5
10 12 14 16 18 20 22 24 10 20 30 40 50
X ,тыс.руб.
Y,тыс.
руб.

49
12. ТРЕНДОВЫЕ МОДЕЛИ РЯДОВ ДИНАМИКИ
12.1. Что такое ряд динамики?
Динамика явлений — это процесс их развития, процесс изменения во времени. Всякий ряд динамики (временной ряд) содержит, во-первых, по- казания времени (моменты или периоды), и, во-вторых, соответствующие им значения количественного признака Y, которые принято называть уров- нями развития или уровнями ряда.
Вызывающие динамику факторы резко различаются по своей сути.
Одни из них оказывают регулярное воздействие, другие — периодическое, третьи проявляются случайным образом. Например,урожайность сель- скохозяйственных культур имеет определённую динамику. Каковы её со- ставляющие? Во-первых, существует общая тенденция экономического роста, связанная с увеличением затрат на исследовательские и агротехни- ческие работы. Объективно эта тенденция должна проявляться в положи- тельной динамике урожайности. Во-вторых, существуют природные фак- торы, имеющие некоторую периодичность. Например, солнечная актив- ность, влияющая на урожайность, изменяется в 11-летнем цикле. Наконец, присутствует случайная составляющая, которая включает в себя целый ряд факторов: осадки, температура, стихийные бедствия и т.п.
Ряд динамики (временной ряд) теоретически может быть представ- лен в виде суперпозиции следующих составляющих:
1) основная тенденция развития (тренд);
2) циклические колебания;
3) случайные колебания.
Наличие тренда предполагает, что уровни ряда динамики можно представить в виде
t
t
t
f
y



)
(
, где t – показания времени (далее для простоты будем полагать, что
n
t
...,
,
2
,
1
,
0

);
)
(t
f
– функция, определяющая основную тенденцию раз- вития;
t

– случайное и циклическое отклонение от тенденции. Подбор функции
)
(t
f
можно свести к задаче оценки регрессии, если выбрать под- ходящую форму тренда и применить метод наименьших квадратов. Такой подход называется аналитическим выравниванием.
12.2. Как выбрать подходящий вид тренда?
Чаще всего при выравнивании используются следующие виды трен- да:
 линейный
b
at
t
f


)
(
;
 степенной
a
bt
t
f

)
(
;

50
 экспоненциальный
at
be
t
f

)
(
Из общей теории статистики известны следующие показатели ряда динамики:
1
ц




t
t
t
y
y
– абсолютный цепной прирост;
1
ц


t
t
t
y
y
K
– цепной коэффициент роста.
Пусть ряд динамики в качестве показаний времени имеет равноот- стоящие моменты (или одинаковые периоды)
n
t
...,
,
2
,
1
,
0

. Какими свой- ствами должны обладать показатели динамики этого ряда, чтобы он иде- ально соответствовал: (а) линейному, (б) экспоненциальному видам трен- да?
(а) Предположим, что ряд динамики идеально соответствует линей- ной зависимости. Тогда для любых двух соседних моментов (периодов) времени будет выполняться условие









,
,
)
1
(
1
b
at
y
b
t
a
y
t
t
т.е.
a
y
y
t
t


1
. (Абсолютные цепные приросты одинаковы для всего ряда
— равномерное развитие.)
Если абсолютные цепные приросты ряда примерно постоянны, то тренд следует искать в виде линейной зависимости.
(б) Пусть ряд динамики идеально соответствует экспоненциальной зависимости. Тогда









,
,
)
1
(
1
at
t
t
a
t
be
y
be
y
т.е.
a
t
t
e
y
y

1
. (Коэффициенты роста постоянны — развитие по закону гео- метрической прогрессии.)
Если коэффициенты роста (темпы роста, темпы прироста) ряда при- мерно постоянны, то тренд следует искать в виде экспоненциальной зависимости.
Пример 25. В таблице показана динамика золотовалютных резервов
ЦБ России (Y, млрд. долларов) в июне-июле 2001 года.
Дата
8.06 15.06 22.06 29.06 6.07 13.07 22.07 27.07
t
0 1
2 3
4 5
6 7
t
y
33.1 33.6 34.0 34.6 35.2 35.5 35.9 36.2 ц
t

–
0.5 0.4 0.6 0.6 0.3 0.4 0.3

51
Здесь абсолютные цепные приросты более или менее стабильны (во вся- ком случае, не обнаруживают тенденции к возрастанию или убыванию).
Найдём линейный тренд. Оценка параметров парной линейной регрессии даёт выборочное уравнение
2 33 446 0


t
y
t
, где t – число прошедших недель, начиная с 8 июня. Коэффициент детерминации r
2
= 0.986
Выявленная тенденция позволяет экстраполировать данные, т.е. де- лать прогноз. Пусть, например, мы хотим предсказать уровень золотова- лютных резервов к началу сентября 2001 года, т.е. через 12 недель после 8 июня. Из уравнения регрессии получаем
6 38
)
12
(

t
y
12.3. Как линеаризовать модель с экспоненциальным
трендом?
Пусть истинное соотношение между Y и t близко к функции
at
be
Y 
. Требуется линеаризовать регрессионную модель.
Если случайный член ε в исходном соотношении присутствует не как слагаемое, а как множитель, логарифмирование даёт линейную модель регрессии
t
t
t
c
at
b
at
y








ln ln ln
, откуда
t
a
c
t
e
e
y
*
*

Пример 26. Имеются данные об объёме продаж компьютерных дис- ков магазином (Y, шт.) в течение 5 лет:
Как видно, коэффициенты роста приблизительно постоянны. Найдём экс- поненциальный тренд. Для этого представим данные в виде следующей таблицы:
Выборочное уравнение линейной регрессии имеет вид
)
9995 0
(
83 5
694 0
ln
2



r
t
y
t
, откуда
t
t
e
y
694 0
340

. Прогноз на 2001 год:
10930
)
5
(

t
y
Год
1996 1997 1998 1999 2000
t
0 1
2 3
4
t
y
350 660 1340 2780 5490 ц
t
K
–
1.89 2.03 2.07 1.97
t
0 1
2 3
4
t
y
ln
5.86 6.49 7.20 7.93 8.61

52
13. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ РЯДА ДИНАМИКИ.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
13.1. Что такое автокорреляция уровней ряда динамики?
Весьма часто последующий уровень ряда динамики коррелирует с предыдущими уровнями. Это явление, имеющее место как при наличии тренда (тенденции), так и при наличии циклических колебаний, называется
автокорреляцией уровней ряда.
Пример 27. Имеются данные о динамике обменного курса доллара за 12 месяцев отчётного года (Y – обменный курс в рублях, t – номер ме- сяца).
Проанализируем автокорреляцию уровней ряда, составив следую- щую таблицу:
Найдём линейный коэффициент корреляции между
t
y и
1

t
y
. Для этого придётся произвести следующие вычисления:
;
26 641 1
1
;
1 25 1
1
;
49 25 1
1 2
1 1
2 1
1 2



















n
t
t
t
t
t
n
t
t
t
n
t
t
t
y
y
n
y
y
y
n
y
y
n
y
;
464 1
;
428 1
;
47 631 1
1
;
22 651 1
1 2
1 2
2 2
1 2
1 2
2 2















t
t
n
t
t
t
n
t
t
t
y
n
y
y
n
y


t
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 12
t
y
23.1 23.5 24.0 24.5 24.7 25.2 25.6 25.8 26.0 26.6 27.1 27.4
t
t
y
1

t
y
2

t
y
3

t
y
1 23.1
–
–
–
2 23.5 23.1
–
–
3 24.0 23.5 23.1
–
4 24.5 24.0 23.5 23.1 5
24.7 24.5 24.0 23.5 6
25.2 24.7 24.5 24.0 7
25.6 25.2 24.7 24.5 8
25.8 25.6 25.2 24.7 9
26.0 25.8 25.6 25.2 10 26.6 26.0 25.8 25.6 11 27.1 26.6 26.0 25.8 12 27.4 27.1 26.6 26.0

53 9935 0
1 1
1 1
1








t
t
t
t
t
t
y
y
y
y
y
y
r
r
t
t


Полученный коэффициент называется коэффициентом автокорреляции 1-
го порядка. Его значение, близкое к 1, свидетельствует об очень сильной зависимости между обменными курсами доллара текущего и непосредст- венно предшествующего месяцев.
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции более высоких порядков. Например, коэффициент автокорреляции второго по- рядка может быть вычислен по формуле
2 2
2 2
2







t
t
t
t
t
t
y
y
y
y
y
y
r
r
t
t


, где
;
2 1
;
2 1
;
2 1
3 2
2 3
2 2
3
















n
t
t
t
t
t
n
t
t
t
n
t
t
t
y
y
n
y
y
y
n
y
y
n
y










n
t
t
t
n
t
t
t
y
n
y
y
n
y
3 2
2 2
2 3
2 2
2 1
;
2 1
Необходимо отметить, что с ростом порядка коэффициента автокорреля- ции количество пар значений, используемых при расчётах, снижается. По- этому и значения
t
y и
t

, используемые при вычислении различных ко- эффициентов автокорреляции, будут несколько изменяться.
Для данных рассматриваемого примера
0.9822 0.9841,
3 2


r
r
. Это тоже очень высокие значения, но они меньше, чем
1
r .
Запаздывание на

временных интервалов между уровнями времен- ного ряда
t
y и


t
y
называется лагом. Считается, что лаг не должен превышать
4
n
, где n – общая длина временного ряда.
Последовательность коэффициентов автокорреляции с лагом 1, 2, … называется автокорреляционной функцией временного ряда. Если наиболее высоким оказался коэффициент с лагом 1, то имеется толь- ко линейная тенденция. Если наиболее высоким оказался коэффици- ент с лагом

, то во временном ряде содержится циклическая со- ставляющая с периодом

Таким образом, в примере 27 выявлена сильная линейная тенденция и не выявлено цикличности.

54
Пример 28. В течение 4 лет изучалась динамика потребления электроэнергии на промышленном предприятии в зимний и летний пе- риоды времени. В таблице представ- лены среднесуточные объёмы потреб- ления электроэнергии за каждый сезон
(Y , тыс. кВт час / сутки). Выявить ли- нейную тенденцию и цикличность временного ряда.
Действуя точно так, как при решении примера 26, можно получить сле- дующие значения коэффициентов автокорреляции:
0.956 0.796;
2 1


r
r
.
Это указывает на наличие заметной линейной тенденции и чётко выражен- ной сезонной цикличности. На рис.6 зимние сезоны имеют нечётные, а летние сезоны – чётные номера. Действительно, можно видеть, что от года к году происходит рост значений количественного признака, однако на эту тенденцию накладываются колебания с лагом 2, т.е. с периодом в 1 год. В летние сезоны потребление электроэнергии снижается, или, по крайней мере, замедляет рост. Таким образом, ряд динамики имеет «пилообраз- ную» структуру.
В заключение данного пункта кратко остановимся на понятии неста-
ционарного временного ряда.
Эконометрическая модель называется динамической, если в данный момент времени t она учитывает значения входящих в неё перемен- ных, относящихся не только к текущему, но и к предыдущим момен- там времени. Соответствующие переменные называются лаговыми.
Сам временной ряд в этом случае называется нестационарным.
Год
Сезон
Y
2000 зима
62 2000 лето
60 2001 зима
68 2001 лето
65 2002 зима
75 2002 лето
76 2003 зима
84 2003 лето
82
Р и с .6
5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1
2 3
4 5
6 7
8
Н о м ер сез о н а
Y

55
Пример: расходы населения на некоторые виды товаров (обычно до- рогостоящих) зависят не только от уровня доходов данного периода, но и от доходов предыдущего периода (года).
13.2. Можно ли моделировать циклические колебания?
Циклические колебания в экономике чаще всего связаны с сезонны- ми изменениями. Для включения в модель временного ряда циклической составляющей существует несколько подходов.
1-ый подход заключается в использовании различных методик, раз- работанных в общей теории статистики. Это, прежде всего, метод сколь-
зящей средней с введением корректирующих множителей или слагаемых, соответствующих сезону, кварталу, месяцу и т.п.
2-ой подход основан на гармоническом анализе: для моделирования сложного квазипериодического процесса используется тригонометриче- ский ряд (ряд Фурье).
3-ий подход реализует модель регрессии с фактором времени и не- сколькими фиктивными переменными, каждая из которых отражает цик- лическую компоненту временного ряда для какого-либо одного периода.
Она (переменная) равна единице для данного периода и нулю для всех ос- тальных периодов. Мы рассмотрим именно этот подход, поскольку он наиболее “эконометричен”.
Пусть, например, имеются поквартальные данные за несколько лет.
Выявлена годовая цикличность, т.е. наибольшее значение имеет коэффи- циент автокорреляции с лагом 4. Тогда можно построить регрессионную модель в виде
t
t
b
x
a
x
a
x
a
t
a
y







3 3
2 2
1 1
0
,
где




кварталов,
остальных для
0
,
квартала для
1
j
x
j
3
,
2
,
1

j
.
Фактически это означает, что: для 1-го кв.
t
t
b
a
t
a
y





1 0
;
для 2-го кв.
t
t
b
a
t
a
y





2 0
;
для 3-го кв.
t
t
b
a
t
a
y





3 0
;
для 4-го кв.
t
t
b
t
a
y




0
.
Количество фиктивных переменных должно быть на 1 меньше, чем число моментов (периодов) одного цикла колебаний.