Гефан Г.Д. Эконометрика, 2005. Учебное пособие для студентов специальностей Бухгалтерский учёт, анализ и аудит

• Название: Учебное пособие для студентов специальностей Бухгалтерский учёт, анализ и аудит
• Дата: 04.06.2020
• Размер: 0.9 Mb.
• Имя файла: Гефан Г.Д. Эконометрика, 2005.pdf
• Тип: Учебное пособие; #128060
• страница: 9 из 10

Пример 33. В течение 10 лет собирались данные о национальном доходе X (млрд. долл.) и агрегированном потреблении
C
(млрд. долл.). С помощью модели Кейнса требуется:
 оценить линейную регрессию
C
по X уравнением
*
*
b
x
a
c
x


, ис- пользовав обычный МНК;
 исключив из системы уравнений величину X , оценить регрессию
C
по
U
уравнением
*
*




u
c
u
, где
C
X
U


– инвестиции;
 найти оценки
*
a и
*
b косвенным МНК;
 на одном графике показать исходные данные и две линии регрессии
C
по X .
Решение
Используя обычный МНК, при оценке регрессии
C
по X получаем
69 147 576 0


x
c
x
Задавая
C
X
U


и оценивая регрессию
C
по
U
, найдём
15 538 980 0


u
c
u
Отсюда
495 0
*

a
,
85 271
*

b
, т.е.
85 271 495 0


x
c
x
На рис.8 исходные данные показаны точками, линия регрессии, получен- ная обычным МНК – жирной прямой, косвенным МНК – тонкой прямой.
t
X
C
1 1130 704 2
1159 856 3
1185 903 4
1424 976 5
1426 969 6
1594 1011 7
1675 1138 8
1857 1145 9
1828 1257 10 1942 1291
Рис. 8
600 800 1000 1200 1400 1000 1200 1400 1600 1800 2000
X
C

65
Вопросы для самоконтроля
1. Охарактеризуйте положение эконометрики среди других наук.
2. Какие модели являются инструментом эконометрики? Каковы важ- нейшие задачи эконометрики?
3. Какие основные этапы включает в себя эконометрическое исследова- ние?
4. Какие типы данных используются при статистическом моделировании экономических процессов?
5. Почему серьёзные эконометрические исследования стали возможны только в результате появления быстродействующих компьютеров?
6. Почему эконометрика не изучалась в советских вузах?
7. С какими разделами математики тесно связана эконометрика?
8. В чём различие функциональной зависимости и корреляционной связи?
9. Приведите и проанализируйте собственный пример корреляционной зависимости величин: в природе; в общественной жизни; в технике или в производстве; в экономике.
10. Что такое ковариация (корреляционный момент)? Почему ковариация
(корреляционный момент) является неудобным измерителем тесноты корреляции?
11. Что такое выборочный коэффициент корреляции? Какова область его возможных значений?
12. Охарактеризуйте корреляцию между X и Y,если коэффициент корреля- ции
85 0


xy
r
13. В каком случае коэффициент корреляции равен единице?
14. Сформулируйте цель регрессионного анализа.
15. Какая функция минимизируется при применении метода наименьших квадратов?
16. Известны результаты парных измерений двух количественных призна- ков —X и Y. Какие средние величины нужно вычислить для оценива- ния коэффициентов парной линейной регрессии Y по X?
17. Как связаны между собой линейный коэффициент корреляции r и уг- ловой коэффициент уравнения парной линейной регрессии a?
18. Назовите координаты точки на плоскости OXY, через которую обяза- тельно проходит линия регрессии (при известном наборе парных дан- ных).
19. В каких единицах будет измеряться корреляционный момент двух ко- личественных признаков: возраст человека и его среднемесячный до- ход?
20. Получены 3 пары значений количественных признаков X и Y: x
1
= 1, y
1
= 2; x
2
= 3, y
2
= 9; x
3
= 5, y
3
= 11. Чему равен корреляционный момент
(ковариация)?

66 21. Получены 3 пары значений количественных признаков X и Y: x
1
= 1, y
1
= 3; x
2
= 3, y
2
= 9 и x
3
= 4, y
3
= 12. Чему равен выборочный коэффициент корреляции? (Постарайтесь ответить без вычислений.)
22. Что такое ошибки регрессии?
23. В чём заключается свойство гомоскедастичности?
24. Что такое автокорреляция остатков? В каких задачах чаще всего при- ходится иметь дело с проблемой автокорреляции?
25. Что такое остатки регрессии и чем они отличаются от ошибок регрес- сии?
26. Какая величина называется стандартной ошибкой оценки (в случае парной регрессии)?
27. Как рассчитываются стандартные отклонения коэффициентов парной регрессии?
28. Дайте определение t-статистики коэффициента регрессии. Как прове- ряется гипотеза о значимости коэффициента регрессии?
29. Какие суммы квадратов рассчитываются при анализе вариации по уравнению регрессии?
30. Что такое коэффициент детерминации? Как оценивается качество рег- рессии?
31. Как связан коэффициент детерминации парной линейной модели рег- рессии с коэффициентом линейной корреляции?
32. В чём состоит F-тест для оценки значимости регрессии? Как связаны между собой F-статистика и коэффициент детерминации?
33. Почему модель парной регрессии часто является недостаточной?
34. Как выглядит линейная модель множественной регрессии?
35. Какие геометрические образы являются графиками уравнения линей- ной регрессии в случаях: (1) одной объясняющей переменной; (2) двух объясняющих переменных?
36. Как ведёт себя качество регрессии при включении в модель дополни- тельных переменных?
37. Как учесть в модели регрессии влияние качественных факторов? При- ведите пример.
38. Что такое фиктивная переменная? Приведите примеры.
39. Что такое линейность по переменным и линейность по параметрам?
40. Как линеаризовать степенную функцию?
41. Как с помощью модели регрессии оценить эластичность спроса?
42. Что такое гетероскедастичность случайного члена, и каковы её вред- ные последствия?
43. В чём состоит тест Голдфелда-Квандта?
44. Опишите переход от обычного МНК к обобщённому. Для чего он при- меняется?
45. Назовите наиболее часто используемые виды временного тренда.
46. Как выбрать подходящий временной тренд по показателям ряда дина- мики?

67 47. Как линеаризовать модель с экспоненциальным временным трендом?
48. Что такое автокорреляция уровней ряда динамики?
49. Что такое лаг?
50. Как рассчитываются коэффициенты автокорреляции с лагом 1, 2, и т.д.?
51. Что такое автокорреляционная функция?
52. Назовите основные подходы к моделированию циклических (сезонных) колебаний.
53. Что такое ложная корреляция? Приведите пример.
54. Как при анализе взаимосвязей исключить временной тренд?
55. Каковы причины и последствия автокорреляции остатков регрессии?
56. Что такое авторегрессия?
57. Как оцениваются коэффициенты автокорреляции и авторегрессии? Как применяется статистика Дарбина-Уотсона?
58. Каковы возможные подходы к устранению автокорреляции остатков регрессии?
59. Объясните различие между экзогенными и эндогенными переменными модели. Приведите пример.
60. Объясните проблему, возникающую при рассмотрении одновременной системы уравнений (на примере кейнсианской модели потребления).
61. Приведённая форма уравнений кейнсианской модели потребления.
62. Оценки коэффициентов регрессии по косвенному методу наименьших квадратов (на примере кейнсианской модели потребления).

68
Образцы заданий контрольных работ
Контрольная работа № 1.
Свойства моделей регрессии
Задание 1
В таблице приводятся выборочные данные о площади (Х, кв. м) и це- не (Y, тыс. долларов) 10 квартир.
Требуется:
 найти выборочный коэффициент линейной корреляции
xy
r
;
 записать выборочное уравнение линейной регрессии
*
*
b
x
a
y
x


, построить на одном графике данные наблюдений и найденную ли- нию регрессии;
 предсказать цену квартиры площадью 50 кв. м;
 определить s (стандартную ошибку оценки Y), а также
a
s и
b
s (стан- дартные отклонения оценок коэффициентов регрессии);
 проверить значимость коэффициента регрессии a при α = 0.05;
 с помощью коэффициента детерминации r
2 выявить долю вариации
(%), объясняемую линейной регрессией Y по X;
 с помощью F - теста проверить значимость регрессии.
Ответы:
Квартира площадью 50 кв. м будет стоить в среднем 16.83 тыс. долла- ров.
Коэффициент регрессии a является значимым, т.к.
a
t
>
cr
t
2
.
86.8% вариаций цены квартиры объясняется вариациями её площади.
Регрессия Y по X является значимой, т.к. F >
cr
F .
Примечание. При выполнении задания см. примеры 7-12.
Задание 2
В фирме, занимающейся перевозками пассажиров, на десяти автомо- билях работает десять таксистов. В таблице представлены следующие дан-
x
i
58 74 36 44 70 52 57 65 37 45
y
i
20 21 12 15 22 18 17 23 14 16
xy
r
*
a
*
b
)
50
(
x
y
s
a
s
b
s
a
t
cr
t
2 2
r
F
cr
F
0.932 0.255 4.091 16.832 1.403 0.035 1.938 7.266 2.310 0.868 52.796 5.320

69 ные для каждого таксиста:
1
X – водительский стаж (годы); Х
2
– срок экс- плуатации автомобиля (годы), Y – среднедневная выручка (тыс. руб.):
Требуется:
 оценить линейную регрессию уравнением
*
2
*
2 1
*
1
,
2 1
b
x
a
x
a
y
x
x



;
 определить s (стандартную ошибку оценки Y), а также
1
a
s
и
2
a
s
(стан- дартные отклонения оценок коэффициентов регрессии);
 найти t -статистики коэффициентов
1
a и
2
a и сделать вывод об их значимости;
 предсказать среднедневную выручку для таксиста с водительским стажем 12 лет и сроком эксплуатации автомобиля 5 лет;
 найти коэффициент детерминации модели;
 с помощью F- теста оценить значимость регрессии.
Ответы
Коэффициент регрессии
1
a является значимым, т.к.
1
a
t
>
cr
t
2
.
Коэффициент регрессии
2
a является значимым, т.к.
2
a
t
>
cr
t
2
.
Для таксиста с водительским стажем 12 лет и сроком эксплуатации автомобиля 5 лет среднедневная выручка будет составлять в среднем 1497 рублей.
80.2% вариаций среднедневной выручки объясняется вариациями во- дительского стажа и срока эксплуатации автомобиля.
Регрессия Y по
1
X и
2
X является значимой, т.к. F >
cr
F .
Примечание. При выполнении задания см. пример 13.
Задание 3
В таблице для выборки из 10 семей приведены данные о среднеду- шевых годовых доходах X и потребительских расходах на питание Y (тыс. руб.).
x
1i
5 7
12 2
6 7
3 5
8 3
x
2i
4 6
3 9
12 3
5 0
3 5
y
i
1.1 1.3 1.6 0.7 0.9 1.3 0.9 1.7 1.2 1.0
*
1
a
*
2
a
*
b
s
1
a
s
2
a
s
1
a
t
2
a
t
cr
t
2
)
5
,
12
(
2 1
, x
x
y
2
r
F
cr
F
0.053 -0.057 1.152 0.160 0.019 0.016 2.772 -3.5 2.36 1.497 0.802 14.16 4.74
x
i
22 33 27 17 15 35 24 27 40 33
y
i
15 22 18 12 11 18 14 19 20 18

70
Требуется:
 оценить линейную регрессию Y по X уравнением
*
*
b
x
a
y
x


и найти коэффициент детерминации этой модели;
 оценить параметры степенной модели
a
bX
Y 
, линеаризовав её с помощью логарифмирования, найти коэффициент детерминации и сделать вывод о том, какая из двух регрессий (линейная или степен- ная) имеет более высокое качество;
 определить, на сколько процентов увеличиваются расходы на пита- ние, если доход увеличивается на 1 процент.
 предполагая, что в линейной модели регрессии дисперсия случайно- го члена прямо пропорциональна квадрату объясняющей перемен- ной, перейти к обобщённому МНК и оценить коэффициенты регрес- сии;
 на одном графике показать исходные данные и две линии регрессии, полученные обычным МНК и обобщённым МНК.
Ответы
Степенная регрессия имеет более высокое качество, чем линейная.
Согласно степенной модели, расходы на питание увеличиваются на
0.66%, если доход увеличивается на 1 процент.
Примечание. При выполнении задания см. примеры 21, 24.
Контрольная работа № 2.
Ряды динамики и системы одновременных
уравнений
Задание 4
Имеются данные о динамике обменного курса доллара за 12 месяцев отчётного года (Y – обменный курс в рублях, t – номер месяца).
Требуется:
 найти автокорреляционную функцию уровней ряда динамики (коэф- фициенты автокорреляции для лага 1, 2 и 3);
 сделать вывод о наличии линейной тенденции и цикличности;
Линейная регрессия
(обычный МНК)
Степенная регрессия
Линейная регрессия
(обобщённый МНК)
*
a
*
b
2
r
*
a
*
b
2
r
*
a
*
b
0.387 6.152 0.762 0.655 1.924 0.841 0.442 4.700
t
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 12
t
y
23.4 23.6 24.4 23.5 24.1 24.7 24.5 24.3 24.8 24.4 24.6 25.2

71
 оценить линейную тенденцию развития Y во времени уравнением
*
*
b
t
a
y
t


;
 найти коэффициент детерминации модели;
 дать прогноз обменного курса на основе линейной регрессии на июнь будущего года.
Ответы:
Установлена слабая линейная тенденция и заметная циклическая со- ставляющая с лагом 3 месяца (
2 3
1 3
,
r
r
r
r


). Дать прогноз на основе ли- нейного тренда невозможно. Необходимо смоделировать циклические ко- лебания, что выходит за рамки данного задания.
Примечание. При выполнении задания см. примеры 27, 28.
Задание 5
В течение 10 лет собирались данные о национальном доходе X
(млрд. долл.) и агрегированном потреблении
C
(млрд. долл.).
С помощью модели Кейнса требуется:
 оценить линейную регрессию
C
по X урав- нением
*
*
b
x
a
c
x


, использовав обычный
МНК;
 исключив из системы уравнений величину
X , оценить регрессию
C
по
U
уравнением
*
*




u
c
u
, где
C
X
U


– инвестиции;
 найти оценки
*
a и
*
b косвенным МНК;
 на одном графике показать исходные данные и две линии регрессии
C
по X .
Ответы:
Примечание. При выполнении задания см. пример 33.
1
r
2
r
3
r
*
a
*
b
2
r
прогноз
0.431 0.306 0.809 0.125 23.480 0.665
–
t
X
C
1 1103 740 2
1195 865 3
1158 930 4
1442 967 5
1462 996 6
1549 1011 7
1657 1183 8
1875 1154 9
1882 1275 10 1924 1219
Обычный
МНК
Косвенный
МНК
Регрессия
C
по
U
*
a
*
b
*
a
*
b
*
α
*
β
0.520 241.342 0.450 347.85 0.818 632.483

72
Варианты заданий контрольных работ
Задание 1
i
x
32 70 66 41 32 74 52 76 72 32
Вариант 1
i
y
13 23 20 13 12 23 16 24 22 12
i
x
79 49 50 68 61 71 53 71 67 44
Вариант 2
i
y
26 18 16 22 17 22 16 22 19 16
i
x
64 49 45 39 60 61 58 47 36 47
Вариант 3
i
y
23 17 18 15 21 18 19 16 14 15
i
x
55 42 51 44 39 69 47 34 60 58
Вариант 4
i
y
17 15 19 14 13 19 16 13 19 21
i
x
46 52 35 77 70 71 38 79 39 43
Вариант 5
i
y
15 18 14 21 24 20 16 23 12 17
i
x
70 40 79 66 68 59 51 55 57 64
Вариант 6
i
y
20 14 25 23 21 19 15 19 19 21
i
x
38 72 53 51 48 33 79 61 39 80
Вариант 7
i
y
14 20 18 18 17 13 25 21 12 25
i
x
55 37 58 77 43 60 59 47 50 40
Вариант 8
i
y
20 13 17 22 15 21 19 15 19 14
i
x
52 42 51 34 39 69 52 34 63 58
Вариант 9
i
y
17 16 19 12 13 25 16 14 19 19
i
x
54 52 35 67 70 73 38 74 39 41
Вариант 10
i
y
15 13 14 25 24 19 16 21 10 17

73
Задание 2
i
x
1 7
2 2
7 7
3 4
3 6
7
i
x
2 3
6 7
3 3
5 4
3 7
5
Вариант 1
i
y
1.4 0.9 0.9 1.4 1.4 1.0 1.2 1.1 1.1 1.3
i
x
1 5
2 7
6 6
7 6
3 7
6
i
x
2 4
7 7
7 6
3 2
5 7
4
Вариант 2
i
y
1.2 0.9 1.1 1.1 1.1 1.4 1.4 1.1 1.1 1.3
i
x
1 6
7 7
2 4
5 7
3 5
3
i
x
2 2
2 7
2 4
4 6
3 7
3
Вариант 3
i
y
1.3 1.4 1.1 1.2 1.1 1.2 1.2 1.1 1.0 1.2
i
x
1 3
7 3
2 4
5 2
4 3
5
i
x
2 4
2 6
5 2
7 5
3 2
7
Вариант 4
i
y
1.1 1.4 1.0 1.0 1.2 1.1 1.0 1.2 1.2 1.0
i
x
1 4
2 6
6 7
5 7
5 2
3
i
x
2 2
3 4
4 7
7 2
5 3
7
Вариант 5
i
y
1.2 1.1 1.2 1.3 1.1 1.0 1.4 1.1 1.1 1.0
i
x
1 5
3 5
5 4
7 2
4 6
6
i
x
2 7
3 5
3 6
5 5
2 4
4
Вариант 6
i
y
1.1 1.2 1.1 1.3 1
1.2 1.0 1.3 1.2 1.2
i
x
1 5
3 3
4 7
7 7
5 2
7
i
x
2 3
4 3
3 7
6 2
4 6
6
Вариант 7
i
y
1.3 1.1 1.1 1.2 1.1 1.2 1.4 1.2 1.0 1.2
i
x
1 4
4 2
3 3
6 4
4 4
6
i
x
2 7
2 3
2 3
2 4
5 3
5
Вариант 8
i
y
1.0 1.2 1.1 1.2 1.1 1.4 1.1 1.1 1.2 1.2
i
x
1 6
3 4
3 7
3 3
4 3
2
i
x
2 7
2 6
6 4
6 6
3 5
2
Вариант 9
i
y
1.1 1.2 1.1 1.0 1.3 1.0 1.0 1.2 1.1 1.2
i
x
1 3
5 7
2 5
2 7
3 4
6
i
x
2 4
2 7
4 7
5 3
2 3
5
Вариант 10
i
y
1.1 1.3 1.2 1.0 1.0 1.0 1.3 1.2 1.2 1.2

74
Задание 3
i
x
32 36 19 21 19 24 26 14 19 20
Вариант 1
i
y
16 18 14 14 15 16 16 11 14 13
i
x
48 35 36 38 25 46 38 44 49 22
Вариант 2
i
y
22 19 18 18 16 22 19 20 21 16
i
x
24 12 40 37 44 45 16 30 18 41
Вариант 3
i
y
16 11 19 20 21 23 13 16 14 19
i
x
46 35 32 45 28 21 24 22 14 32
Вариант 4
i
y
21 17 17 20 17 15 14 14 11 19
i
x
40 16 33 27 42 35 38 37 26 14
Вариант 5
i
y
19 14 19 15 20 18 18 17 16 12
i
x
11 30 24 29 46 38 30 38 44 25
Вариант 6
i
y
10 18 15 16 21 18 18 18 19 16
i
x
43 42 37 13 37 17 44 28 19 14
Вариант 7
i
y
21 21 18 10 18 13 21 16 13 13
i
x
41 29 25 18 36 20 43 31 21 27
Вариант 8
i
y
20 17 16 13 20 13 20 19 13 16
i
x
30 32 17 23 18 27 24 12 15 24
Вариант 9
i
y
17 14 16 15 16 15 16 10 14 13
i
x
38 37 34 38 23 48 35 42 47 22
Вариант 10
i
y
20 17 19 16 17 23 19 24 22 16

75
Задание 4
t
(м ес яц
)
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 12
В
ар и
ан т
1
y
t
19.
50 20.
22 21.
05 21.
23 21.
30 21.
40 22.
24 23.
07 23.
36 23.
75 24.
61 24.
82
В
ар и
ан т
2
y
t
22.
35 22.
46 23.
16 22.
80 23.
42 22.
93 23.
76 23.
68 24.
75 24.
40 25.
04 25.
15
В
ар и
ан т
3
y
t
24.
45 25.
40 26.
45 25.
14 25.
95 26.
90 25.
42 25.
98 27.
29 25.
64 26.
23 27.
72
В
ар и
ан т
4
y
t
21.
40 21.
27 20.
98 20.
83 20.
73 20.
31 20.
79 20.
31 19.
84 20.
02 20.
10 20.
98
В
ар и
ан т
5
y
t
22.
08 22.
52 22.
70 22.
76 23.
68 23.
42 24.
40 24.
33 24.
58 24.
60 25.
35 24.
98
В
ар и
ан т
6
y
t
20.
10 20.
70 21.
30 20.
33 21.
62 21.
64 21.
00 22.
05 22.
20 21.
54 22.
23 22.
31
В
ар и
ан т
7
y
t
20.
80 21.
17 21.
41 22.
30 22.
71 23.
49 23.
70 23.
73 23.
75 24.
15 24.
25 24.
45
В
ар и
ан т
8
y
t
23.
04 22.
56 23.
41 23.
04 24.
11 23.
40 24.
67 24.
25 25.
12 24.
27 26.
02 25.
10
В
ар и
ан т
9
y
t
24.
28 24.
60 25.
12 24.
69 25.
05 25.
47 25.
63 25.
55 25.
54 26.
52 26.
26 26.
31
В
ар и
ан т
10
y
t
23.
60 24.
56 25.
43 26.
23 26.
76 27.
68 27.
91 28.
35 28.
81 29.
16 29.
66 29.
91

76
Задание 5
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
t
t
x
t
c
t
x
t
c
t
x
t
c
t
x
t
c
1 1144 784 1010 775 1175 777 1082 805 2
1179 853 1242 854 1259 843 1184 855 3
1245 925 1273 909 1302 850 1336 855 4
1444 986 1312 967 1453 925 1315 929 5
1406 963 1444 1015 1546 954 1429 1045 6
1674 1021 1667 1092 1672 1028 1526 1031 7
1698 1124 1743 1101 1635 1064 1609 1104 8
1830 1121 1701 1151 1807 1172 1766 1112 9
1858 1247 1861 1178 1893 1153 1978 1249 10 1912 1211 1969 1264 2073 1232 1959 1251
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
t
t
x
t
c
t
x
t
c
t
x
t
c
t
x
t
c
1 1025 784 1095 832 1157 833 1064 835 2
1277 832 1115 876 1103 873 1238 838 3
1395 883 1334 854 1355 906 1364 922 4
1356 972 1357 943 1419 935 1409 903 5
1408 1005 1468 1005 1472 1019 1430 1030 6
1558 1004 1573 1093 1643 1089 1514 1022 7
1795 1100 1799 1091 1751 1088 1726 1079 8
1856 1131 1708 1191 1861 1128 1833 1153 9
1997 1247 1980 1235 1831 1168 1824 1177 10 1953 1247 1987 1204 2069 1263 1952 1274
Вариант 9
Вариант 10
t
t
x
t
c
t
x
t
c
1 1091 846 1058 750 2
1153 835 1121 861 3
1288 863 1346 949 4
1306 917 1304 921 5
1495 986 1523 1024 6
1522 1093 1649 1062 7
1650 1067 1753 1082 8
1752 1119 1800 1138 9
1849 1203 1953 1162 10 1967 1255 2064 1266

77