Гефан Г.Д. Эконометрика, 2005. Учебное пособие для студентов специальностей Бухгалтерский учёт, анализ и аудит

• Название: Учебное пособие для студентов специальностей Бухгалтерский учёт, анализ и аудит
• Дата: 04.06.2020
• Размер: 0.9 Mb.
• Имя файла: Гефан Г.Д. Эконометрика, 2005.pdf
• Тип: Учебное пособие; #128060
• страница: 8 из 10

Пример 29. Для данных примера 28 построить модель с циклической составляющей, зависящей от сезона (зима-лето).
Регрессионная модель будет иметь вид
t
t
b
x
a
t
a
y





1 0
,
где




лета.
для
0
,
зимы для
1
x

56
Исходные данные показаны в таблице. Оценив пара- метры регрессии обычным методом наименьших квад- ратов, получим
52 25 5
75 3
,



x
t
y
x
t
;
0.984 2

r
Полученное уравнение регрессии показывает, что за год (т.е. за 2 сезона) среднесуточный объём потребле- ния электроэнергии в среднем возрастает на 7.5 тыс. кВт час. При этом зимнее среднесуточное потребление в среднем на 5.25 тыс. кВт час больше летнего (если исключить линейную тенденцию роста потребления со временем).
Стандартные отклонения коэффициентов регрессии составляют:
21 0
0

a
s
;
97 0
1

a
s
. Вычислив t -статистики коэффициентов, легко убе- диться в их значимости.
Попробуем использовать построенную модель для прогнозирования.
Предскажем среднесуточный объём потребления электроэнергии зимой и летом 2005 года:
97
)
0
,
12
(
;
5 98
)
1
,
11
(
,
,


x
t
x
t
y
y
14. ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ
ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ
14.1. Всегда ли высокое качество регрессии свидетельству-
ет об истинном влиянии факторного признака?
Пусть имеется 2 временных ряда:
t
x и
t
y . Если мы пытаемся по имеющимся временным данным строить модель
t
t
t
b
ax
y




, то может оказаться, что качество регрессии будет высоким, но на самом деле ника- кого прямого или даже косвенного влияния признака X на признак Y не существует. Это может быть вызвано наличием схожих трендов в каждом из временных рядов.
Например, если рассмотреть два временных ряда – для числа про- данных компьютеров
t
x и для числа выявленных правонарушений в Рос- сии
t
y в 1990 годы, то выявится заметная положительная корреляция, и качество регрессии не будет низким. Однако означает ли это, что увеличе- ние числа компьютеров вызывает рост правонарушений? Конечно, нет.
Настоящая причина заключается в другом: ряды имеют схожие тенденции к росту.
Корреляция, возникающая в результате схожих тенденций во вре- менных рядах двух количественных признаков, а не вследствие ре- ального влияния одного количественного признака на другой, назы- вается ложной.
t
x
t
y
1 1 62 2 0 60 3 1 68 4 0 65 5 1 75 6 0 76 7 1 84 8 0 82

57 14.2. Как при анализе взаимосвязей исключить временной
тренд?
Пример 30. Имеются данные за 7 лет о средней заработной плате ( X , долл./мес.) и сред- ней цене 1 кв. метра жилья (Y , долл.). Регресси- онным способом оценить влияние X на Y .
Оценивание параметров модели
t
t
b
ax
y




даёт:
0.65
;
0.872
;
361.4
-
3.80 2



a
x
s
r
x
y
Из этого результата следует, что с ростом средней заработной платы на 1 доллар средняя цена 1 кв. метра вырастает на 3.8 доллара.
Однако возникает вопрос: не переоценено ли влияние X на Y ? Дело в том, что оба количественных признака имеют схожие тенденции роста во времени. Следовательно, не исключено, что имеются общие причины, воз- действующие на оба признака, а влияние X на Y вовсе не является таким сильным. Иными словами, речь идёт о ложной корреляции.
Для исключения тренда можно включить фактор времени в модель регрессии. Тогда коэффициенты регрессии при других объясняющих переменных будут “очищены” от влияния времени.
Продолжим решение примера 30. Оценивание параметров модели
t
x
t
b
t
a
x
a
y





0 1
,
даёт:
0.74 9.68;
;
0.957
;
147.0
-
2.09 27.45 1
0 2
,





a
a
x
t
s
s
r
x
t
y
Таким образом, согласно данной модели, с ростом средней заработной платы на 1 доллар средняя цена 1 кв. метра вырастает не на 3.8, а лишь на
2.09 доллара. Коэффициент при t имеет смысл среднегодового прироста цены 1 кв. метра жилья за год. Отметим, что этот коэффициент отражает совокупное влияние всех факторов, за исключением фактора x .
15. ПРОБЛЕМА АВТОКОРРЕЛЯЦИИ ОСТАТКОВ
15.1. Каковы причины и последствия автокорреляции остат-
ков регрессии?
Понятие автокорреляции остатков было введено в п.5.1, где форму- лировались требования, предъявляемые к ошибке регрессии
t

при по- строении линейной регрессионной модели. Мы предположили, что авто- корреляция отсутствует, т.е. ошибки разных наблюдений некоррелирова- ны. Такое допущение позволяет считать, что оценки параметров регрессии, получаемые с помощью обычного МНК, являются несмещёнными, состоя- год t
t
x
t
y
1998 1 180 264 1999 2 155 252 2000 3 172 270 2001 4 182 331 2002 5 189 357 2003 6 200 473 2004 7 245 554

58 тельными и эффективными. Если автокорреляция имеет место, то оценки остаются несмещёнными и состоятельными, но перестают быть эффектив- ными, а стандартная ошибка оценки s (и, следовательно, стандартные от- клонения оценок коэффициентов регрессии) занижается. Образно говоря, модель регрессии с автокорреляцией хочет казаться лучше, чем она есть на самом деле.
Пример 31. В течение двух лет по данным, собранным на городских рынках, изучалась динамика цен на мясо. В таблице представлена средне- месячная цена (Y, руб.) 1 кг мяса. Кроме этого, приведены данные о сред- нем личном располагаемом доходе X, руб./месяц.
Построим линейную модель парной регрессии
t
t
t
b
ax
y




Оценив коэффициенты рег- рессии по методу наимень- ших квадратов, получаем:
3 7
,
3 13 034 0



s
x
y
x
На рис.7 показаны данные наблюдений и график выбо- рочного уравнения регрес- сии (сплошная линия). Об- ратите внимание: точки, для которых 1900 < X < 2400, оказались выше линии рег- рессии, т.к. они относятся к январю-маю, когда отмеча- ется сезонное повышение цен. Напротив, точки, для которых 2400 < X <
2750, находятся ниже линии регрессии, т.к. такой доход отмечался в июле- октябре, когда общий рост цены погашался её сезонным снижением. В це-
t
Месяц, 2000
X
Y
t
Месяц, 2001
X
Y
1 январь
1550 69.8 13 январь
2200 98.3 2 февраль
1620 65.2 14 февраль
2240 96.5 3 март
1700 72.6 15 март
2250 93.6 4 апрель
1800 74.2 16 апрель
2250 98.6 5 май
1750 67.1 17 май
2350 96.3 6 июнь
1800 68.0 18 июнь
2380 93.8 7 июль
1830 68.1 19 июль
2450 92.0 8 август
1880 65.3 20 август
2490 90.5 9 сентябрь
1860 68.4 21 сентябрь
2700 93.4 10 октябрь
1870 79.7 22 октябрь
2740 99.4 11 ноябрь
1900 79.6 23 ноябрь
2760 107.4 12 декабрь
1920 94.0 24 декабрь
2780 114.8
Рис. 7
60 70 80 90 100 110 120 1500 2000 2500 3000
X
Y

59 лом, очевидно, что остатки регрессии соседних наблюдений в основном имеют одинаковый знак, что говорит о положительной автокорреляции.
(При отрицательной автокорреляции за положительным остатком обычно следует отрицательный остаток в следующем наблюдении.)
Итак, хотя мы не включили время в число переменных регрессион- ной модели, зависимость Y от времени присутствует неявно, через времен- ную зависимость переменной X. Однако, поскольку время влияет не только через X, но и через неучтённые факторы (которые, например, являются причиной сезонных вариаций), то это неучтённое влияние аккумулируется в случайном члене, что и является причиной автокорреляции.
В регрессионном анализе автокорреляция обычно связана с исполь- зованием данных временных рядов.
15.2. Как обнаружить автокорреляцию?
Для того чтобы научиться обнаруживать автокорреляцию, сделаем некоторые предположения о её характере.
Если ошибки регрессии отдельных наблюдений подчинены соотно- шению
n
t
t
t
t
...,
,
3
,
2
,
1







(
t

— независимые, нормально распределённые случайные величи- ны с нулевым математическим ожиданием и одной и той же диспер- сией), то говорят, что имеет место авторегрессионный процесс 1-го порядка. Величина
)
1
(



называется коэффициентом авторег-
рессии. Заметим, что если M(ε
1
) = 0, то и M(
t

) = 0 для всех после- дующих наблюдений.
В чём смысл этого условия? При отсутствии автокорреляции ошибки регрессии отдельных наблюдений некоррелированы. Очевидно, что в этом случае
0


. Если
0


, то ошибка t-го наблюдения зависит от ошибки предыдущего, (t – 1) –го наблюдения, причём при
0


автокорреляция положительна, а при
0


— отрицательна. Процесс имеет 1-ый порядок, поскольку “запаздывание” равно единице. (Если, скажем, имеет место со- отношение между t-ым и (t – 4)-ым наблюдениями, то речь идёт об авто- регрессии 4-го порядка. Таких случаев мы рассматривать не будем.)
15.3. Как оценить коэффициенты авторегрессии
и автокорреляции?
Конечно, ошибки регрессии
t

нам не известны, и непосредственно проверить их корреляцию невозможно. Однако по данным наблюдений можно оценить регрессию, рассчитать её остатки

60
*
*
b
x
a
y
e
t
t
t



и дать оценку автокорреляции.
Оценкой коэффициента авторегрессии по обычному МНК служит выражение
2 1
2 1
1 1
*
)
(







t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e

, составленное по общему принципу (см. п.3.1). Для достаточно большой выборки
0 1



t
t
e
e
. Поэтому
















n
t
t
n
t
t
t
n
t
t
n
t
t
t
e
e
e
n
e
n
e
e
2 2
1 2
1 2
2 1
2 1
*
/
1
:
1

Можно показать, что оценка коэффициента автокорреляции совпадает с оценкой коэффициента авторегрессии, т.е.
*
*
auto


r
Пример 32 (продолжение примера 31). В предположении, что имеет место авторегрессионный процесс 1-го порядка, оценить коэффициенты авторегрессии и автокорреляции.
Решение. Удобно составить следующую таблицу.
В результате получаем
693 0
*
*
auto



r
Для проверки значимости коэффициента автокорреляции использу- ется статистика Дарбина-Уотсона
)
1
(
2
*
auto
r
d


, которая равна 0 при абсолютной положительной автокорреляции, равна 4 при абсолютной отрицательной автокорреляции и равна 2 в отсутствие ав- токорреляции. Таблицы для критических значений
d
-статистики доста- точно сложны и мы не будем их приводить. Отметим лишь, что в рассмат- риваемом примере для уравнения с одной объясняющей переменной при
24

n
и уровне значимости гипотезы 0.05

d
статистика должна прини- мать значение менее 1.27, чтобы можно было принять гипотезу о наличии положительной автокорреляции. В нашем случае

d
0.614, и данная ги- потеза, безусловно, должна быть принята.
t
t
x
t
y
x
y
1

t
e
t
e
t
t
e
e
1

2 1

t
e
1 1550 69.8 65.735
–
4.065
–
–
2 1620 65.2 68.102 4.065
-2.902
-11.796 16.524
…
…
…
…
…
…
…
…
24 2780 114.8 107.323 0.754 7.477 5.635 0.568 суммы
–
–
–
–
0.000 777.063 1121.862

61 15.4. Как устранить автокорреляцию?
Лучше всего бороться с автокорреляцией, устраняя её причины. Это означает, что нужно вводить дополнительные переменные в регрессион- ную модель. Принципиально иной подход состоит в применении чисто ме- ханических процедур, призванных уменьшить погрешность, вносимую ав- токорреляцией. Мы рассмотрим лишь некоторые идеи этого подхода.
Предположим, что истинная модель регрессии имеет вид
t
t
t
b
ax
y




, причём ошибки
t
ε подчинены авторегрессионному процессу 1-го порядка:
t
t
t





1
Допустим также, что величина коэффициента авторегрессии ρ нам точно известна. Требуется перейти к такой регрессионной модели, которая по- зволяла бы оценить параметры регрессии без влияния автокорреляции.
Возьмём уравнения, соответствующие двум соседним наблюдениям:
,
1 1
1 1
t
t
t
t
t
t
t
b
ax
y
b
ax
y














Умножим первое уравнение на

и вычтем из второго:
t
t
t
t
t
b
x
x
a
y
y












)
1
(
)
(
1 1
Обозначим
)
1
(
,
,
1 1











b
c
x
x
u
y
y
v
t
t
t
t
t
t
. Регрессионная мо- дель принимает вид
t
t
t
c
au
v




,
n
t
...,
,
3
,
2

, свободный от проблемы автокорреляции. Найдя выборочное уравнение регрессии, мы можем получить новые оценки параметров a и
)
1
/(


 c
b
Рассмотренный метод снижения влияния автокорреляции далеко не исчерпывает проблемы. Дело в том, что мы использовали лишь оценочное значение коэффициента

, отталкиваясь от регрессии, полученной по обычному МНК. Более точно задача может быть решена с помощью по- следовательных приближений (итераций), когда на каждом шаге оценива- ются остатки новой регрессии, по ним даётся оценка коэффициента авто- регрессии, пересматриваются оценки параметров регрессии a и b и ... вся последовательность действий повторяется снова. Такой метод, называе- мый методом Кокрана-Оркатта, используется в большинстве компью- терных программ, моделирующих регрессию с учётом эффектов автокор- реляции.

62
16. СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ.
КОСВЕННЫЙ МНК
16.1. Что такое система одновременных уравнений?
Что представляет собой простейшая модель
потребления по Кейнсу?
При построении аналитико-статистических моделей социальных и экономических процессов редко удаётся ограничиться изолированными уравнениями регрессии, как мы это делали в предыдущих параграфах. Де- ло в том, что факторы (объясняющие переменные) чаще всего не могут считаться независимыми “входными данными”. Одни и те же количест- венные признаки могут в одних уравнениях выступать в качестве фактор- ных, а в других – в качестве результативных признаков. Таким образом, образуются сложные системы уравнений, не вполне удовлетворяющие ба- зовым требованиям регрессионного анализа (см. п.5.1) и потому создаю- щие новые трудности для эконометристов.
Мы рассмотрим систему одновременных уравнений на примере мо- дели потребления Кейнса. Пусть t – некоторый период времени (месяц, год и т.д.), X – национальный доход,
C
– агрегированное потребление,
U
– инвестиции. Простейшая модель основана на следующих допущениях:
(1) нет вмешательства государства, т.е. национальный доход распре- деляется на потребление и сбережения на счетах (т.е. инвестиции);
(2) нет связи между разными периодами времени (например, потреб- ление зависит от дохода того же, а не предыдущего периода).
В этих предположениях получаем следующую систему:
,
t
t
t
t
t
t
u
c
x
b
ax
c






Записанные уравнения называются структурными уравнениями модели.
Первое уравнение есть уравнение регрессии (
t

– случайный член, ошибка регрессии). Оно содержит коэффициенты a и
b
, подлежащие оценке. Ко- эффициент a называется склонностью к потреблению. Второе же уравне- ние представляет собой тождество. Как видно, в первом уравнении нацио- нальный доход есть фактор, влияющий на потребление. Однако согласно второму уравнению, национальный доход связан с потреблением через ве- личину инвестиций.
16.2. В чём различие между экзогенными и эндогенными
переменными?
Переменная, значение которой определяется внутри модели, называ- ется эндогенной, вне модели — экзогенной.

63
Таким образом, экзогенная переменная — это заданная, детерминиро- ванная величина. В обычной модели(
t
t
t
b
ax
y




) мы считали X экзо- генной (детерминированной) переменной, Y — эндогенной. Фактически это означает, что теоретическая ковариация


x
равна нулю, т.е. нет связи между случайным членом и объясняющей переменной X . Посмотрим, выполняется ли это в модели потребления.
Пусть
t

по каким-то причинам (не учтённым в модели) имеет большое положительное значение. Тогда
t
c увеличивается, и, следова- тельно, (согласно 2-ому уравнению) вырастает и
. Итак,

и объясняю- щая переменная X связаны между собой. Следовательно, в модели не только
C
, но и X являются эндогенными, а экзогенной — только
U
. Не- детерминированность X является нарушением одной из предпосылок рег- рессионного анализа (см. п.5.1). Поэтому оценки коэффициентов уравне- ния регрессии окажутся смещёнными.
16.3. В чём заключается косвенный МНК?
Исключим из системы одновременных уравнений величину
t
x :
t
t
t
t
b
u
c
a
c





)
(
;
t
t
t
b
au
a
c




 )
1
(
;
a
a
b
u
a
a
c
t
t
t






1 1
1

Введём
a
a
b
a
a
t
t






1
;
1
;
1




. Тогда
t
t
t
u
c






. Здесь, как и требуется,
C
— эндогенная переменная,
U
— экзогенная. Анало- гично можно было бы записать и уравнение регрессии X по
U
. Такие уравнения, в отличие от записанных выше структурных уравнений, назы- ваются приведёнными уравнениями модели.
Найдя оценки коэффициентов регрессии обычным МНК, получим уравнение
*
*




u
c
u
После этого из соотношений
*
*
*
*
*
*
1
,
1
a
b
a
a






получим:
*
*
*
1




a
,
*
*
*
1




b
и
*
*
b
x
a
c
x


Описанный метод оценки уравнения регрессии называется косвен- ным методом наименьших квадратов.

64