Раздел IV
Логика высказываний
Термины и понятия
Логика высказываний - раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций конъюнкции ("и"), дизъюнкции ("или"), отрицания ("не"), импликации ("если..., то...") и др. Логику высказываний, задаваемую системой постулатов
(аксиом и правил вывода), называют исчислением высказываний.
Высказывание - мысль, выраженная повествовательным предложением и могущая быть истинной или ложной.
Аналитическое высказывание - высказывание, истинность или ложность которого может быть установлена исключительно на основе анализа его грамматической или логической структуры. Примеры истинных аналитических высказываний логические законы.
1.
a = a - закон снятия двойного отрицания
2.
a & a = a - закон идемпотентности
3.
a v a = a - закон идемпотентности
4.
a & 0 = 0 5.
a & 1 = a
6.
a v 0 = a
7.
a v 1 = 1 8.
a &
a = 0 - закон противоречия
9.
a v
a = 1 - закон исключенного третьего
10.
(a & b) =
a v
b - закон Де Моргана
11.
(a v b) =
a &
b - закон Де Моргана
12.
a & b =
(
a v
b) - закон Де Моргана
13.
a v b =
(
a &
b) - закон Де Моргана
14.
a
⊃ b =
a v b - выражение импликации через отрицание и дизъюнкцию
15.
a ≡ b = (a
⊃ b) & (b ⊃ a)
16.
a & (b v a) = a - закон поглощения
17.
a v (b & a) = a - закон поглощения
18.
a & (
a v b) = a & b
19.
a v (
a & b) = a v b
20.
(a & b) v (a &
b) = a - закон склеивания
21.
(a v b) & (a v
b) = a - закон склеивания
22.
a & b = b & a - коммутативность конъюнкции
23.
a v b = b v a - коммутативность дизъюнкции
24.
a & (b & c) = (a & b) & c - ассоциативность конъюнкции
25.
a v (b v c) = (a v b) v c - ассоциативность дизъюнкции
26.
a & (b v c) = (a & b) v (a & c) - дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции
27.
a v (b & c) = (a v b) & (a v c) - дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции
28
Задачи и упражнения
1.
Решите примеры, используя формулы логики высказываний:
1.1
(a + c)(a + c)(b + c )
1.2
a b + a b + ab + bc
1.3
ab + bc + ac
1.4
((a b + c)ad)
1.5
x + y(x + y)
1.6
x (y + x)
1.7
(x (x y))
1.8
(x + (x y))
1.9
x + (x y y)
1.10
(x y) + x
2.
Проверить правильность умозаключений:
2.1
В бюджете возникает дефицит, если не повысят пошлины. Если в бюджете возникнет дефицит, то государственные расходы на общественные нужды сократятся. Значит, если повысят пошлины, то государственные расходы на общественные нужды сократятся.
2.2
Если он автор этого слуха, то он глуп и беспринципен. Он не глуп и не лишен принципов, значит, не он автор этого слуха.
2.3
Если будет хорошей, то мы поедем за город завтра, а в противном случае в следующее воскресенье. Погода хорошая, значит, в следующее воскресенье мы не поедем за город.
2.4
Если бы он ей не сказал, она ни за что бы не узнала. А не спроси она его. Он бы и не сказал. Но она узнала. Значит, она его спросила.
2.5
Если подозреваемый совершил эту кражу, то либо она была тщательно подготовлена, либо он имел соучастника. Если бы кража была подготовлена тщательно, то, если бы был соучастник, украдено было бы гораздо больше. Значит, подозреваемый не совершал этой кражи.
2.6
Если наступит мир, то возникнет депрессия, разве что страна проведет программу перевооружения, либо осуществит грандиозную программу внутренних капиталовложений в области образования. Но такая программа не будет осуществлена. Значит, если наступит мир и не будет депрессии, то будет программа перевооружения.
2.7
Намеченная атака удастся, только если захватить противника врасплох или же если позиции его плохо защищены. Захватить его врасплох можно, если только он беспечен. Он не будет беспечен, если его позиция плохо защищены. Значит, атака не удастся.
3.
Решите задачи из книги Raymond Smullyan. WHAT IS THE NAME OF THIS BOOK?
The Riddle of Dracula and Other Logical Puzzles.
3.1.Suppose A says, "Either I am a knave or B is a knight."
What are A and B? (Предположим, что А говорит: "Или я лжец, или В рыцарь".
Кто из двух персонажей А и В рыцарь и кто лжец?)
3.2. Suppose A says, "Either I am a knave or else two plus two equals five."
What would you conclude? (Предположим, что А говорит: "Или я лжец, или два плюс два - пять". К какому заключению можно прийти на основании этого утверждения?)
29 3.3. Suppose A says, "Either I am a knave, but B isn't."
What are A and B? (Предположим, что А высказывает утверждение: "Я лжец, а В не лжец".
Кто из островитян А и В рыцарь и кто лжец?)
4.
Решите задачу:
Грустная история о том, как один лицеист очень хотел подарить "валентинку" любимой девочке. Он так сильно спешил, что, подбегая к крыльцу физфака поскользнулся и... упал (растянувшись рядом с машиной декана). Придя в себя, он
никак не мог вспомнить, кому он хотел отправить "валентинку". В голове крутились имена: Таня, Лена, Аня, Катя и Марина. Но вспомнить нужно только одно.
Напрягая свою память так, что можно было услышать шелест извилин в голове, несчастному влюбленному удалось установить следующее.
1.
Если я люблю Таню, то я люблю Лену или Аню.
2.
Если я люблю Лену, то я люблю Аню и Катю.
3.
Если я люблю Аню или Катю, то я не люблю Марину.
4.
Если я не люблю Катю, то я люблю Таню и Марину.
Помогите, пожалуйста, найти ему свою любовь
5.
Одна жительница древних Афин предостерегала сына: «Если ты будешь говорить правду, тебя возненавидят люди, а если ты будешь лгать, тебя возненавидят боги. Но ты должен или говорить правду, или лгать. Значит, тебя возненавидят люди или тебя возненавидят боги». Сын ответил матери: «Если я буду говорить правду, меня полюбят боги, а если буду лгать, меня полюбят люди. Но я должен или говорить правду, или лгать. Значит, тебя полюбят или боги, или люди». Кто из них прав?
6.
На вопрос: "Кто из трех учащихся изучал математическую логику?" получен верный ответ - "Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий".
Кто изучал математическую логику?
7.
Определите, кто из четырех учеников сдал экзамен, если известно:
1.
Если первый сдал, то и второй сдал.
2.
Если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал.
3.
Если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал.
4.
Если четвертый сдал, то и первый сдал.
8.
Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка.
Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем "Бьюике"; Джонс сказал, что это был черный "Крайслер", а Смит утверждал, что это был "Форд Мустанг" и ни в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них
указал правильно либо только марку машины, либо ее цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки?
30 9.
Семья, состоящая из отца О, матери М, сына С и двух дочерей А и Д купила телевизор. Условились, что в первый вечер будут смотреть телевизор в таком порядке:
1.
Когда отец О смотрит телевизор, то мать М делает то же
2.
Сын С и дочь Д, оба или один из них смотрят телевизор.
3.
Из двух членов семьи - мать М и дочь А - смотрит телевизор одна и только одна.
4.
Дочь А и сын С или оба смотрят, или оба не смотрят.
5.
Если дочь Д смотрит передачу, то отец О и дочь С делают то же.
Кто из членов семьи в этот вечер смотрит передачу?
10.
По подозрению в совершенном преступлении задержали Брауна, Джона и Смита.
Один из них был уважаемым в городе стариком, другой был малоизвестным чиновником, третий - известным мошенником. В процессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом - ложь. Вот, что они утверждали:
Браун: Я совершил это. Джон не виноват.
Джон: Браун не виноват. Преступление совершил Смит.
Смит: Я не виноват. Виноват Браун.
Требуется определить имена старика, мошенника и чиновника, и кто из них виноват, если известно, что преступник один.
11.
"Вернувшись домой, Мегрэ позвонил на набережную Орфевр.
- Говорит Мегрэ. Есть новости?
- Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если
Франсуа был пьян, то или Этьен убийца, или Франсуа лжет. Жуссье считает, что или
Этьен убийца, или Франсуа не был пьян, и убийство произошло после полуночи.
Инспектор Люка просил передать Вам, что если убийство произошло после полуночи, то или Этьен убийца, или Франсуа лжет. Затем звонила...
- Все. Спасибо. Этого достаточно.- Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый
Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все."
Что следует из показаний инспекторов?
Какой вывод сделал комиссар Мегрэ?
12.
Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления.
Браун: Я не делал этого. Джонс не делал этого.
Джонс: Смит сделал это. Браун не делал этого.
Смит: Я не делал это. Браун сделал это.
Далее было установлено, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий раз солгал, раз сказал правду. Кто совершил преступление?
Какой будет ответ при условии, что
каждый из них один раз сказал правду, а один раз солгал?
13.
На вопрос, какая погода будет завтра, синоптик ответил:
1.
Если будет мороз, то снег выпадет только при пасмурной погоде.
2.
Если не будет мороза, но пойдет снег, то погода будет пасмурной.
3.
Не будет ни снега, ни дождя, если небо будет ясным.
4.
Неверно, что ели не будет мороза, для выпадения снега или дождя достаточно наличия пасмурного неба.
31
Какую погоду предсказал синоптик?
14.
Петя решил поступать в МГУ и послал домой три сообщения:
1.
Если я сдам математику, то физику я сдам только при условии, что не завалю сочинение.
2.
Не может быть, чтобы я завалили и сочинение, и математику.
3.
Достаточное условие завала по физике – это двойка по сочинению.
После сдачи экзаменов оказалось, что из трех Петиных сообщений, только одно оказалось ложным. Как Петя сдал экзамены?
Раздел V
Основные логические законы
Термины и понятия
Закон достаточного основания требует, чтобы всякое истинное высказывание было достаточно обосновано другими истинными же высказываниями.
Закон исключенного третьего формулируется так: из двух противоречащих друг другу высказываний одно истинно, а второе - ложно, третьего не дано. Формула этого закона: а v
а.
Закон непротиворечия - закон, который можно сформулировать следующим образом: два противоположных высказывания об одном и том же предмете не могут быть одновременно истинными в одном и том же отношении или смысле. В символической логике этот закон выражается формулой (а & а).
Закон тождества - закон, согласно которому всякое понятие или суждение в процессе некоторого рассуждения должно оставаться тождественным самому себе. Иными словами, в процессе рассуждения нельзя произвольно изменять содержание некоторого понятия, того или иного термина или смысл некоторого высказывания. В современной логике закон тождества трактуется так: всякое высказывание влечет само себя. Каждое высказывание является необходимым и достаточным условием своей истинности. Закон тождества имеет формулу а ≡ а или а
⊃ а.
1.
Сохранят ли тождество суждения, если выделенное понятия заменить понятием, заключенным в скобках:
1.1
В случае не достижения соглашения по процедуре расследования стороны по взаимной договоренности выбирают арбитра, который решает вопрос о процедуре
(третейский судья, посредник).
1.2.Сельскохозяйственные предприятия области из убыточных превратились в прибыльные (рентабельные, доходные).
1.3.После почти 200-летнего господства английских колонизаторов Индия стала независимым государством (самостоятельным, суверенным).
1.4.Во время практики студент Иванов проявил себя инициативным работником
(энергичным, деятельным, активным).
1.5.Имущество, принадлежащее супругам до вступления в брак, остается их раздельным имуществом (собственность, достояние, добро).
32 1.6.Нужно быть непримиримым ко всякого рода лжи (неправде, обману).
1.7.«Сущность брака состоит, по моим понятиям, в искренней привязанности, все остальное дело второстепенное» (Н.Чернышевский) (супружества, семейного союза).
1.8.При обсуждении вопроса выявились различные точки зрения (мнения, взгляды, суждения).
1.9.В средине ХVII века Франция стала государством с неограниченной властью короля (абсолютной, полной, безраздельной).
1.10.
Злоумышленник, скрываясь от преследования, свернул в безлюдный переулок
(пустынный, глухой).
2.
Объясните, почему данные суждения являются неопределенными:
2.1
Федор Федорович очень гордился этой операцией.
2.2
Планировать приходилось в трудных условиях.
2.3
Она спрятала в карман записку от мужа.
2.4
«Как же вы будете снимать? Здесь нужна большая выдержка?» (А.Кольцов).
2.5
«…И только лишь какой-то забияка сказал: «Не беспокойтесь – донесет!»
(И.Минаев).
2.6
Плох то последний негодяй, который не стремится стать первым.
2.7
Как часто мы промахиваемся при выборе цели!
2.8
И генеалогическое дерево может бросить тень.
3.
Выясните, могут ли быть одновременно истинными следующие суждения:
3.1
Осень в этом году была холодной и дождливой. Холодно и дождливо было этой осенью.
3.2
Зина и Вера - дочери Ивана Сергеевича. Иван Сергеевич - отец Зины и Веры.
3.3
Эта
фигура - или квадрат, или ромб. Эта фигура - ромб.
3.4
Если он опоздал, то, значит, пришел не вовремя. Если он пришел не вовремя, то, значит, он опоздал.
3.5
Все в нашей компании от этих слов покатились со смеху. Все в нашей компании после этих слов захихикали.
3.6
Беда, коли пироги начнет печь сапожник, а сапоги тачать пирожник. Не беда коли пироги начнет печь не-сапожник, а сапоги тачать не-пирожник.
3.7
Все спортсмены этой команды мастера спорта. Лишь некоторые спортсмены этой команды мастера спорта.
3.8
Всякое письмо, как и разговор, требует искусства. Не всякое письмо требует искусства.
3.9
Некоторые адвокаты хорошо знают своих подзащитных. Некоторые адвокаты не знают хорошо своих подзащитных.
3.10
Если я куплю билеты, то мы пойдем в театр. Я куплю билеты, и мы пойдем в театр.
4.
Установите, нет ли противоречия в следующих понятиях:
4.1
Разносторонний квадрат .
4.2
Фантастическая реальность.
4.3
Холодное лето.
4.4
Монархическая республика.
4.5
Неработающий работник.
33 4.6
Близкая даль.
4.7
Антагонистическое единство.
4.8
Оправданный обвиняемый.
4.9
Бессодержательное мышление.
5.
Установите, выполняются ли требования закона непротиворечия для данных пар суждений:
5.1
Все студенты факультета дизайна подготовились к семинарскому занятию. Ни один студент факультета дизайна не подготовился к семинарскому занятию.
5.2
Все студента факультета дизайна подготовились к зачету по логике. некоторые студенты факультета дизайна к зачету по логике не подготовились.
5.3
Некоторые органы государственной власти имеют право издавать законы.
Некоторые органы государственной власти имеют право издавать приказы и инструкции.
5.4
В некоторых государствах существует монархическая форма правления. В некоторых государствах нет монархической формы правления.
5.5
Некоторые государства избрали в качестве политической формы правления президентскую республику. Ни одно государство не избрало в качестве политической формы правления президентскую республику.
5.6
Для некоторых стран Африки характерны переходные формы производственных отношений. Для всех стран Африки характерны переходные формы производственных отношений.
5.7
Окна во всех этажах дома были ярко освещены. Окна были ярко освещены во многих этажах дома.
5.8
Большая часть машин находилась в парке. В парке не было ни одной машины.
5.9
Организатором этой веселой вечеринки был Николай К.. Организатором этой веселой вечеринки был Анатолий П.
6.
Установите, применим ли закон исключенного третьего для каждого из следующих пар понятий:
6.1
приятель, неприятель;
6.2
зависимость, свобода;
6.3
довод, контрдовод;
6.4
адмирал, контр-адмирал;
6.5
преступник, адвокат;
6.6
свободный человек, занятой человек;
6.7
младший, старший;
6.8
кража, возврат имущества;
6.9
закон, беззаконие;
6.10
ложь, правда.
7.
Установите, выполняются ли требования закона исключенного третьего для данных пар суждений:
7.1
Я ушел, никому не сказавшись. Я ушел молча.
7.2
Все имена пишутся с большой буквы. Ни одно имя не пишется с большой буквы.
7.3
Ни одно предложение в этом тексте не является истинным. Все суждения в этом тексте не является ложным.
7.4
Все течет, все изменяется. Ничто не течет, ничто не изменяется.
34 7.5
Я решаю логические задачи, значит, развиваю свой интеллект. Я не решаю логические задачи, значит, не развиваю свой интеллект.
7.6
Некоторые студенты НОУ ТАУ сдали зимнюю сессию досрочно. Ни один студент
НОУ ТАУ зимнюю сессию досрочно не сдал.
7.7
Всякая наука имеет свой предмет исследования. Ни одна наука своего предмета исследования не имеет.
7.8
Каждый человек имеет свою особенность. Некоторые люди никаких особенностей не имеют.
7.9
В привокзальном ресторане Н. Встретился с двумя неизвестными мужчинами. В привокзальном ресторане Н. ни с кем не встречался.
7.10
Никакая идеология не может быть общегосударственной. Существует общегосударственная идеология.
8.
Приняв каждое суждение за истинное, установите, является ли одно из суждений в каждой паре необходимым и доставочным основанием для другого:
8.1
Треугольник АВС равен треугольнику АВД. Треугольники АВС и АВД - правильные.
8.2
Алексеев - хороший шахматист. Алексеев выиграл шахматный турнир.
8.3
Погода испортилась. Соревнования перенесены на другой день.
8.4
Данное число делится на 9. Данное число делится на 3.
8.5
По проводнику идет ток. Электрическая цепь замкнута.
8.6
Данная мысль построена правильно. Данная мысль истинна.
8.7
Эта книга весьма привлекательна. В этой книге интересные иллюстрации.
8.8
У ребенка высокая температура. Ребенок простудился.
8.9
Треугольник ABC равен треугольнику ABD. Треугольник ABC и треугольник
ABD имеют равные площади.
8.10
Высказывание p → g является истинным. Высказывание
∼p → ∼ g является истинным.
9.
Определите, требования каких логических законов нарушены в данных отрывках:
9.1
Все заметно волнуются. Невозмутимы только бывалые воины, а их среди нас немало.
9.2
На общем собрании локомотивного депо, на котором обсуждалось поведение подростков, один из работников сказал: “Перечисленных товарищей мы знаем очень плохо, так как они в нашем коллективе недавно. А поэтому я выражаю мнение своего коллектива, что их нужно судить по всей строгости закона.”
9.3
“...Знаете, Воробьянинов, этот стул напоминает мне нашу жизнь. Мы тоже плывем по течению. Нас топят, мы всплываем, хотя, кажется, этому никто не радуется. Нас никто не любит, если не считать Уголовного розыска, который тоже нас не любит.
Никому до нас нет дела.”(Ильф И., Петров Е. Двенадцать стульев).
9.4
Шофер Синельников не прав, так как при выезде из гаража не взял устного распоряжения в письменной форме.
9.5
Учитель: “Надеюсь, Том, я не увижу, что ты списываешь с чужой тетради.” Том:
“Я тоже на это надеюсь.”
9.6
Д. не давал и не получал взяток, поэтому он не может быть привлечен к уголовной ответственности.
9.7
Я помню его, когда еще был ребенком.
9.8
“ - Ой, здравствуй, Пух, - ответил Пятачок, подпрыгнув от неожиданности.
- А я знал, что это ты!
- Я тоже, - сказал Пух. - А что ты делаешь?
35
- Я сажаю желудь, Пух, и пускай из него вырастит дуб, и тут будет много желудей у самого дома...
- А вдруг не вырастит? - спросил Пух.
- Вырастет, потому что Кристофер Робин сказал - обязательно вырастет”.
9.9
Студенту Н. надо поставить зачет, так как он едет в командировку.
9.10
«Ничто так часто не отсутствует как присутствие духа» (Антуан де Ривароль).
9.11
«И, может быть, я завтра умру!.. Одни скажут, он был добрый малый, другие – мерзавец. И то, и другое будет ложно» (М.Ю.Лермонтов).
9.12
«Рассказывают о жене Леонида (спартанского царя), Горго. Одна женщина, вероятно, иностранка, сказала ей: «Одни вы, спартанки, делаете что хотите, со своими мужьями». «Но ведь и рожаем мужей (мужественных людей), - ответила царица» (Плутарх).
9.13
«Можно ли назвать наше плавание неудачным? Да, потому что мы не дошли до точки финиша, до Нарьян-Мара. Можно ли назвать наше плавание удачным? Тоже да, потому что мы прошли две
трети маршрута умудрились добраться туда, куда на подобных судах, используя только силу ветра и собственных мышц, кроме самих поморов, никто не добирался (Ильичев А.)
9.14
«Говорят, однажды он (Стильпон) так спросил об Афине Фидия:
- Не правда ли, Афина, дочь Зевса, - это бог?
Ему ответили:
- Правда.
- Но ведь Афина создана не Зевсом, а Фидием?
Согласились и с этим.
- Стало быть, она - не бог?
За это его привлекли суду Ареопага; он не отпирался, а утверждал, что рассуждение его правильно: Афина действительно не бог, а богиня, потому что она женского пола. Тем не менее, судьи приказали ему немедленно покинуть город» (Диоген Лаэртский).
10.
Инспектору Борисову стало известно, что совершена кража в ювелирном магазине.
“Кто же “взял” магазин? - задумался инспектор. Он знал, что это мог сделать либо вышедший недавно на свободу матерый уголовник по кличке “Лось”, либо появившийся в городе Аполлон Рубашкин, которого знали в уголовном мире как
“Артиста”, либо “начинающий”, но уже поднаторевший в преступном промысле
Павел Смышляев. Вскоре к инспектору поступила информация:
1. Ювелирный магазин ограбил не Аполлон.
2. Магазин взял Смышляев.
Спустя некоторое время выяснилось, что только одно из этих сообщений соответствует действительности. Этого оказалось достаточным для того, чтобы инспектор Борисов установил, кто совершил кражу. Как он это сделал?
11.
Известно, что: a.
Тот котенок, который любит рыбу, не может быть обучаемым. b.
Котенок, который имеет короткий хвост, не любит играть с обезьянкой. c.
Котята, имеющие усы, любят рыбу. d.
Каждый котенок, не имеющий усов, имеет короткий хвост.
Какой котенок любит играть с обезьянкой?
36 12.
Логик, случайно оказавшись в небольшом городке, и желая хоть как- то убить время, решил подстричься. В городке имеются лишь два мастера (у каждого из них своя парикмахерская). Заглянув к одному мастеру, логик увидел, что в салоне грязно, сам
мастер одет неряшливо, плохо выбрит и небрежно подстрижен. В салоне другого мастера было идеально чисто, владелец его был безукоризненно одет, чисто выбрит, аккуратно подстрижен. Логик отправился стричься к первому парикмахеру. Почему?
13.
Два путника подошли к реке. У берега была лодка, которая вмещает только одного человека. Однако оба путника переправились на противоположный берег. Как им это удалось.
14.
Продавец зоомагазина уверял покупателя, что купленный им попугай будет повторять каждое услышанное им слово. Каково же было удивление покупателя, когда он убедился, что попугай нем как рыба. Тем не менее, продавец не лгал. Объясните это.
15.
Профессор Квибыл утверждал, что может поставить бутылку в центр комнаты и вползти в нее. Верно ли это?
16.
Один король, уставший от многочисленных визитеров, издал указ: “Всякий гость короля, всегда говорящий правду, должен быть повешен. А всякому посетителю, говорящему ложь, следует отрубить голову”. Одному путнику удалось пройти к королю. Что он сказал?
Скачать 0.61 Mb.