Теория надежности. Учебное пособие для студентов

• Название: Учебное пособие для студентов
• Анкор: Теория надежности.doc
• Дата: 07.05.2017
• Размер: 3.48 Mb.
• Имя файла: Теория надежности.doc
• Тип: Учебное пособие; #7212
• страница: 14 из 23

6.2.Кон­трольные выборочные испытания на надёжность по методу однократной выборки

При использо­вании этого метода в технических условиях записывают объем n выборки, время t_И испытаний и приемочное число С. Если число d отказавших изделий в выборке за время испытания меньше или равно числу С, то партия принима­ется, в противном случае - бракуется. В этом и заклю­чается сущность метода однократной выборки.

При неизвестном законе распределения контролиру­емого параметра случайное число отказавших изделий в заданное время для выборки объемов n < 0,1Ν (Ν - число изделий в сдаваемой партии) определяют на осно­вании либо биномиального закона, либо закона Пуассо­на. Последний применяют, когда помимо объема n вы­борки, малого по сравнению с объемом Ν сдаваемой пар­тии изделий, задана вероятность безотказной работы Р ≥ 0,9. Так, в случае закона Пуассона вероятность Р_0П того, что партия изделий с вероятностью безотказной работы Р ≥ 0,9 будет принята, т.е. в выборке n число d отказав­ших изделий не будет превышать приемочного числа С, можно рассчитать по формуле [4, 17, 20]:

(6.2)

где

(6.3)

По формуле (6.2) рассчитывают объемы n выборок в зависимости от приемочного числа С, заданных довери­тельной вероятности Р* (или риска заказчика β) полученных результатов испы­тания и минимальной вероятности Р₂ безотказной ра­боты сдаваемой партии изделий. Результаты такого рас­чета приведены в таблице 6.1.

При неизвестном законе распределения контролируемого по­казателя надёжности выборка объемом n, найденным из этой таблицы, должна испытываться в течение того вре­мени t_И, на которое задается значение Р₂. Поскольку Р₂ задается на гарантированное время t_Г, время t_И испыта­ния должно быть равно t_Г. При составлении плана выборочного контроля партий изделий в случае неизвестного закона распределения по­казателя надёжности приемочное число С выбирают небольшим из экономических соображений, так как с уве­личением его резко возрастает объем выборки. С другой стороны, уменьшение С приводит к увеличению необходимого для успешной сдачи продукции приемочного зна­чения вероятности Р₁ безотказной работы, а С = 0 соответствует наиболее неблагоприятным для из­готовителя условиям сдачи продукции по результатам испытания выборки. По заданным значениям Р₂, β и вы­бранному С с помощью таблицы 6.1 определяют необходи­мый объем n выборки. Составленный план (n, t_И, С) контроля надёжности сдаваемых заказчику изделий за­писывают в технические условия на заданные изделия.

Пример 6.1 [20].

Известно, что значение нижнего браковочного уровня вероятности безотказной работы изделий Р₂ = 0,9 для времени 500 ч при риске заказчика β = 0,1. Требуется рассчитать план контроля надёжности при n / N < 0,1.

Порядок расчета.

1. Задаем приемочное число С = 2.

2. Находим по таблице 6.1 необходимый объем выборки: 52 изделия.

3. Записываем план контроля: n = 52 изд.; t_И = 500 ч; С = 2.

Таблица 6.5- Объем выборки n в зависимости от браковочного значения вероятности безотказной работы Р₂, приемочного числа С и риска заказчика β при Ν / n < 0,1

для закона распределения Пуассона

С	Р2 при β = 0,1				Р2 при β = 0,2
	0,999	0,98	0,95	0,9	0,999	0,98	0,95	0,9
0 2 5 10 20	2301 5318 9991 15403 27041	114 264 462 770 1234	45 105 182 306 540	22 52 91 152 268	1599 4272 7899 13638 24758	79 213 394 680 1136	31 84 157 271 493	15 42 78 135 245

Для отражения интересов заказчика и из­готовителя задаются не только риском β заказчика и со­ответствующим ему браковочным значением Р₂ вероят­ности безотказной работы, но и риском α поставщика и соответствующим ему приемочным значением Р₁.Тог­да уравнение для определения n и С при использовании биномиального закона имеет вид [1, 8, 17, 20]:

для риска заказчика

(6.4)

для риска изготовителя

(6.5)

где d - число отказавших изделий в выборке объемом n (d меняется от нуля до С), - число сочетаний из n по d. Вероят­ности α и β являются членами разложения по биному Ньютона, Отсюда происходит название - биномиальный закон. Этот закон применяют, когда мало сведений о поведении изделий, а их нужно разделить на годные и бракованные. Формулы для определения основных характеристик биномиального закона приведены в [1].

Решая совместно уравнения (6.4) и (6.5), находят зависимость приемочного числа С от заданных значений Р₁, Р₂, α и β. На основании этой зависимости построена таблица 6.2, которая используется при формиро­вании плана контроля.

Таблица 6.6 - Значение коэффициента А в зависимости от риска изготовителя α,

от риска заказчика β и приемочного числа С

С	α при β = 0,1		α при β = 0,2
	0,1	0,2	0,1	0,2
0 1 2 3 10	21,82 7,31 4,82 3,82 2,19	10,33 4,72 3,46 2,91 2,59	15,26 5,65 3,89 3,16 1,94	7,22 3,63 2,79 2,40 1,67

Последовательность формирова­ния плана контроля рассмотрим на примере 6.2.

Пример 6.2 [20].

Известно, что для принимаемой партии изделий верхний браковочный уровень вероятности безотказной работы Р₁ = 0,98 (при риске поставщика α = 0,1), а нижний браковочный уровень вероятности безотказной работы Р₂ = 0,9 (при риске заказчика β = 0,1) для 500 ч испытания выборки. Требуется рассчитать план контроля надёжности.

Порядок расчета.

1. Рассчитываем коэффициент

(6.6)

2. По найденному значению А и заданным значениям α и β с помощью таблицы 6.2 определяем приемочное число С.

Из таблицы 6.2 видно, что значение А = 5,21 лежит между числами 7,31 и 4,82.. Учитывая, что значение А = 5,21 расположено ближе к табличному значению А = 4,82, чем к А = 7,31, выбираем С = 2.

3. По найденному значению С = 2 и заданным значениям Р₂ = 0,9 и β = 0,1 с помощью таблицы 6.1 определяем объем вы­борки n = 52 изд.

4. Составляем план контроля: n = 52 изд.; t_И = 500 ч; С = 2.

В обоих рассмотренных примерах план контроля ока­зался идентичным. Однако во втором примере учтены интересы изготовителя, поскольку приемочное значение Р₁, которое всегда намного выше, чем браковочное Р₂, за­дается технической документацией на изделие.

При составлении плана контроля для известного за­кона распределения контролируемого показателя надёжности нет необходимости проводить испытание выборки в течение всего гарантируемого времени.

При экспоненциальном законе распределения вероят­ности безотказной работы браковочные значения вероятностей Р₂(t_Г) и Р₂(t_И), заданных на гарантированное время безотказной работы t_Г и на время испытаний t_И связаны соотношением [20]:

ln Р₂(t_И) = [ln Р₂(t_Г)]  t_И / t_Г. (6.7)

Задаваясь различными значениями t_И испытания при заданных значениях Р₂(t_Г) и t_Г по формуле (6.7) можно рассчитать соответствующие значения Р₂(t_И) (см. таблицу 6.3).

Таблица 6.7 - Значение вероятности Р₂(t_И) от вероятности Р₂(t_Г) и отношения t_И / t_Г при экспоненциальном законе распределения вероятности безотказной работы

tИ / tГ	Р2(tИ) при Р2(tГ) равном
	0,999	0,98	0,95	0,9
0,1 0,2 0,5 1,0	0,9999 0,9998 0,9995 0,9990	0,9980 0,9960 0,9900 0,9800	0,9949 0,9898 0,9847 0,9500	0,9895 0,9792 0,9487 0,9000

Зная Р₂(t_И) и задаваясь значениями β и С, нетрудно вычислить или определить из таблицы 6.3 необходимый объ­ем выборки. Затем можно записать план контроля: n, t_И, С. При d ≤ C партия изделий, из которой взята выбор­ка, принимается; при d > C партия бракуется.

Пример 6.3 [20].

Дано: Р₂ = 0,9 на 500 ч (т.е. t_Г = 500 ч); β = 0,1. Требуется рассчитать план контроля надёжности при экспоненциальном законе распределения вероят­ности безотказной работы.

Порядок расчета.

1. Задаемся временем испытания t_И = 100 ч.

2. С помощью таблицы 6.3 определяем браковочное значение вероятности Р₂ (t_И = 100 ч).

Отношение t_И / t_Г = 100 / 500 = 0,2 дает значение Р₂(t_И) по стро­ке, а заданное значение Р2 = 0,9 - по столбцу таблицы. Получаем Р₂(t_И) = 0,9792 = 0,98.

3. Задаемся приемочным числом С = 2 и с помощью таблицы 6.1 для Р₂(t_И) = 0,98; β = 0,1 и С = 1 определяем необходимый объем выборки: n = 264 изд.

4. Записываем план контроля: n = 264 изд.; t_И = 100 ч; С = 2.

Объем выборки в данном примере резко уве­личился по сравнению с объемом выборки в примерах 6.1 и 6.2. Это связано с тем, что для экспоненциального закона λ = d / (n  t) = const. Поэтому если в примере 6.3 время испытания выбрано в пять раз меньше, чем в примерах 6.1 и 6.2, то для со­хранения значения λ объем выборки должен быть в пять раз увеличен при одном и том же значении d. Если бы время ис­пытания увеличилось вдвое, то объем выборки также сократился бы вдвое.

Соотношения, связывающие браковочные значения вероятностей Р₂(t_Г) и Р₂(t_И), заданных на гарантированное время безотказной работы t_Г и на время испытаний t_И, можно вывести не только для экспоненциального закона распределения вероят­ности безотказной работы, но и для других законов, если они заранее известны. И в этих случаях время испытаний можно сократит с t_Г до t_И.

Для сокращения времени испытаний или объёма выборки испытания можно проводить не по полным отказам, а по дефектам, которые в малых количествах не вызывают отказ, а накапливаясь приводят к отказу. В этом случае дефекты называют параметрами-критериями годности (ПКГ). Условное значение вероят­ности безотказной работы, связанной с появлением дефектов, меньше чем значение вероят­ности безотказной работы, связанной с появлением отказов. Например, при вероят­ности безотказной работы по полным отказам Р₂(t_Г) = 0.9999, при β = 0,1 и при С = 2 объём выборки велик (n = 5318). При этом же случае условная вероят­ность безотказной работы по дефектам может иметь значение Р_2Д(t_Г) = 0,9 и при β = 0,1, при С = 2 объём выборки намного меньше (n = 52). Если по результатам испытаний на малой выборке значение Р_2Д(t_Г) не меньше 0,9, то и значение Р₂(t_Г) не меньше 0,9999, и необходимость испытания на большой выборке отпадает.