Теория надежности. Учебное пособие для студентов

• Название: Учебное пособие для студентов
• Анкор: Теория надежности.doc
• Дата: 07.05.2017
• Размер: 3.48 Mb.
• Имя файла: Теория надежности.doc
• Тип: Учебное пособие; #7212
• страница: 12 из 23

5.2.Виды резервирования

Согласно классификации, представленной на рисунке 5.3, резервирование бывает общим и раздельным.

Общее резервирование - это резервирование, при котором резервируется объект в целом, а раздельное резервиро­вание - это резервирование, при котором резервируются отдельные элементы объекта или их группы.

Существует также смешанное резервиро­вание, которое представляет сочетание различных видов резервирования в одном и том же объекте.

Резервирование различают по кратности резерва - то есть по отношению числа резервных элементов к чис­лу резервируемых ими элементов, выраженное несокращенной дробью. Бывает резервиро­вание с целой кратностью, с дробной кратностью и дублирование. Дублирование - это резервирование с кратностью резерви­рования резерва один к одному.

Различают постоянное резервиро­вание и резервиро­вание замещением. Постоянное резерви­рование - это резервирование, при котором используется на­груженный резерв и при отказе любого элемен­та в резервированной группе выполнение объек­том требуемых функций обеспечиваете остав­шимися элементами без переключений.

Н
агруженный резерв - это резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в режиме основного элемента.

Резервирование заме­щением - это резервирование, при котором функции основ­ного элемента передаются резервному только после отказа основного элемента. В этом случае используется ненагруженный резерв - то есть резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в ненагру­женном режиме до начала выполнения ими функций основного элемента.

Существует также облегченный резерв - то есть резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в менее нагруженном режиме, чем основной элемент. Расход ресурса надёжности работающих и резервных элементов при резервировании замещением для нагруженного резерва (а), облегченного резерва (б) и ненагруженного резерва (в) показан на рисунке 5.4. Выбор метода резервирования зависит от условий работы РЭО. Например, если допускаются перерывы в работе, то используется резервирование замещением, а, если не допускаются, то используется постоянный нагруженный резерв.

При нагруженном резерве в момент отказа основного элемента уже включен резервный элемент, но вероятность того, что в этот момент резерв­ный элемент исправен, может сильно отличаться от единицы. При облегчен­ном резерве после отказа основного элемента время выхода резервного эле­мента на рабочий режим мало, но вероятность того, что в момент отказа основного элемента резервный элемент исправен, не сильно отличается от еди­ницы. При ненагруженном резерве после отказа основного элемента время выхода резервного элемента на рабочий режим больше, чем при облегченном резерве. Однако вероятность того, что в момент отказа основного элемента резерв­ный элемент исправен, отличается от единицы меньше, чем при облегченном резерве, так как при хранении интенсивность отказов изделий приблизи­тельно на порядок меньше, чем при их работе.

Р
азновидностью резервирования заме­щением является скользящее резервирование. При скользящем резервировании груп­па основных элементов резервируется одним или несколькими резервными элементами, каждый из которых может заменить любой из отказавших элементов данной группы.

Различают резервирование с вос­становлением и резервирование без восстановления. В первом случае восстановление отказавших основных и (или) резервных элемен­тов технически возможно без нарушения рабо­тоспо­собности объекта в целом и предусмотрено эксплуатационной документа­цией, а во втором восстановление этих элемен­тов технически невозможно без нарушения работоспособности объекта в целом и (или) не пре­дусмот­рено эксплуатационной документацией.

При резервировании вводится также понятие вероятности успешно­го перехода на резерв, под которой понимают вероятность того, что переход на резерв про­изойдет без отказа объекта, т.е. произойдет за время, не превы­шающее допустимого значения перерыва в функционировании и (или) без сни­жения качества функционирования.

5.3.Методы расчёта надёжности резервированных систем

5.3.1 Расчёт общего резервирования с постоянно включенным резервом и с целой кратностью m при отсутствии последействия

С
хема расчёта общего постоянного резервирования с целой кратностью m при отсутствии последействия при заданных вероятностях безотказной работы основного (Р₀) и резервного (Р_N) элементов надёжности приведена на рисунке 5.5, а.

Система с общим резервированием будет нормально функциониро­вать при сохранении работоспособности хотя бы одной из цепей. На основании теоремы умножения вероятностей вероятность отказа такой системы

(5.4)

где Q_J - вероятность отказа J-ой цепи, состоящей из N элементов, а m - количество резервных цепей. Рисунок 5.5, а соответствует значению N = 1. Схема расчёта общего постоянного резервирования с целой кратностью m при отсутствии последействия при заданных вероятностях безотказной работы i-ых элементов надёжности основной (Р_0i) и резервной (Р_Ji) цепей приведена на рисунке 5.5, б (1 ≤ i ≤ N).

Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием рассчитывают по формуле

(5.5)

где Р_J - вероятность безотказной работы J-ой цепи.

Видно, что параллельное включение элементов является эффектив­ным средством повышения надёжности объекта. Значения вероятности безотказной работы Р_J одного элемента и вероятности безотказной работы системы Р_c для элементов с различной надёжностью приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.4- Значения вероятности безотказной работы Р_J одного элемента и вероятности безотказной работы системы Р_c для элементов с различной кратностью резервирования [4]

РJ	Рc при
	m = 1	m = 2	m = 3
0,50 0,70 0,90 0,95 0,99	0,75 0,91 0,99 0,9975 0,9999	0,875 0,973 0,999 0,999 0,999999	0,9375 0,9919 0,9999 0,99999 0,99999999

При экспоненциальном законе надёжности

(5.6)

где λ_J - интенсивность отказов J-ой цепи.

При равнонадёжных цепях и (λ_J = λ₀) и экспоненциальном законе надёжности вероятность безотказной работы системы с общим резервированием рассчитывают по формуле

(5.7)

Средняя наработка до отказа одного элемента определяется через интенсивность отказов

Т₀ = 1 / λ₀. (5.8)

Средняя наработка до отказа системы с общим резервированием рассчитывают по формуле (3.17)

(3.17)

При преобразовании формулы (3.17) с учётом (5.7) и (5.8) получим [4, 19]:

(5.9)

(5.9 а)

Ниже приведены значения А для различных m:

m	1	2	3	4	5
А	1,5	1,83	2,08	2,28	2,45

Дисперсия средней наработки до отказа системы определяется по формуле [8, 19]:

(5.10)

Безотказная работа J-ой цепи будет иметь место при безотказной работе каждого из N последовательно соединенных элементов цепи. С учётом этого при экспоненциальном законе надёжности имеем

( 5.11)

где Р_Ji - вероятность безотказной работы, а λ_Ji - интенсивность отказов i-ых элементов надёжности J-ой цепи.

Подставляя значения Р_J из выражения (5.11) в формулу (5.5), нахо­дим вероятность безотказной работы системы с общим резервированием

(5.12)

При равнонадёжных цепях вероятность безотказной работы системы с общим резервированием рассчитывают по формуле

(5.13)

5.3.2 Расчёт раздельного резервирования с постоянно включенным резервом и с целой кратностью при отсутствии последействия

Схема расчёта раздельного постоянного резервирования с целой кратностью при отсутствии последействия при заданных вероятностях безотказной работы i-ых элементов надёжности основной (Р_0i) и резервной (Р_Ji) цепей изображена на рисунке 5.6.

Вероятность безотказной работы i–ого звена этой схемы в соответствии с формулой (5.5) равна

(5.5 а)

где m_i - количество резервных элементов i–ого звена.

Безотказная работа системы будет иметь место при безотказной работе каждого из N последовательно соединенных звеньев. С учётом этого вероятность безотказной работы системы с раздельным постоянным резервированием равна

(5.14)

Д
ля раздельного резервирования и экспоненциального закона надёжности при m_i = m и равнонадёжных элементах

(5.15)

Средняя наработка до отказа системы с раздельным постоянным резервированием при этом равна [4]:

(5.16)

где v_J = (J + 1) / (m +1).

При m = 1 (дублирование) и N > 5

(5.17)

5.3.3 Расчёт общего резервирования с дробной кратностью и с постоянно включенным резервом при отсутствии последействия

Вероятность безотказной работы системы общего резервирования с дробной кратностью m и равнонадёжных элементах с по­стоянно включенным резервом при отсутствии последействия равна [8]

(5.18)

где: Р(t) - вероятность безотказной работы основного или любого резервного элемента надёжности; l - общее число основных и резервных элементов надёжности; h - число элементов надёжности, необходимых для нормальной работы резервированной системы; m - кратность резервирования, которая определяется формулой:

m = (l - h) / h, (5.19)

Средняя наработка до отказа такой системы общего резервирования с дробной кратностью равна

(5.20)

Недостаток постоянного резервирования состоит в значительном увеличении объема аппаратуры, а также в том, что с появлением отказов в резерве изменяются параметры объекта, что может привести к изменению режимов работы.

5.3.4 Расчёт резервирования замещением для случаев облегченного резерва, ненагруженного резерва и общего нагруженного резервирования с последействием

С
хемы резервирования замещением приведены на рисунке 5.7.

Рас­чётные соотношения для общего резервирования замещением с целой крат­ностью для устройств любой кратности ре­зервирования позволяет получить рекуррентная формула [8]

(5.21)

где Р_m+1(t), Р_m(t) - вероятности безотказной работы резервированной системы кратности m + 1 и m соответ­ственно; P(t - τ) - вероятность безотказной работы ос­новной системы в течение времени (t - τ); a_m(τ) - час­тота отказов резервированной системы кратности m в момент времени τ.

Для получения рабочих формул необходимо выполнить интегрирование в правой части, подставив вместо P(t - τ) и a_m(τ) их значения в соответствии с выбранным законом распределения и состоянием ре­зерва.

Для случая общего резервирования с замещением вероятность безотказной работы и средняя наработка до отказа при экспонен­циальном законе надёжности и нагруженном состоянии резерва опре­деляются формулами (5.7) и (5.9). Для облегченного резерва с замещением вероятность безотказной работы и средняя наработка до отказа при экспонен­циальном законе надёжности и при идеальных (безотказных) переключателях равны [4, 8]:

(5.21 а)

(5.22)

где λ_Н - интенсивность отказов резервного устройства до замещения.

При ненагруженном состоянии резерва с замещением вероятность безотказной работы и средняя наработка до отказа при экспонен­циальном законе надёжности равны [4, 8]:

(5.23)

(5.24)

где λ₀ и Т_{1 0} - интенсивность отказов и средняя наработка до отказа основного (нерезервированного) устройства.

Для случая раздельного резервирования замещением при нагруженном состоянии резерва вероятность безотказной работы P_НЗ(t) и средняя наработка до отказа Т_НЗ при экспонен­циальном законе надёжности рассчитываются по формулам (5.15) - (5.17).

Принципиально возможно определить надёжность системы при резервировании замещением без использования рекуррентной формулы методами теории массового обслуживания (ТМО). Однако, в ряде случаев, полученные в результате этого расчётные формулы могут быть неточными и не пригодными для практических расчётов из-за принятых в этой теории допущений.

Покажем это для случая расчёта надёжности при резервировании замещением, когда интенсивности отказов основного и резервного элементов не равны по величине. Для этого случая мы решим лишь задачу резервирования замещением с кратностью резерви­рования резерва один к одному, то есть задачу с дублированием.

Пусть имеется система из одного рабочего и одного резервного невос­станавливаемых элементов. Резервирование ненагруженное замещением. Полагаем, что переключатели абсолютно надежны (Рп » 1). Требуется опре­делить надёжность системы методами теории массового обслуживания (ТМО). Интенсивность отказа основного элемента λ₁, а резервного λ₂.

Решение этой задачи будем проводить в следующем порядке:

а) изобразим граф всевозможных состояний системы (рисунок 5.8). На этом рисунке S₀ – состояние, когда работает основной элемент, S₁ - работает резервный элемент, так как основной отказал, S₂ - система не работает, так как отказали оба элемента. Поскольку элементы не восстанавливаемые - стрелки на графе направлены только в одну сторону;

б) составим систему дифференциальных уравнений для состояний S₀, S₁, S₂ по инженерному правилу А. Н. Колмогорова:

dP₀(t) / dt = - λ₁ · P₀(t), (5.25)

dP₁(t) / dt = λ₁·P₀(t) - λ₂·P₁(t), (5.26)

dP₂(t) / dt = λ₂·P₁(t). (5.27)

Так как резерв ненагруженный, то можно считать, что резервный элемент свой резерв не расходует, пока работает основной элемент. В момент отказа нельзя считать dP_k / dt = 0 и переходить к системе алгебраических уравнений. Нужно решать дифференциальные уравнения известными в математике мето­дами. Подставив в первое и второе уравнения P₀(t) = exp(- λ₁· t), получим:

dP₀(t) / dt = - λ₁ · exp(- λ₁ · t); (5.28)

dP₁(t) / dt = λ₁ · exp(- λ₁· t) – λ₂ · P₁(t). (5.29)

Последнее дифференциальное уравнение для Р₁(t) является линейным и методика решения его известна. Вначале запишем однородное уравнение

dP₁(t) / dt + λ₂ · P₁(t) = 0. (5.30)

Разделяем в нём переменные

dP₁(t) / P₁(t) = – λ₂dt (5.31)

и при его интегрировании получаем

ln P₁(t) = – λ₂ t +ln C, (5.32)

где ln C- постоянная интегрирования.

Учитывая свойства логарифма, получаем

P₁(t) = С · exp(- λ₂ · t). (5.33)

Ищем общее решение уравнения (5.29) в виде

P₁(t) = С(t) · exp(- λ₂ · t). (5.34)

Дифференцируя, имеем

dP₁(t) / dt = (dС(t) / dt) · exp(- λ₂ · t) - λ₂· С(t) · exp(- λ₂ · t). (5.35)

Подставив, выражения для P₁(t) и dP₁(t) / dt в уравнение (5.29), получим

(dС(t) / dt) · exp(- λ₂ · t) - λ₂· С(t) · exp(- λ₂ · t) + λ₂· С(t) · exp(- λ₂ · t) =

= λ₁· exp(- λ₁ · t). (5.36)

(dС(t) / dt) = λ₁· exp[(λ₂ - λ₁) · t]. (5.37)

При интегрировании последнего выражения получаем

(5.38)

где С₂- постоянная интегрирования.

Подставив в общее решение уравнения (5.29) найденное значение С(t), получим

(5.39)

Для определения постоянной интегрирования учтём, что при t = 0 Р₀(t) = Р₀(0) = 1, а значит по условию нормировки вероятности других состояний при t = 0 равны нулю [Р₁(0) = Р₂(0) = 0]. Тогда последнее выражение примет вид

P₁(0) = 0 = [λ₁ / (λ₂ - λ₁)] + С₂. (5.40)

Откуда

С₂ = λ₁ / (λ₁ – λ₂). (5.41)

И общее решение (5.39) уравнения (5.29) принимает вид

(5.42)

Следует отметить, что формулы (5.41) и (5.42) приближённые, так как при их выводе использовано инженерное правило А. Н. Колмогорова, установленное с использованием приближённого равенства

ехр(- λ · t) ≈ 1 – λ · t, (5.43)

справедливого лишь при значениях λ · t намного меньше единицы. С учётом приближённого равенства (5.43) формула (5.42) примет вид

(5.44)

в) найдя Р₁(t), определим вероятность безотказной работы системы Р(t) с учётом приближённого равенства (5.43):

Р(t) = P₀(t) + P₁(t) = exp(-λ₁· t) + λ₁· t = 1- λ₁· t + λ₁· t = 1; (5.45)

г) находим из нормировочного условия вероятность отказа системы:

Р₃(t) = 1 – Р(t) = 1 - 1 = 0. (5.46)

В результате видно, что для данной задачи расчёт с использованием системы дифференциальных уравнений для состояний S₀, S₁, S₂, составленных по инженерному правилу А.Н. Колмогорова, даёт слишком грубый результат, не пригодный для использования на практике, так как при выводе правила А.Н. Колмогорова при разложении ехр(- λ · t) в ряд не учтены члены, содержащие (-λ · t)², (-λ · t)³, (-λ · t)⁴ и т. д.

Поэтому при решении сложных задач расчёта надёжности для случаев ненагруженного и облегчённого резервирования замещением, а также резервирования замещением с учётом последействия целесообразно использовать рекуррентную формулу (5.21), либо производить вычисления по схеме «гибели» с использованием преобразования Лапласа [8]. Если произвести расчёт не удаётся, то проводят испытания на надёжность на математических моделях, либо обычные испытания изделий на надёжность.

Рассмотрим пример расчёта надёжности для случая резервирования замещением с учётом последействия.

Пример 5.1 [8].

Две аккумуляторные батареи работают на одну нагрузку. Интенсивность отказов каждой из них λ = 0,1·10^-4 l/ час. При повреждении (отказе) одной из батарей интенсивность отказов исправной возрастает вследствие более тяжелых условий работы и равна λ₁ = 0,8·10^-4 l/час. Необходимо найти вероятность без­отказной работы системы в течение времени t = 1000 час, а также среднее время безотказной работы.

Решение.

В нашем случае имеет место общее резер­вирование с постоянно включенным резервом. Так как при отказе одной батареи интенсивность отказов другой, исправной, изменяется, то имеет место последействие отказов. Дублированная система исправна в течение времени t при следующих благоприятных ситуациях:

А - ни одна из батарей за время t не отказала;

Б - аккумуляторная батарея 1 отказала, проработав время τ < t, а батарея 2 оставалась исправной в течение времени t;

В - аккумуляторная батарея 2 отказала, проработав время τ < t, а батарея 1 оставалась исправной в течение времени t.

Можно найти вероятность безотказной работы системы Р_С(t) как сумму вероятностей благоприятных гипотез, т.е.

Р_С(t) = Р_А(t) + Р_Б(t) + Р_В(t). (5.47)

Гипотезы Б и В одинаковы, поэтому Р_Б(t) = Р_В(t)и тогда

Р_С(t) = Р_А(t) + 2Р_Б(t). (5.48)

Так как Р_А(t) есть вероятность того, что за время t ни одна из батарей не откажет, то

Р_А(t) = ехр(-2λ · t). (5.49)

Вероятность гипотезы Б можно вычислить, восполь­зовавшись выражением

(5.50)

где a₁(τ) · dτ - вероятность отказа первой батареи в мо­мент τ (вернее, в течение малого промежутка dτ); a₁(τ) = λ · ехр(- λ ·) - частота отказов первой батареи в момент τ; P₂(τ) = ехр(- λ ·) - вероятность безотказной работы аккумулятор­ной батареи 2 в течение времени τ, т.е. до отказа первой батареи; P₂(t - τ) - вероят­ность безотказной работы батареи 2 за промежуток вре­мени от τ до t. Так как в этом промежутке интенсив­ность отказов батареи равна λ₁, то

P₂(t - τ) = ехр[-λ₁(t - τ)]. (5.51)

Подставляя все значения вероятностей в выражение (5.50) для Р_Б(t) и интегрируя, получаем

(5.52)

Тогда вероятность безотказной работы резервирован­ной системы будет

Р_С(t) = Р_А(t) + 2Р_Б(t) =

= ехр(- 2λ · t) + 2 · λ·{ехр[-t(2λ - λ₁)] -1}· [ехр(-λ₁t)] / (λ₁ - 2λ) =

= λ₁· ехр(-2λ · t) / (λ₁ - 2λ) - 2λ · [ехр(-λ₁  t)] / (λ₁ - 2λ). (5.53)

Подставляя в эту формулу значения времени t = 1000 час, а также зна­чения интенсивностей отказов λ = 0,1·10^-4 l/час и λ₁ = 0,8·10^-4 l/час, полу­чаем Р_С(t) ≈ 0,999.

Средняя наработка до отказа Т_1С определяется из соотношения (3.17)

(5.54)

Подставляя значения λ₁ и λ, в эту формулу, имеем Т_1С = 62500 час.

Расчет надёжности резервированных систем иногда полезно выполнять, используя схему «гибели» («чистого размножения») [8]. В соответствии с этой схемой преобра­зование Лапласа вероятности возникновения n отказов вычисляется по формуле

(5.55)

При неравных корнях знаменателя обратное преоб­разование Лапласа Р_n(s) будет

(5.56)

В формулах (5.55) и (5.56) приняты обозначения: λ₀ - интенсивность отказов системы до выхода из строя первого элемента; λ₁ - интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа первого эле­мента до второго; λ₂ - интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа второго эле­мента до третьего и т.д.; n - число отказавших элемен­тов; s_k = - λ_k - k-й корень знаменателя выражения (5.55); B'(s_k) - производная знаменателя в точке s_k.

При одинаковых опасностях отказов λ_ί, т.е. λ₀ = λ₁ = λ₂ =…= λ_n, расчетные формулы имеют вид

(5.57)

При расчетах надёжности по формулам (5.55) - (5.57) следует помнить, что они не определяют вероят­ности безотказной работы (или вероятности отказа) резервированной системы, а определяют лишь вероят­ность n-го состояния системы, т.е. вероятность того, что в системе откажут n элементов. Для вычисления вероят­ности безотказной работы «необходимо находить вероят­ности 0, 1, . . ., n отказов, когда система еще находится в работоспособном состоянии (исправна), и суммиро­вать полученные вероятности.

Средняя наработка до отказа Т_1С системы при ис­пользовании схемы «гибели» вычисляется то

(5.58)

где λ_ί - интенсивность отказов системы до выхода из строя ί-го элемента.

Пример 5.2 [8].

Решить задачу, описанную в примере 5.1, используя для её решения схему «гибели».

Решение.

В нашем случае интенсивность отказов систе­мы до выхода из строя первой батареи λ₀ = 2λ = 0,2·10^-4 l/час, интенсивность отказов системы в проме­жутке времени от момента отказа первой батареи до отказа второй λ_ι =0,8·10^{- 4} l/ час. Тогда вероятность возникновения отказа системы рав­на вероятности возникновения двух отказов. На основании и формулы (5.55) преобразование Лапласа вероят­ности отказа будет

(5.55)

В нашем случае корни знаменателя равны:

s₀ = - 2λ; s₁ = - λ₁; s₂ = 0.

Знаменатель Β(s) равен

Β(s) = (s + 2λ) · (s + λ₁) · s = s³ + (2λ + λ₁) · s² +2λ  λ₁ · s,

а производная от знаменателя Β'(s) равна

Β'(s) = 3s² + 2s(2λ +λ₁) + 2λλ₁.

Тогда

Β'(s₀) = 12λ² – 4λ (2λ + λ₁) + 2λ  λ₁ = 2λ(2λ - λ₁) ,

Β'(s₁) = 3λ₁² - 2 λ₁(2λ + λ₁) + 2λ  λ₁ = λ₁(2λ - λ₁), Β'(s₂) = 2λ  λ₁.

Подставляя значения интенсивностей отказов, корней s_k и производных B'(s_k) в (5.56), получим

(5.56а)

Так как вероятность безотказной работы Р_с(t) = 1 - Р₂(t), то



что совпадает с решением, полученным по первому спо­собу в примере 5.1.

Среднюю наработку до первого отказа можно вычис­лить по формуле (5.58). В нашем случае

(5.58а)

что совпадает с решением по первому способу в примере 5.1.

5.3.5 Расчёт скользящего ненагруженного резервирования замещением

Схема скользящего резервирования изображена на рисунке 5.9. Вероятность безотказной работы системы для скользящего ненагруженного резервирования замещением при экспоненциальном законе надёжности и при идеальных (безотказных) переключателях находится по формуле [4, 8]

(5.59)

где

λ₀ = n  λ_J (5.60)

- интенсивность отказов нерезервированной системы из n элементов; λ_J - интенсивность отказов нерезервированного элемента; m₀ – число резервных элементов.

Средняя наработка до отказа системы скользящего резервирования для этого случая равна

Т_СК = Т_С0  (m₀ + 1), (5.61)

г
де Т_С0 - средняя наработка до отказа нерезервированной системы.

Если изделие состоит из n основных и одного резервного элемента, находящегося в ненагруженном со­стоянии, то в течение времени наработки (0.. t_i) такое изделие мо­жет пребывать в двух несовместных работоспособных состояниях: когда все его элементы (n + 1) работоспособны или когда хотя бы один из них отказывает. В этом случае вероятность безотказной работы изделия Р_С(t_i) оценивают суммой вероятностей безотказной работы в каждом из этих состояний [1]:

(5.62)

где р(t_i), р_п(τ) и р(t_i - τ) - соответственно вероятности безотказ­ной работы одного (из n ) элемента основной системы, переклю­чателя до момента τ включения резервного элемента и резервного элемента с момента τ его включения; f(τ) - плотность распреде­ления наработки до отказа одного элемента основной системы.

При экспоненциальном законе распределения наработки до от­каза уравнение (5.62) приобретает вид

(5.63)

где λ₁ и λ_П - соответственно интенсивности отказов работающего элемента и переключателя резерва.