Теория надежности. Учебное пособие для студентов

• Название: Учебное пособие для студентов
• Анкор: Теория надежности.doc
• Дата: 07.05.2017
• Размер: 3.48 Mb.
• Имя файла: Теория надежности.doc
• Тип: Учебное пособие; #7212
• страница: 21 из 23

7.3.Критерии согласия между теоретической кривой и статистическим распределением

7.3.1 Критерий согласия Кол­могорова

По критериям согласия можно определить, вызваны ли расхождения между теоретической кривой и статистическим распределением только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что выбранная кривая плохо выравнивает данное статистическое распределение. Из критериев согласия наиболее распространены критерий Колмогорова и критерий χ² Пирсона.

При применении критерия согласия Колмогорова в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между теоретической F(t) и экспериментальной F_стат(t) интегральными функциями распределения (рисунок 7.2). В данном случае интегральными функциями распределения являются вероятности отказа. Заметим, что в некоторых источниках [10] статистическую интегральную функцию распределения F_стат(t) называют накопленной частостью Р_н, а обычную статистическую функцию распределения f_стат(t) - частостью Р_i. На основании критерия Колмогорова экспериментальное распределение согласуется с выбранным теоретическим, если выполняется условие [4, 8, 10]

(7.35)

где ΔF = max [F_стат(t) - F(t)] - наибольшее отклонение теоретической кривой распределения от экспериментальной; n - общее количество экспериментальных данных.

Недостатком критерия Колмогорова является то, что он требует предварительного знания теоретического распределения, т.е. его можно применять, когда известны не только вид функции распределения F(t), но и ее параметры. Когда параметры теоретического распределения находятся по статистичес­ким данным, то критерий дает заведомо завышенные значения Δr, что может привести к неверным выводам.

П
о данным ста­тистического ряда из таблицы 7.3 построим зависимости вероятностей отказа F_стат(t) и F(t) от времени (рисунок 7.2) и проверим гипотезу об экспоненциальном распределении времени исправной работы устройства, ис­пользуя критерий Колмогорова.

Из этого рисунка и таблицы 7.3 видно, что ΔF = 0,13. Проверяем соответствие закона по критерию согласия Колмогорова (7.35):



В соответствии с формулой (7.35) считаем, что закон распределения экспоненциальный.

Если статис­тическая интегральная функция­ распределения (вероятность отказа) F_стат(t) известна F_стат(t) и F(t), а теоретическая функция­ распределения F(t) неизвестна, то согласие между теоретической кривой и статистическим распределением по критерию Колмогорова можно определить с помощью вероятностных сеток [8, 10, 14, 15]. Правила построения и применения вероятностных сеток изложены в СТ СЭВ 3542-82 [15].

В литературе, например в [8,15], имеются заранее приготовленные вероятностные сетки для различных законов распределения, называемые вероятностными бумагами. Если закон распределения соответствует закону, для которого построена вероятностная сетка, то интегральная функция теоретического закона распределения отображается на вероятностной бумаге в виде прямой, а если не соответствует, то в виде линии другой формы.

Для определения закона распределения по вероятностной бумаге необходимо сначала построить дискретный ряд распределения, если объем выборки n < 50, и интервальный ряд с количеством интервалов l при n > 50. Значение частот в интервалах обычно должно быть не менее пяти. В обоих случаях должны быть подсчитаны накопленные частости Р_н, которые и представляют статистическую интегральную функцию распределе­ния F_стат(t).

В теории надёжности на вероятност­ную бумагу наносят не накопленные эмпирические частости Р_н = F_стат(t), тождественные вероятности отказа, а разности 1- Р_н, тождественные вероятности безотказной работы. Полученные экспериментальные точки аппроксимируются прямой ли­нией. Если опытные точки располагаются близко к прямой, то это свидетельствует в первом приближении о согласии опытных данных с тем законом распределения, для которого построе­на вероятностная бумага. Для более объективного построения прямой по опытным точкам рекомендуется использовать метод наименьших квадратов. При нанесении на вероятностную бумагу экспериментальных то­чек частости, соответствующие крайним значениям признака, обычно отбрасываются, так как количество данных для этих значений мало и получается большая погрешность [10].

После визуальной оценки по вероятностной бумаге согласия эмпирического распределения с выбранным теоретическим распределением необходимо проверить соответствие между ними по критерию Колмогорова (7.35). Если исследуется надёжность изделий с неизвестным законом, то перебирать несколько типов вероятностных бумаг, прежде чем будет найден подходящий закон, рекомендуется в таком порядке [8]: экспоненциальный, усеченный нормальный, логарифмически нормальный, Вейбулла, гамма.

Вид вероятностных бумаг для усеченного нормального и логарифмически нормального законов показан на рисунке 7.4, а пример использования вероятностной бумаги для экспоненциального закона для оценки согласия эмпирического распределения с выбранным теоретическим распределением показан на рисунке 7.3.

Пример 7.2 [8].

В результате опыта получен следующий вариационный ряд времен исправной работы изделия в часах: 2; 3; 3; 5; 6; 7; 8; 8; 9; 9; 13; 15; 16; 18; 20; 21; 25; 28; 35; 37; 53; 56; 69; 77; 86; 98; 119. Требуется установить закон распределения времени безотказной работы.

Р
ешение.

1. Используя исходные данные и вычислив , заполняем таблицу 7.10.

Таблица 7.20 - Данные к примеру 7.2

tί	nί	Нί	Рн = Нί / n	1 - Рн
2	1	1	0,04	0,96
3	2	3	0,11	0,89
5	1	4	0,14	0,86
6	1	5	0,18	0,82
7	1	6	0,21	0,79
8	2	8	0,29	0,71
9	2	10	0,36	0,64
13	1	11	0,39	0,61
15	1	12	0,43	0,57
16	1	13	0,47	0,53
17	1	14	0,50	0,50
18	1	15	0,54	0,46
20	1	16	0,57	0,43
21	1	17	0,61	0,39
25	1	18	0,64	0,36
28	1	19	0,68	0,32
35	1	20	0,72	0 28
37	1	21	0,75	0,25
53	1	22	0,79	0,21
56	1	23	0,82	0,18
69	1	24	0,86	0,14
77	1	25	0,89	0,11
86	1	26	0,93	0,07
98	1	27	0,96	0,04
119	1	28	1,00	0,00

2. Проверяем согласие экспериментального распределения с экспоненциальным распределением. Наносим экспериментальные данные на координатную сетку (рисунок 7.3).

3
. Проводим через отметки прямую линию таким об­разом, чтобы отклонения точек от прямой были мини­мальными. Убеждаемся в возможности линейной интер­поляции. Находим и снимаем наибольшее отклонение. В нашем случае ΔF = D = 0,09.

4. Проверяем соответствие закона по критерию согласия Колмогорова (7.35):



В соответствие с формулой (7.35) считаем, что закон распределения времени безотказной работы не противо­речит экспоненциальному.

7.3.2 Критерий согласия χ² Пирсона

Критерий χ² Пирсона не требует графического построения закона распределения. Достаточно задаться ви­дом функции F(t), а входящие в нее числовые параметры определя­ются по данным эксперимента. Пусть произошло n отказов и имеется ряд наработок Т₁₁, Т₁₂, Т₁₃, ..., Т_1n устройства. Требуется проверить гипотезу о том, что статистическое распределение наработки устрой­ства согласуется с каким-либо известным законом (нормальным, экспоненциальным и т.д.). Разбиваем ось времени t(0, ∞) на k интервалов Δt ([(0, t₁), (t₁, t₂), ..., (t_κ-2, t_κ-1),( t_κ-1, ∞)]. Рассчи­тываем теоретическую вероятность Р_ί попадания в ί-й интервал при одном опыте с помощью статистически определённых параметров предполагаемого распределения. Подсчитываем число n_ίстат наработок, попавших в ί-й интер­вал. Затем вычисляется вероятность [4]:

(7.36)

где Δr - мера расхождения; χ² - функция плотности распределения, вычисляе­мая из выражения

. (7.37)

Здесь k = l - число интерва­лов статистического ряда.

(7.38)

где r = к - 1 - число степеней свободы распределения.

По таблице 7.11 можно для каждого значения χ² и числа степеней свободы r найти вероятность .

Если вероятность ≤ 0,1, то выбранное теоретическое распределение следует считать неудач­ным. В противном случае считают, что взятое теоретическое распределение согласуется с экспе­риментальным и может быть принято.

Схема применения критерия χ² в оценке согласованности теорети­ческого и статистического распределений сводится к следующему:

• 
  определяется χ² по формуле (7.37);
  
• 
  находится число степеней свободы r = к - 1;
  
• 
  по r - числу степеней свободы распределения и χ² с помощью таблицы 7.11 определяется вероят­ность;
  
• 
  если ≤ 0,1, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная, при > 0,1 гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.
  

Таблица 7.21 - Квантили распределения χ2 для числа степеней свободы r и выбранной вероятности

r	Вероятность
	0,990	0,95	0,8	0,3	0,2	0,1	0,05
3	0,115	0,352	1,00	3,67	4,64	6,25	7 81
4 5 6 7 8 9	0,297	0,711	1,65	4,88	5,99	7 78	9,49
5	0,554	1,15	2,34	6,06	7,29	9,24	11,1
6	0,872	1,64	3,07	7,23	8,56	10,6	12,6
7	1,24	2,17	3,82	8,38	9,80	12,0	14,1
8	1,65	2,73	4,59	9,52	11,0	13,4	15,5
9	2,09	3,33	5,38	10,7	12,2	14,7	16,9
10	2,56	3,94	6,18	11,8	13,4	16,0	18,3
12	3,57	5,23	7,81	14,0	15,8	18,5	21,0
15 12	5,23	7,26	10,3	17,3	19,3	22,3	25,0
20	8,26	10,9	14,6	22,8	25,0	28,4	31,4
40 40	22,2	26,5	32,3	44,2	47,3	51,8	55,8
80	53,5	60,4	69,2	86,1	90,4	96,6	101,9
100	70,1	77,9	87,9	106,9	111,7	118,5	124,3

Пример 7.3 [4].

По данным об отказах изделия во время эксплуатации получен вариационный ряд времени отказов t_i в часах: 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 4,5; 5; 7; 8,5; 9; 9,5; 10; 10,5; 11; 14; 16; 17; 18; 18,5; 19; 20; 21; 24; 28; 32; 34; 35; 38; 39; 43; 44,5; 45; 48; 49; 50; 52; 53; 60; 65; 70; 71; 74; 82; 92; 93; 96; 99; 102; 103; 104; 108; 112; 116; 117; 120; 121; 122; 123; 126; 138; 145; 150; 154; 159; 165; 169; 177; 189; 205; 243; 249; 255; 267; 289; 292; 306; 331; 337; 366; 386. Необходимо проверить согласие данных эксплуатации с гипотезой об экспоненциальном распределении, используя критерий χ² Пирсона.

Решение:

1. Используя вариационный ряд времени отказов, построим статистический ряд с интервалом Δt_i = 50 ч: (таблица 7.12, первая и вторая строки).

2. Находим по исходным данным задачи с помощью формулы (3.22) статистическую оценку средней наработки до отказа Т_1стат

ч.

Таблица 7.22 - Исходные данные и промежуточные вычисления к примеру

N0стр.	Δtί , ч	0 - 50	50 - 100	100 - 150	150 - 200	200 - 250	250 - 300	300 -350	350 -∞
1
2	nίстат	35	12	15	6	3	4	3	2
3	Рί	0,4	0,23	0,15	0,09	0,05	0,03	0,02	0,03
4	nРί	32	18,4	12	7,2	4	2,4	1,6	2,4
5	(nίстат - nРί)2	9	42,5	9	1,44	1,0	2,56	1,96	0,16
6	(nίстат - nРί)2 / nРί	0,28	2,31	0,75	0,2	0,25	1,06	1,25	0,07

3. Строим (рисунок 7.5) теоретическую интегральную функцию распределения времени безотказной работы (зависимость вероятности отказа F(t) от времени t), используя формулу

F
(t) = 1 - ехр(-t / Т_1стат) = 1- ехр(-t / 100).

4. По формуле (7.37) рассчитываем

. (7.37)

При этом величина частости Р_ί берется равной приращению теоретической интегральной функции распределения F(t) в i-ом интервале (см. рисунок 7.5). Последовательность расчёта отражена в строках 2…6 таблицы 7.12. В конечном счете, имеем

χ² = 0,28 + 2,31 + 0,75 + 0,2 + 0,25 + 1,06 + 1,25 + 0,07 = 6,17.

По таблице 7.11 при χ² = 6,17 и r = к – 1 = 8 – 1 = 7 находим вероятность Р() ≈ 0,5. Так как Р() > 0,1, то гипотезу об экспоненциальном распределении времени безотказной работы можно признать не противоречащей опытным данным.