Теоретико-игровые методы принятия решений (Еремеев А. П.). Теоретико-игровые методы принятия решений (Еремеев А. П. Учебное пособие по курсам Теория игр и исследование операций, Теория принятия решений

• Название: Учебное пособие по курсам Теория игр и исследование операций, Теория принятия решений
• Анкор: Теоретико-игровые методы принятия решений (Еремеев А. П.).doc
• Дата: 27.03.2018
• Размер: 1.18 Mb.
• Имя файла: Теоретико-игровые методы принятия решений (Еремеев А. П.).doc
• Тип: Учебное пособие; #17282
• Категория: Математика
• страница: 13 из 15

5.3.Контрольные вопросы к разделу 5

• 
  Дайте определение игры с «природой».
  
• 
  Определите понятие риска.
  
• 
  Сформулируйте критерий Лапласа для случая стохастической неопределенности.
  
• 
  Сформулируйте критерий Вальда.
  
• 
  Сформулируйте критерий Сэвиджа.
  
• 
  Сформулируйте критерий Гурвица.
  
• 
  Приведите пример на решение игры с «природой».
  
• 
  Рассмотрите игру с природой G(43), заданную следующей матрицей игры для случая стохастической неопределенности при q₁=0,3;q₂=0,4;q₃=0,1;q₄=0,2 и случая отсутствия вероятностей состояний природы:
  

Пj Ai	П1	П2	П3	П4
A1	1	4	5	9
A2	3	8	4	3
A3	4	6	6	2

• 
  Дайте пояснения по поводу использования смешанных стратегий в играх с «природой».
  

6.ИГРЫ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ

6.1.Определение игры с упорядоченными исходами
при наличии ряда критериев

Рассмотрим следующий пример. Пусть ожидается эпидемия некоторого заболевания, который может быть вызван вирусами, условно обозначенными В₁, В₂, В₃. Против данного типа вирусов могут быть использованы вакцины типа V₁, …, V₇. Предполагается, что чем больше номер вакцины i, тем меньше затраты α_i (в некоторых условных единицах) на ее производство, пусть α_i  {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Эффективность вакцины типа V_i, i = 1, …, 7, оценивается величиной _i  {1; 2; 3; 4} (чем больше значение _i, тем эффективнее вакцина).

Технология производства вакцины такова, что одновременно в массовом порядке может производиться вакцина только одного типа. Требуется определить, какого типа вакцину следует производить с целью минимизации затрат на производство (что позволит произвести больше вакцины при тех же затратах) и максимизации ее эффективности.

Введем понятие исхода R(V_i,B_j)=(_i, _i) – результата (выигрыша), отражающего как затраты α_i на производство вакцины V_i, так и ее эффективность _i применительно к вирусу типа B_j. Тогда для поиска оптимального решения (стратегии производства) может быть использован критерий

R(V_i, B_j)  (max, max).

6.2.Поиск решения игры с упорядоченными исходами

Пусть задана табл. 6.1 возможных исходов. Нетрудно заметить, что проблемная ситуация моделируется игрой с «природой», где стратегиями (выборами) ЛПР являются типы вакцин, а состояниями «природы» (условиями) – типы вирусов. Поскольку вероятности состояний «природы» неизвестны, то в качестве критерия оптимальности выберем наиболее осторожный критерий Вальда, предварительно выделив наихудший исход для вакцины каждого типа (см. последний столбец табл. 6.1).

Таблица 6.31

Bj Vi	B1	B2	B3	min(i, j)
V1	(1; 4)	(1; 3)	(1; 3)	(1; 3)
V2	(2; 3)	(2; 3)	(2; 4)	(2; 3)
V3	(3; 4)	(3; 3)	(3; 2)	(3; 2)
V4	(4; 3)	(4; 2)	(4; 3)	(4; 2)
V5	(5; 2)	(5; 3)	(5; 2)	(5; 2)
V6	(6; 3)	(6; 2)	(6; 1)	(6; 1)
V7	(7; 1)	(7; 2)	(7; 3)	(7; 1)

Применение критерия Вальда сводится к установлению отношения предпочтения (доминирования) на множестве выделенных исходов и удаления доминируемых исходов, а значит, и соответствующих им стратегий (вакцин) ЛПР (отмечены перечеркнутыми строками). В результате получаем множество эффективных (недоминируемых) решений Парето {V₂, V₅, V₇}, для окончательного выбора из которого ЛПР необходима дополнительная информация. Например, если известно, что эпидемия не носит всеобщего характера (заболевают в основном дети и пожилые люди), но болезнь протекает тяжело, то предпочтение следует отдать наиболее дорогой, но и наиболее эффективной в целом вакцине типа V₂. Для противоположного случая – всеобщность эпидемии при сравнительной легкости заболевания – целесообразно производить наиболее дешевую (но и менее эффективную) вакцину типа V₇. Для промежуточного случая или при отсутствии дополнительной информации может быть рекомендована вакцина типа V₅. Заметим, что если имеется достаточно средств, то следует производить наиболее эффективную вакцину V₂.

Если для той же задачи, например, поступила информация, что ожидается вирус типа В₃, то табл. 6.1 трансформируется в табл. 6.2.

Таблица 6.32

Bj Vi	B3
V1	(1; 3)
V2	(2; 4)
V3	(3; 2)
V4	(4; 3)
V5	(5; 2)
V6	(6; 1)
V7	(7; 3)

Снова используя отношение доминирования на множестве исходов, получим множество эффективных решений Парето, состоящее только из двух решений (вакцин) V₂, и V₇. Привлекая дополнительную информацию о тяжести заболевания и его массовости, решается вопрос о том, какую из двух вакцин производить.