Теоретико-игровые методы принятия решений (Еремеев А. П.). Теоретико-игровые методы принятия решений (Еремеев А. П. Учебное пособие по курсам Теория игр и исследование операций, Теория принятия решений

• Название: Учебное пособие по курсам Теория игр и исследование операций, Теория принятия решений
• Анкор: Теоретико-игровые методы принятия решений (Еремеев А. П.).doc
• Дата: 27.03.2018
• Размер: 1.18 Mb.
• Имя файла: Теоретико-игровые методы принятия решений (Еремеев А. П.).doc
• Тип: Учебное пособие; #17282
• Категория: Математика
• страница: 9 из 15

4.2.Теория Нэша для некооперативных игр

В качестве решения биматричной игры Дж. Нэшем (J. Nash) [2, 5] предложено считать ситуацию равновесия (S_A^*,S_B^*), которая определяется следующим образом.

Определение 4.1. Пара смешанных стратегий (S_A^*,S_B^*), где S_A^*=(p_i^*),i=1, …, m,S_B^*=(q_j^*),j=1, …, n,является ситуацией равновесия, если для любых других двух смешанных стратегиях S_A=(p_i),i=1, …, m,S_B=(q_j),j=1, …, n,игроков A и B выполняются следующие условия:

1. 
   ,
   
2. 
   .
   

Согласно определению ситуация равновесия обладает свойством устойчивости, т.е. игрокам не выгодно от нее отступать. Нэш доказал следующую теорему [5].

Теорема 4.1. Каждая некооперативная биматричная игра имеет по крайней мере одну ситуацию равновесия.

Решением биматричной игры является ситуация равновесия, причем, если таких ситуаций несколько, то они должны быть взаимозаменяемы (равноценны). Нэш доказал, что для любой биматричной игры существует ситуация равновесия, но не дал общего метода её поиска.

Рассмотрим примеры биматричных игр, к которым плохо применима теория Нэша.

1. 
   «Дилемма заключенного»
   

Данная биматричная игра G(22)представлена табл. 4.2.

Таблица 4.19

Bm An	В1	В2
А1	(–1; –1)	(–10; 0)
А2	(0; –10)	(–6; –6)

Интерпретация игры следующая.

Два заключенных находятся в разных камерах и подозреваются в совершении одного и того же преступления. Каждый из них располагает двумя стратегиями поведения: кооперативными (молчать и не давать показания) А₁и В₁, и некооперативными (давать показания на другого) А₂и В₂.

Нетрудно заметить, что вторые стратегии игроков предпочтительнее (доминируют) первых, и, следовательно, ситуацией равновесия будет пара (А₂, В₂) с выигрышем (–6; –6), но, очевидно, что ситуация (А₁, В₁), дающая выигрыш (–1; –1) более выгодна сразу для обоих игроков (правда, для ее достижения игрокам необходимо договориться между собой, т.е. вступить в коалицию, иначе можно попасть на невыгодные стратегии (А₁, В₂) и (А₂, В₁)).

2. 
   «Конкурирующие фирмы»
   

Эта биматричная игра G(22)представлена табл. 4.3.

Таблица 4.20

Bm An	В1	В2
А1	(5; 5)	(2; 7)
А2	(7; 2)	(3; 3)

Здесь также у игроков (конкурирующих фирм) по две стратегии: стратегии сохранения цен на продаваемый ими товар А₁, В₁ и стратегии снижения цен А₂, В₂. Аналогично предыдущей игре вторые стратегии предпочтительнее первых и ситуацией равновесия является пара (А₂, В₂) с выигрышем (3; 3), но и в этой игре ситуация (А₁, В₁) с выигрышем (5; 5) более выгодна сразу для обоих игроков (правда, и здесь для ее достижения фирмам необходимо договориться не снижать цены, что может противоречить их интересам).

3. 
   «Семейный спор»
   

Рассмотри еще одну биматричную игру G(22),представленную табл. 4.4.

Таблица 4.21

Bm An	В1	В2
А1	(2; 1)	(–1; –1)
А2	(–5; –5)	(1; 2)

У игроков А – мужа и В – жены имеются по две стратегии: А₁ и В₁ – пойти на футбол; А₂ и В₂ – пойти в театр. В данном случае получаем две ситуации равновесия – (А₁, В₁) с выигрышем (2; 1) и (А₂, В₂) с выигрышем (1; 2), но так как ситуации равновесия не являются равноценными, то данная игра считается неразрешимой по Нэшу.