−7.33434
−7.16043 5
0.03365
−2.42018
−4.68415
−6.38522
−7.25111
−7.08058 3. Решение уравнения теплопроводности по неявной разност- ной схеме.
Как и при построении явной разностной схемы, заданную краевую задачу запишем в узлах сетки, покрывающей область Ω.
Для нулевого временного слоя (x i
, t
0
), i = 0, ..., n, используем началь- ное условие u
0
i
=
ϕ
(x i
),
i = 0, ..., n.
В узлах сетки (x i
, t j
), i = 1, . . . , n − 1;
j = 1, . . . , m, запишем диффе- ренциальное уравнение, заменив производные разностными отношениями,
но производную по времени теперь аппроксимируем, используя разностное отношение „назад“:
∂u(x i
, t j
)
∂t
=
u j
i
− u j−1
i
τ
+ O(
τ
). Вторую производную по переменной x аппроксимируем, как и раньше, симметричным разностным отношением:
∂
2
u(x i
, t j
)
∂x
2
=
u j
i−1
− 2u j
i
+ u j
i+1
h
2
+O(h
2
). В результате получим:
u j
i
− u j−1
i
τ
+ O(
τ
) =
u j
i−1
− 2u j
i
+ u j
i+1
h
2
+ O(h
2
) + f (x i
, t j
),
i = 1, ..., n − 1,
j = 1, ..., m.
72
В граничных узлах сетки (x
0
, t j
) и (x n
, t j
), j = 1, ..., m, запишем за- данные краевые условия:
u j
0
= g
1
(t j
),
u j
n
− u j
n−1
h
+ O(h) = g
2
(t j
).
Отбросим погрешности аппроксимации O(
τ
), O(h
2
), O(h). В резуль- тате получим неявную схему разностной аппроксимации заданной краевой задачи:
˜
u
0
i
=
ϕ
(x i
), i = 0, ..., n,
˜
u j
i
− ˜
u j−1
i
τ
=
˜
u j
i−1
− 2˜
u j
i
+ ˜
u j
i+1
h
2
+f (x i
, t j
), i = 1, ..., n−1,
˜
u j
0
= g
1
(t j
),
˜
u j
n
− ˜
u j
n−1
h
= g
2
(t j+1
),
j = 1, ..., m.
Здесь ˜
u j
i
– приближенные значения функции u(x, t) в узлах сетки.
В отличие от явной разностной схемы значения искомой функции на j-м временном слое в явном виде не выражаются через значения на преды- дущем слое. Для выполнения расчетов перепишем уравнения в виде:
˜
u
0
i
=
ϕ
(x i
), i = 0, ..., n,
u j
i−1
−
2 +
h
2
τ
˜
u j
i
+ u j
i+1
= −
h
2
τ
˜
u j−1
i
− h
2
f (x i
, t j
), i = 1, ..., n−1,
˜
u j
0
= g
1
(t j
),
˜
u j
n
− ˜
u j
n−1
= hg
2
(t j
),
j = 1, ..., m.
Сначала из начального условия ˜
u
0
i
=
ϕ
(x i
) (i = 0, ..., n) определяются значения ˜
u
0
i для нулевого временного слоя.
Значения ˜
u j
i
(i = 0, ..., n) для следующих временных слоев t j
(j = 1, ..., m) можно найти, решая систему линейных уравнений, которую удобно записать в матричном виде:
1 0
0 ...
0 0
1 −
2 +
h
2
τ
1 ...
0 0
0 0
0 ... −1 1
˜
u j
0
˜
u j
1
˜
u j
n
=
F
0
F
1
F
n
,
73
где F
0
= g
1
(t j
); F
i
= −
h
2
τ
˜
u j−1
i
− h
2
f (x i
, t j
), i = 1, ..., n − 1; F
n
= hg
2
(t j
).
Кратко эту систему можно записать в виде
A˜
u j
=
F
j
Здесь ˜
u j
=[˜
u j
0
˜
u j
1
. . . ˜
u j
n
]
T
− матрица-столбец искомых значений функции на j-м временном слое. Матрица коэффициентов системы A трехдиагональ- ная, одинаковая для всех временных слоев. Для решения системы приме- ним метод прогонки − метод Гаусса без перестановки строк и столбцов матрицы. Решение системы уравнений выполняется в 2 этапа − прямой и обратный ход.
Прямой ход метода прогонки приводит матрицу A к верхней треуголь- ной матрице, на главной диагонали которой стоят единицы. По формулам
(7.9) и (7.10) вычисляются прогоночные коэффициенты – ненулевые эле- менты новой матрицы коэффициентов и новый столбец свободных членов.
Сначала найдем преобразованную матрицу ˜
A, используя (7.9) и (7.10). Для решаемого примера:
˜
C
0
=
0 1
= 0,
˜
C
i
=
−1 2 + h
2
/
τ
+ ˜
C
i−1
= 0,
i = 1, ..., n − 1.
Запишем матрицу ˜
A для рассматриваемого случая n = 5:
˜
A =
1 0 0
0 0
0 0 1 −0.15325 0
0 0
0 0 1
−0.15758 0
0 0 0 0
1
−0.15767 0
0 0 0
0 1
−0.15767 0 0 0
0 0
1
Эта матрица будет одинаковой для всех временных слоев.
Используя (7.9) и (7.10) определим правые части систем для всех вре- менных слоев:
˜
F
0
=
0.1 ln(t j
+ 1)
1
= 0.1 ln(t j
+ 1),
˜
F
1
=
˜
u j−1
i
(h
2
/
τ
) + h
2
(t j
(3 − 3x
1
) − 0.2x
1
sin(t j
) + 0.1/(t j
+ 1)) + ˜
F
0 2 + h
2
/
τ
,
74
˜ F i = ˜ u j−1 i (h 2 / τ ) + h 2 (t j (3 − 3x i ) − 0.2 x i sin(t j ) + 0.1/(t j + 1)) + ˜ F i−1 2 + h 2 / τ + ˜ C i−1 , i = 1, ... n − 1, ˜ F n = h(0.2 cos(t j ) + 0.1) + ˜ F n−1 1 + ˜ C n−1 Для решения систем уравнений с матрицей коэффициентов ˜ A будем использовать формулы (7.11) − обратный ход метода прогонки. Последовательно решим системы уравнений с верхней треугольной матрицей коэффициентов для временных слоев 1, . . . , 5: 1-й слой: ˜ A · ˜ u 1 0 ˜ u 1 1 ˜ u 1 2 ˜ u 1 3 ˜ u 1 4 ˜ u 1 5 = 0.00770 −2.10736 −4.15972 −5.64388 −6.52525 −7.53344 ; 2-й слой: ˜ A · ˜ u 2 0 ˜ u 2 1 ˜ u 2 2 ˜ u 2 3 ˜ u 2 4 ˜ u 2 5 = 0.01482 −2.00049 −4.03408 −5.52342 −6.38102 −7.36357 ; 3-й слой: ˜ A · ˜ u 3 0 ˜ u 3 1 ˜ u 3 2 ˜ u 3 3 ˜ u 3 4 ˜ u 3 5 = 0.02151 −1, 20513 −3.91759 −5.41327 −6.26364 −7.22673 ; 4-й слой: ˜ A · ˜ u 4 0 ˜ u 4 1 ˜ u 4 2 ˜ u 4 3 ˜ u 4 4 ˜ u 4 5 = 0.02776 −1.81899 −3.82071 −5.31549 −6.17142 −7.12016 ; 5-й слой: ˜ A · ˜ u 5 0 ˜ u 5 1 ˜ u 5 2 ˜ u 5 3 ˜ u 5 4 ˜ u 5 5 = 0.03365 −1.74056 −3.71370 −5.23127 −6.10200 −7.04175 В итоге получим решение задачи по неявной разностной схеме(табл. 7.6). 75
Таблица 7.6
i j
0 1
2 3
4 5
0 0.00
−3.06
−5.40
−7.02
−7.92
−8.10 1
0.00770
−2.91362
−5.24069
−6.85998
−7.71305
−7.53344 2
0.01484
−2.78384
−5.09181
−6.71256
−7.54204
−7.36357 3
0.02151
−2.66736
−4.95452
−6.58053
−7.40329
−7.22673 4
0.02776
−2.56199
−4.82952
−6.46553
−7.29406
−7.12016 5
0.03365
−2.46628
−4.71721
−6.36862
−7.21228
−7.04175
Перед защитой ТР студентам предлагается сравнить результаты на последнем временном слое, полученные тремя способами, и сделать выводы об их точности.
Список литературы
1. Типовые расчеты по дисциплине „Математический анализ“: учеб.
пособие / С. А. Колбина, Г. М. Коновалов, О. А. Снетков, М. Г. Сулимов.
СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ ЛЭТИ “, 2008.
2. Теория вероятностей в примерах и задачах: учеб. пособие / Н. Г. Го- голева, Е. Е. Жукова, С. А. Колбина и др. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ЛЭТИ“,
2017.
3. Математический анализ (функции одной вещественной перемен- ной): учеб. пособие / А. Л. Белопольский, А. С. Бондарев, М. Л. Доценко и др. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ ЛЭТИ“, 2013.
4. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический ана- лиз. Начальный курс. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.
5. Комплексные числа, многочлены и рациональные дроби: учеб. элек- тронное пособие / А. Л. Белопольский, Н. А. Бодунов, С. И. Челкак, В. М.
Чистяков. [Электронный ресурс] СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ ЛЭТИ“, 2013.
„ИНФОРМРЕГИСТР“ рег. свид. №32342, номер г. р. эл. изд. – 0321303044.
6. Двайт Г. Д. Таблицы интегралов и другие математические формулы.
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983.
7. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979.
8. Боревич Е. З., Жукова Е. Е., Челкак С. И. Дифференциальное ис- числение функций многих вещественных переменных. учеб. электронное пособие. [Электронный ресурс] СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ ЛЭТИ“, 2011.
„ ИНФОРМРЕГИСТР“ рег. свид. №24842, номер г. р. эл. изд. – 0321200075.
9. Колбина С. А., Пилюгин С. Ю. Линейная алгебра (дополнительные главы): учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ ЛЭТИ“, 2009.
10. Даугавет А. И., Постников Е. В., Червинская Н. М. Введение в теорию вероятностей: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ЛЭТИ“, 2012.
11. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и матема- тической статистики: учеб. пособие для вузов. СПб.: Лань, 2011.
12. Бодунов Н. А., Пилюгин С. Ю. Дифференциальные уравнения:
учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2011.
13. Боревич Е. З., Фролова Е. В., Челкак С. И. Ряды Фурье: учеб. элек- тронное пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ ЛЭТИ“, 2017.
14. Меркулов А. Л., Трегуб В. Л., Червинская Н. М. Методы матема- тической физики: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ЛЭТИ“, 2016.
15. Меркулов А. Л., Трегуб В. Л., Червинская Н. М. Задачи и упраж- нения по математической физике: учеб. пособие. СПб.: Изд-во
СПбГЭТУ „ЛЭТИ“, 2014.
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Точки разрыва функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Монотонность и экстремумы функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5. Выпуклость функции. Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6. Типовой расчет по теме „Построение графика функции“ (ТР 2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ . . . . . . 14 2.1. Многочлены и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Рациональные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Типовой расчет по теме „Интегрирование рациональных дробей“ (ТР 2.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1. Формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Интеграл вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3. Интегральный синус и интегральный косинус . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 3.4. Типовой расчет по теме „ Вычисление интеграла по формуле трапеций и с помощью специальных функций“ (ТР 2.4) . . . . . . . . . . . 28 4. ФУНКЦИИ ДВУХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.1. Функции двух вещественных переменных,непрерывность . . . . . . 32 4.2. Частные производные функции двух вещественных переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3. Локальные экстремумы функций двух вещественных переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4. Типовой расчет по теме „Экстремумы функций двух переменных“ (ТР 2.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1. Непрерывная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2. Числовые характеристики случайной величины и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3. Типовой расчет по теме „ Числовые характеристики непрерывной случайной величины“ (ТР 4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 78
6. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.1. Постановка краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2. Оператор Штурма–Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.3. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.4. Типовой расчет по теме „Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения“ (ТР 3.1) . . . . . 51 7. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.1. Постановка начально-краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.2. Решение краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7.3. Метод сеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.4. Типовой расчет по теме „Решение уравнения теплопроводности методом Фурье и разностными методами“ (ТР 3.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Белопольский Андрей Львович, Гоголева Надежда Генриховна, Колбина Светлана Анатольевна, Меркулов Александр Львович, Червинская Нина МихайловнаТиповые расчеты по различным разделам высшей математики Учебное пособие Редактор Э. К. Долгатов Подписано в печать 16.03.18 Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Гарнитура „Times New Roman“ Печ. л. 5,0. Тираж 595 экз. Заказ Издательство СПбГЭТУ „ЛЭТИ“ 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5 |
Скачать 0.49 Mb.