ТР_BM_2018. Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2018

• Название: Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2018
• Дата: 09.12.2021
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: ТР_BM_2018.pdf
• Тип: Учебное пособие; #298510
• страница: 1 из 8

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет
„ ЛЭТИ“ им. В. И. Ульянова (Ленина)
ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО РАЗЛИЧНЫМ
РАЗДЕЛАМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
Издательство СПбГЭТУ „ ЛЭТИ “
2018

УДК 51(07)
ББК В 11я7
Т 43
Т 43
Авторы: А. Л. Белопольский, Н. Г. Гоголева, С. А. Колбина,
А. Л. Меркулов, Н. М. Червинская.
Типовые расчеты по различным разделам высшей математики: учеб.
пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ЛЭТИ“, 2018. 80 с.
ISBN 978-5-7629-2197-8
Описываются типовые расчеты, выдаваемые студентам первого и вто- рого курсов для самостоятельного выполнения. Для каждого типового рас- чета подробно, но без доказательств, излагается теоретический материал,
необходимый для его выполнения. Кроме того, даются ссылки на учебни- ки и учебные пособия, в которых можно найти доказательства сформу- лированных теорем и утверждений. В конце каждого раздела приводит- ся вариант задания с его полным решением. Издание соответствует рабо- чим программам дисциплин, читаемых кафедрой высшей математики № 1
студентам факультетов: электротехники и автоматики (1-й, 2 курсы), элек- троники (1-й, 2 курсы), экономики и менеджмента (1-й курс) и открытого факультета (1-й, 2, 3 курсы).
Предназначено для студентов всех направлений и специальностей фа- культетов электротехники и автоматики, электроники, экономики и ме- неджмента и открытого факультета.
УДК 51(07)
ББК В 11я7
Рецензенты: кафедра высшей математики ВШТЭ СПбГУПТД;
д-р техн. наук, проф. А. П. Господариков (СПбГГУ).
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
ISBN 978-5-7629–2197-8
c
СПбГЭТУ „ ЛЭТИ “, 2018

Введение
Настоящее издание предназначено для бакалавров первого и второго курсов всех направлений и специальностей факультетов электротехники и автоматики, электроники, экономики и менеджмента и открытого факуль- тета СПбГЭТУ. Оно соответствует новым рабочим программам по дисци- плинам „Математический анализ“ и „Теория вероятностей и математиче- ская статистика“.
Два последних раздела предназначены для бакалавров второго кур- са всех направлений и специальностей факультета электроники, а также третьего курса открытого факультета по направлению 11.03.04 „Электро- ника и наноэлектроника“ и соответствуют новым рабочим программам по дисциплине „Методы математической физики“.
Издание написано на основе курсов, читаемых авторами, и является исправленным и существенно дополненным учебным пособием [ 1 ]. Типо- вые расчеты (ТР): ТР 2.2 − ТР 2.5, содержащиеся в [ 1 ], исправлены, а ТР
2.2 и ТР 2.5 переделаны в соответствии с новыми рабочими программами.
ТР 2.6 не включен в данное издание, так как отсутствует в новых рабочих программах.
Основным дополнением является включение новых разделов.
1. „Непрерывная случайная величина“. В издании рассматриваются разделы теории вероятностей, соответствующие первой части новых ра- бочих программ для бакалавров по дисциплине „Теория вероятностей и математическая статистика“. Материал второй части данной дисциплины изложен в вышедшем в 2017 г. пособии [ 2 ].
2. „Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка“ и „Решение уравнения теплопроводности методами Фу- рье и сеток“, соответствующие программам для бакалавров факультетов электроники (2-й курс) и открытого факультета (3-й курс) СПбГЭТУ по дисциплине „Методы математической физики“.
Отметим некоторые стандартные обозначения, принятые в издании.
Множество натуральных чисел обозначается символом
N
; множество це- лых чисел −
Z
; множество вещественных чисел −
R
; множество комплекс- ных чисел −
C
. Знак ⊗ − конец замечания, знак • − конец примера.
Созданный на кафедре ВМ-1 компьютерный пакет индивидуальных
ТР с возможностью генерации любого числа различных вариантов способ- ствует активизации самостоятельной работы студентов и более глубокому усвоению теоретического материала, излагаемого на лекциях.
Данное издание посвящено подробному описанию ТР, которые выда- ются студентам для самостоятельного выполнения. В издании содержатся теоретические сведения, необходимые для этого, и примеры выполнения конкретных ТР.
3

В издании рассмотрены 4 ТР, которые выдаются студентам 1-го курса при изучении дисциплины „ Математический анализ “; 1 ТР для студентов
2-го курса при изучении дисциплины „Теория вероятностей и математиче- ская статистика“ и 2 ТР для студентов, изучающих дисциплину „Методы математической физики“. Все ТР соответствуют рабочим программам.
Дадим список включенных в издание ТР и ссылки на учебные посо- бия и учебники, в которых можно найти подробное изложение теории с доказательствами.
1. Построение графика функции (ТР 2.2) см. учебное пособие [ 3 ] и учебник [ 4 ].
2. Интегрирование рациональных дробей (ТР 2.3) см. учебные пособия
[ 3 ], [ 5 ], учебник [ 4 ] и справочник [ 6 ].
3. Приближенное вычисление интеграла и специальные функции (ТР
2.4) см. учебные пособия [ 3 ], учебник [ 4 ] и справочник [ 7 ].
4. Экстремумы функций двух переменных (ТР 2.5) см. учебные посо- бия [ 8 ], [ 9 ] и учебник [ 4 ].
5. Числовые характеристики непрерывной случайной величины (ТР
4.1) см. учебные пособия [ 2 ], [ 10 ] и [ 11 ].
6. Методы математической физики (ТР 3.1, ТР 3.2) см. учебные посо- бия [ 12 ]−[ 15 ] и учебник [ 4 ]. Учебное пособие [ 15 ], содержащее большое количество разнообразных примеров, полезно использовать как справоч- ник при решении домашних заданий к практическим занятиям и при вы- полнении ТР.
Студенту выдается распечатка, содержащая номер варианта и усло- вие ТР. Алгоритмы выполнения ТР обсуждаются на лекциях и на соот- ветствующих практических занятиях. Все ТР ориентированы на исполь- зование калькуляторов. Студенты могут выполнять ТР с использованием программ, реализующих заданный алгоритм, при условии, что приложе- на распечатка с текстом программы, результатами вычислений и студент может пояснить работу всех операторов и программы в целом.
Отчет по ТР должен включать: 1) стандартный титульный лист;
2) условие ТР (распечатку, содержащую условие ТР, студенты наклеивают в самом начале своего отчета); 3) содержание ТР (в этом разделе форму- лируется математическая задача, которая решается в ТР); 4) достаточно подробное описание выполнения ТР; 5) ответы на все пункты задания.
Студентам настоятельно рекомендуется проверять полученные резуль- таты. В примерах выполнения конкретных ТР в учебном пособии даны указания относительно выполнения проверок.
4

1. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
1.1. Непрерывность функции
Подробное изложение теории с доказательствами можно найти в учеб- ном пособии [ 3 ] и учебнике [ 4 ].
Пусть задана функция f : X → Y , X ⊂
R
и Y ⊂
R
Определение 1.1. Функция f : X → Y называется непрерывной в точке a ∈ X, если a − изолированная точка X или a − предельная точка
X и lim x→a f (x) = f (a).
Если f непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на X.
Теорема 1.1. Пусть функции f : X → Y и g : Y →
R
непрерывны в точках a и f (a) соответственно. Тогда их суперпозиция g ◦ f непрерывна в точке a.
Теорема 1.2. Пусть функции f, g : X →
R
непрерывны в точке a.
Тогда f + g, f − g, f g, f /g (при g(a) 6= 0) непрерывны в точке a.
Определение 1.2. Функция f : X → Y называется непрерывной слева (справа) в точке a ∈ X, если lim x→a−0
f (x) = f (a) ( lim x→a+0
f (x) = f (a)).
Теорема 1.3. Пусть a ∈ X − предельная точка X. Функция f : X → Y непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда f непре- рывна слева и справа (одновременно) в точке a.
Предложение 1.1. Функция f : X → Y непрерывна в предельной для множества X точке a, если выполнены 3 условия:
1) f определена в точке a;
2) существует lim x→a f (x);
3) lim x→a f (x) = f (a).
Предложение 1.2. Любая из основных элементарных функций (c,
x
α
, a x
, log a
x, sin x, cos x, arcsin x, arccos x, tg x, ctg x, arctg x, arcctg x)
непрерывна в своей области определения.
1.2. Точки разрыва функции
Определение 1.3. Если в точке a, предельной для множества X,
нарушено хотя бы одно из условий 1, 2, 3 предложения 1.1 , то a назы- вается точкой разрыва функции f .
5

Определение 1.4. Точка разрыва a функции f называется:
1) точкой устранимого разрыва, если существует конечный lim x→a f (x);
2) точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, но раз- личные lim x→a−0
f (x) и lim x→a+0
f (x);
3) точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разры- ва первых двух типов, т. е. если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
1.3. Асимптоты графика функции
Определение 1.5. Пусть f : X → Y . Если хотя бы один из пре- делов lim x→x
0
−0
|f (x)| или lim x→x
0
+0
|f (x)| равен +∞, то прямая x = x
0
называ- ется вертикальной асимптотой графика f .
Очевидно, если прямая x = x
0
есть вертикальная асимптота графика функции f , то x
0
есть точка разрыва второго рода функции f .
Определение 1.6. Если существуют такие k, b ∈
R
, что lim x→+∞
(f (x) − (kx + b)) = 0,
то прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функ- ции f при x → +∞.
Аналогично определяется наклонная асимптота графика функции f при x → −∞.
Теорема 1.4. Для того чтобы прямая y = kx + b была наклонной асимптотой графика функции f при x → +∞, необходимо и достаточно,
чтобы одновременно существовали конечные пределы k = lim x→+∞
f (x)
x
,
b = lim x→+∞
(f (x) − kx).
Аналогичная теорема верна для наклонной асимптоты графика функ- ции f при x → −∞.
1.4. Монотонность и экстремумы функции
Определение 1.7. Функция f : X → Y называется:
1) возрастающей (неубывающей), если для любых x
1
, x
2
∈ X, таких,
что x
1
< x
2
, выполнено f (x
1
) < f (x
2
) (f (x
1
) ≤ f (x
2
));
2) убывающей (невозрастающей), если для любых x
1
, x
2
∈ X, таких,
что x
1
< x
2
, выполнено f (x
1
) > f (x
2
) (f (x
1
) ≥ f (x
2
));
6

3) монотонной, если она входит в один из четырех перечисленных классов;
4) строго монотонной, если она возрастает или убывает.
Пусть функция f : [a, b] → Y непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b).
Теорема 1.5. 1. Функция f не убывает (не возрастает, постоянна)
на [a, b] тогда и только тогда, когда f
0
≥ 0 (≤ 0, = 0) на (a, b);
2. Если f
0
> 0 (< 0) на (a, b), то функция f возрастает (убывает)
на [a, b].
Определение 1.8. Точка x
0
называется внутренней точкой мно- жества X, если существует такое
ε
> 0, что K
ε
(x
0
) ⊂ X.
Определение 1.9. Пусть f : X → Y , x
0
∈ X. Говорят, что функ- ция f в точке x
0
достигает:
1) максимума (минимума), если x
0
− внутренняя точка X и суще- ствует такое
ε
> 0, что для любого x ∈
◦
K
ε
(x
0
) ∩ X выполнено условие f (x) < f (x
0
) (f (x) > f (x
0
));
2) экстремума, если f в точке x
0
достигает максимума или мини- мума;
3) наибольшего (наименьшего) значения, если для любого x ∈ X спра- ведливо f (x) ≤ f (x
0
) (f (x) ≥ f (x
0
)).
Точки, в которых f достигает максимума (минимума, экстремума),
называются точками максимума (минимума, экстремума) функции f .
Теорема 1.6. (Ферма) Если в точке x
0
, внутренней точке множе- ства X, функция f достигает максимума (минимума, наибольшего или наименьшего значения) и существует f
0
(x
0
), то f
0
(x
0
) = 0.
Определение 1.10. Пусть f : X → Y , x
0
∈ X внутренняя точка множества X. Если f
0
(x
0
) = 0 или f
0
(x
0
) не существует, то x
0
называ- ется критической точкой функции.
Функция может иметь экстремум только в критических точках.
Теорема 1.7. Пусть функция f непрерывна в точке x
0
. Если для некоторого
ε
> 0 K
ε
(x
0
) ⊂ X и существует f
0
в
◦
K
ε
(x
0
), тогда:
1) если f
0
> 0 на (x
0
−
ε
, x
0
) и f
0
< 0 на (x
0
, x
0
+
ε
), то x
0
− точка максимума;
2) если f
0
< 0 на (x
0
−
ε
, x
0
) и f
0
> 0 на (x
0
, x
0
+
ε
), то x
0
− точка минимума;
3) если f
0
> 0 (f
0
< 0) на (x
0
−
ε
, x
0
) ∪ (x
0
, x
0
+
ε
), то в x
0
экстремума нет.
7

Определение 1.11. Критическая точка x
0
функции f называется стационарной, если f
0
(x
0
) = 0.
Теорема 1.8. Пусть x
0
− стационарная точка функции f и суще- ствует f
00
(x
0
). Тогда, если f
00
(x
0
) > 0 (f
00
(x
0
) < 0), то x
0
− точка мини- мума (максимума).
1.5. Выпуклость функции. Точки перегиба
Определение 1.12. Пусть f : X → Y дифференцируема в точке x
0
∈ X. Будем говорить, что функция f выпукла вниз (вверх) в окрест- ности точки x
0
, если существует такое
ε
> 0, что для любого x ∈
∈
◦
K
ε
(x
0
) ∩ X справедливо неравенство f (x) > f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
)
(f (x) < f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
)).
Геометрически выпуклость вниз (вверх) в точке x
0
означает, что в некоторой проколотой окрестности x
0
график функции f лежит выше (ни- же) касательной к графику f в точке x
0
Теорема 1.9. Пусть f : X → Y дважды дифференцируема на ин- тервале (a, b) ⊂ X. Если f
00
> 0 (f
00
< 0) на (a, b), то функция f выпукла вниз (вверх) на [a, b].
Определение 1.13. Точка x
0
∈ X называется точкой перегиба функции f , если точка x
0
− внутренняя точка множества X и суще- ствует такое
ε
> 0, что для любого x ∈ (x
0
−
ε
, x
0
)
f (x) > f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
)
и любого x ∈ (x
0
, x
0
+
ε
)
f (x) < f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
)
или наоборот.
Теорема 1.10. Пусть x
0
− точка перегиба функции f . Если суще- ствует f
00
(x
0
), то f
00
(x
0
) = 0.
Внутренние точки из множества X, в которых вторая производная функции f равна нулю или не существует, называются точками, подозри- тельными на перегиб.
Теорема 1.11. Пусть x
0
− точка, подозрительная на перегиб. Если при переходе через такую точку вторая производная меняет знак, то x
0
− точка перегиба функции f .
В противном случае в точке x
0
перегиба нет.
8

1.6. Типовой расчет по теме „Построение графика функции“ (ТР 2.2)
Студентам выдаются индивидуальные задания следующего вида:
ТР 2.2. Вар. 0. Исследовать заданную функцию. Построить эскиз графика функции f (x) =







−2 3
p
(x + 3)
2
− 2x − 6,
x ≤ −1;
−2(x − 2)
2
(x + 1)
2
,
x > −1.
Требуется исследовать функцию f (x) и, используя полученные резуль- таты, построить эскиз графика функции. Типовой расчет рекомендуется выполнить по следующему плану:
1) найти область определения функции;
2) исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность;
3) найти точки пересечения графика функции с координатными осями;
4) исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва и указать тип разрыва;
5) вычислить пределы функции на бесконечности;
6) найти асимптоты графика функции;
7) найти первую производную функции, используя ее, определить ин- тервалы возрастания, убывания и локальные экстремумы функции;
8) найти вторую производную функции, используя ее, определить ин- тервалы выпуклости и точки перегиба функции;
9) заполнить итоговую таблицу;
10) построить эскиз графика функции.
Пример выполнения ТР 2.2. Вар. 0.
1. Найдем область определения f (x). Эта функция задана по разным правилам на промежутках (−∞; 1] и (−1; +∞) . Поскольку функция
−2 3
p
(x + 3)
2
− 2x − 6 определена для всех x ≤ −1 и функция
−2(x − 2)
2
(x + 1)
2
определена для всех x > −1, то функция f (x) определена на всей числовой оси –
R
2. Проверим заданную функцию f (x) на четность, нечетность и пери- одичность.
Функция f (x) называется четной, если выполняется условие f (−x) =
= f (x), и нечетной, если f (−x) = −f (x) для всех x из области определения функции. Очевидно, что для функции f (x) эти требования не выполняют-
9

ся. Зададим, например, x = −3 и x = 3:
f (−3) = −2 3
q
(−3 + 3)
2
− 2(−3) − 6 = 0,
f (3) =
−2(3 − 2)
2
(3 + 1)
2
= −
1 8
Следовательно, f (x) не является четной и не является нечетной функцией.
Функция f (x) называется периодической, если существует такое поло- жительное число T , что выполняется равенство f (x + T ) = f (x) для всех x из области определения функции. Очевидно, что такого числа нет. По- этому f (x) не является периодической функцией. Значит, f (x) – функция общего вида.
3. Найдем точки пересечения графика функции y = f (x) с координат- ными осями.
Зададим x = 0: f (0) =
−2(0 − 2)
2
(0 + 1)
2
= −8. График пересекает ось OY
в точке (0, −8).
Пусть y = 0. Решим уравнение f (x) = 0.
а. При x ≤ −1:
f (x) = 0 ⇔ −2 3
q
(x + 3)
2
− 2(x + 3) = 0 ⇔
⇔ −2 3
q
(x + 3)
2
= 2(x + 3) ⇔
⇔ (x + 3)
2
= −(x + 3)
3
⇔ (x + 3)
2
(1 + x + 3) = 0.
Корни: x = −4, x = −3.
б. При x > −1:
f (x) = 0 ⇔
−2(x − 2)
2
(x + 1)
2
= 0 ⇔ x = 2.
График функции y = f (x) пересекает ось OX в точках (−4, 0), (−3, 0),
(2, 0).
4. Исследуем функцию f (x) на непрерывность.
Функция −2 3
p
(x + 3)
2
− 2x − 6 непрерывна при x ≤ −1. Функция
−2(x − 2)
2
(x + 1)
2
непрерывна при x > −1. Она имеет разрыв в точке x = −1 −
граничной точке промежутка x > −1. Исследуем функцию f (x) в окрест- ности этой точки. Найдем пределы слева и справа в точке x = −1:
lim x→−1−0
f (x) = f (−1) = −2 3
q
(−1 + 3)
2
− 2(−1) − 6 = −2 3
√
4 − 4 ≈ −7.175,
lim x→−1+0
f (x) =
lim x→−1+0
−2(x − 2)
2
(x + 1)
2
= −∞.
10

В точке x = −1 функция f (x) имеет разрыв 2-го рода. Во всех остальных точках области определения функция непрерывна.
5. Исследуем функцию на бесконечности.
Вычислим пределы функции f (x) на +∞ и −∞:
lim x→−∞
f (x) = lim x→−∞
−2 3
q
(x + 3)
2
− 2(x + 3) = +∞,
lim x→+∞
f (x) = lim x→+∞
−2(x − 2)
2
(x + 1)
2
= −2.
6. Найдем асимптоты графика функции y = f (x).
Прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика функ- ции, поскольку в точке x = −1 функция f (x) имеет разрыв второго рода:
lim x→−1+0
f (x) = −∞.
Прямая y = −2 является горизонтальной асимптотой графика функ- ции при x → +∞, так как на плюс бесконечности f (x) имеет конечный предел: lim x→+∞
f (x) = −2.
На минус бесконечности функция не ограничена, поэтому при x →
→ −∞ график функции может иметь наклонную асимптоту y = kx + b.
Проверим это вычислив пределы:
k = lim x→−∞
f (x)
x
= lim x→−∞
−2 3
p
(x + 3)
2
− 2(x + 3)
x
=
= lim x→−∞
−2x
2/3
(1 + 3/x)
2/3
x
− 2 −
6
x
= −2,
b = lim x→−∞
(f (x) − (−2x)) = lim x→−∞
(−2 3
q
(x + 3)
2
− 6) = −∞.
Поскольку получился бесконечный предел, то наклонной асимптоты при x → −∞ нет.
7. Найдем f
0
(x):
f
0
(x) =









−
4 3
3
√
x + 3
− 2,
x ≤ −1;
−12(x − 2)
(x + 1)
3
,
x > −1.
Используем f
0
(x) для определения интервалов монотонного поведения и экстремумов функции. Сначала найдем критические точки, т. е. точки, в которых f
0
(x) имеет разрыв или равна нулю.
11

а. Точка x = −1 является критической точкой. Это следует из того,
что в этой точке f
0
(x) имеет разрыв второго рода:
lim x→−1+0
f
0
(x) =
lim x→−1+0
−12(x − 2)
(x + 1)
3
= +∞.
б. При x < −1 функция f
0
(x) имеет разрыв в точке x = −3. Найдем на этом интервале точки, в которых f
0
(x) = 0:
−
4 3
3
√
x + 3
− 2 = 0 ⇔ −
4 3
3
√
x + 3
= 2 ⇔
3
√
x + 3 = −
2 3
⇔
⇔ x + 3 =

−
2 3

3
⇔ x = −3 8
27
Таким образом, x ≈ −3.296.
в. При x > −1 функция f
0
(x) непрерывна и f
0
(x) = 0 в точке x = 2.
Перечислим все критические точки − точки, в которых f
0
(x) имеет разрыв или равна нулю: −3.296, −3, −1, 2. Эти точки выделяют интерва- лы, на которых функция f (x) монотонно возрастает или монотонно убыва- ет. Заполним табл. 1.1, указав знак f
0
(x) на каждом интервале. Покажем стрелочкой поведение функции. В таблице разрыв 2-го рода отмечен знач- ком ∞.
Таблица 1.1
x
(−∞, −3.296)
−3.296
(−3.296, −3)
−3
(−3, −1)
f
0
(x)
−
0
+
∞
−
f (x)
&
min
%
max
&
x
−1
(−1, 2)
2
(2, +∞)
f
0
(x)
∞
+
0
−
f (x)
∞
%
max
&
Точки x = −3.296, x = −3, x = 2 являются точками экстремума функции. При этом x = −3.296 и x = 2 − точки гладкого минимума и максимума, а x = −3 − точка острого максимума функции.
8. Найдем f
00
(x):
f
00
(x) =









4 9
3
p
(x + 3)
4
,
x ≤ −1;
−12(7 − 2x)
(x + 1)
4
,
x > −1.
Исследуем функцию с помощью второй производной. Определим сна- чала критические точки, т. е. точки, в которых f
00
(x) имеет разрыв или равна нулю. Эти точки выделяют интервалы определенного направления выпуклости функции f (x).
12

а. В точке x = −1 функция f
00
(x) имеет разрыв второго рода:
lim x→−1+0
f
00
(x) =
lim x→−1+0
−12(7 − 2x)
(x + 1)
4
= −∞.
б. При x < −1 функция f
00
(x) имеет одну точку разрыва x = −3.
Точек, в которых f
00
(x) = 0, нет.
в. При x > −1 точек разрыва функция f
00
(x) не имеет и f (x) = 0, если x = 3.5.
Запишем все точки оси OX, в которых f
00
(x) не существует или равна нулю: −3, −1, 3.5. Заполним табл. 1.2, указав знак f
00
(x) и направление выпуклости функции на интервалах, выделяемых критическими точками.
Таблица 1.2
x
(−∞, −3)
−3
(−3, −1)
−1
(−1, 3.5)
3.5
(3.5,+∞)
f
00
(x)
+
∞
+
∞
−
0
+
f (x)
^
f
^
∞
_
∼
^
Точка x = 3.5 является точкой перегиба.
9. Итоговая таблица (табл. 1.3).
Таблица 1.3
x
(−∞, −4)
−4
(−4, −3.296)
−3.296
(−3.296, −3)
−3
(−3, −1)
f (x)
+
0
−
−0.296
−
0
−
f
0
(x)
−
−
−
0
+
∞
−
f
00
(x)
+
+
+
+
+
∞
+
f (x)
& ^
& ^
& ^
min ^
% ^
max f
& ^
x
−1
(−1, 2)
2
(2,3.5)
3.5
(3.5,+∞)
f (x)
−7.175
−
0
−
−0.222
−
f
0
(x)
∞
+
0
−
−
−
f
00
(x)
∞
−
−
−
0
+
f (x)
∞
% _
max _
& _
∼
& ^
Эту таблицу будем использовать для построения эскиза графика функции. Запишем все точки оси OX, в которых функции f (x), f
0
(x) и
13

f
00
(x) имеют разрыв или обращаются в нуль: −4, −3.296, −3, −1, 2, 3.5.
На интервалах, определяемых точками, отметим знаки всех перечисленных функций, а стрелочками укажем поведение функции f (x).
10. Эскиз графика функции (рисунок).
0 2
−1
−3
−4