ТР_BM_2018. Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2018
 Скачать 0.49 Mb.
|
|
−1 −0.5 1 2 0 0.5 1 2 Рис. 5.1 0 −1 −0.5 1 2 0 0.5 1 Рис. 5.2 Найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение: D( ξ ) = +∞ Z −∞ (x − M ( ξ )) 2 f (x) dx = − 0 Z −1/2 4(x − 1/2) 2 x dx + + 2 Z 0 (x − 1/2) 2 4 x dx = − 0 Z −1/2 (4x 3 − 4x 2 + x) dx + 2 Z 0 x 3 4 − x 2 4 + x 16 dx = = 13 16 = 0.8125; σ ( ξ ) = p D( ξ ) = 0.901. 5. Вычислим вероятность P ( ξ ∈ [M ( ξ ) − 3 σ ξ , M ( ξ ) + 3 σ ξ ]) : P ( ξ ∈ [M ( ξ ) − 3 σ ξ , M ( ξ ) + 3 σ ξ ]) = = F (M ( ξ ) + 3 σ ξ ) − F (M ( ξ ) − 3 σ ξ ) = F (3.203) − F (−2.203) = 1. 6. Для случайной величины η = −6 ξ + 4 вычислим математическое ожидание и дисперсию. Из свойств математического ожидания и дисперсии следует, что M (a ξ + b) = M (a ξ ) + M (b) = aM ( ξ ) + b, D(a ξ + b) = D(a ξ ) + D(b) = a 2 D( ξ ). Тогда M ( η ) = −6M ( ξ ) + 4 = 1, D( η ) = 36D( ξ ) = 29.25. 45 6. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 6.1. Постановка краевой задачи Подробно постановка краевых задач, а также особенности, возникаю- щие при их решении, разобраны в учебных пособиях [ 14 ], [ 15 ]. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка, записанное в симметричной форме: − 1 ρ (x) (p (x)y 0 ) 0 + q (x)y = f (x), (6.1) где ρ (x), p (x), p 0 (x), q (x), f (x) – заданные, непрерывные на [ a, b ] функ- ции, при этом выполняются условия ρ (x) ≥ ρ 0 > 0, p (x) ≥ p 0 > 0. Общее решение такого уравнения имеет вид [12] y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + ˜ y(x). Здесь y 1 (x) и y 2 (x) – 2 линейно независимых решения однородного уравне- ния, соответствующего уравнению (6.1), а ˜ y(x) – частное решение неодно- родного уравнения (6.1); C 1 , C 2 – произвольные постоянные. Пусть на концах промежутка [a, b] функция y(x) удовлетворяет усло- виям: ( R 1 y 0 (a) − S 1 y(a) = t 1 , R 2 y 0 (b) + S 2 y(b) = t 2 , (6.2) где R 1 , R 2 , S 1 , S 2 , t 1 , t 2 – заданные постоянные, R 1 , R 2 , S 1 , S 2 ≥ 0, R 1 + S 1 6= 0, R 2 + S 2 6= 0. Такие условия называются краевыми, или граничными. Задача нахождения на интервале (a, b) решения дифференциального уравнения (6.1), удовлетворяющего в точках x = a и x = b краевым усло- виям (6.2), называется краевой задачей. Рассмотрим некоторые частные случаи краевых условий. Условия: y(a) = t 1 , y(b) = t 2 (R 1 = R 2 = 0) называются краевыми условиями 1-го рода, или условиями Дирихле. Условия: y 0 (a) = t 1 , y 0 (b) = t 2 (S 1 = S 2 = 0) называются краевыми условиями 2-го рода, или условиями Неймана. Условия: R 1 y 0 (a) − S 1 y(a) = t 1 , R 2 y 0 (b) + S 2 y(b) = t 2 называются краевыми условиями 3-го рода. Условия: R 1 y 0 (a) − S 1 y(a) = 0, R 2 y 0 (b) + S 2 y(b) = 0 (t 1 = t 2 = 0) являются однородными. 46 Однородными краевыми условиями являются также условия перио- дичности: y(a) = y(b), y 0 (a) = y 0 (b). Если функции ρ (x), p(x), p 0 (x), q(x) непрерывны на открытом интер- вале (a, b) или если функция ρ (x) или p(x) обращается в нуль в граничной точке, то в таких случаях в качестве краевого условия используется усло- вие ограниченности y(x) при x → a + 0 или x → b − 0. Такие краевые условия являются однородными. На концах промежутка [a, b] могут быть заданы краевые условия раз- ных типов. Пусть требуется решить краевую задачу для однородного линейного дифференциального уравнения ( −y 00 + qy = 0 при a < x < b, R 1 y 0 (a) − S 1 y(a) = t 1 , R 2 y 0 (b) + S 2 y(b) = t 2 Общее решение уравнения −y 00 + qy = 0 имеет вид y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), где функции y 1 (x), y 2 (x) – это 2 линейно независимых решения уравнения. Нетрудно заметить, что функции y 1 (x − a), y 2 (x − a), как и функции y 1 (b − x), y 2 (b − x), будут другими парами линейно независимых решений. Поэтому общее решение уравнения можно представить в виде y(x) = C 1 y 1 (x − a) + C 2 y 2 (x − a) или в виде y(x) = C 1 y 1 (b − x) + C 2 y 2 (b − x). Выбор вида общего решения уравнения зависит от заданных краевых усло- вий. Краевая задача может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь решений (см. примеры 1.1–1.6 в пособии [ 15 ]). Краевую задачу с неоднородными условиями на границе всегда можно свести к задаче с однородными краевыми условиями заменой y(x) = v(x)+ + w(x). Выбор функции w(x) зависит от краевых условий (см. пример 1.7 в [ 15 ]). 6.2. Оператор Штурма–Лиувилля Пусть D(L) – множество дважды дифференцируемых на промежут- ке (a, b) функций, удовлетворяющих на концах промежутка однородным краевым условиям, например условиям вида R 1 y 0 (a) − S 1 y(a) = 0, R 2 y 0 (b) + S 2 y(b) = 0. 47 Множество D(L) представляет собой линейное пространство. Для эле- ментов f (x) и g(x) этого множества определим скалярное произведение по формуле (f, g) = b Z a f (x)g(x) ρ (x)dx, где ρ (x) – непрерывная на [a, b] функция, ρ (x) ≥ ρ 0 > 0. Она называется весовой функцией, или весом. Функции f (x) и g(x) называются ортогональными, если (f, g) = 0. Пусть y ∈ D(L). Норма функции y(x), порожденная скалярным про- изведением, находится по правилу kyk = v u u u t b Z a y 2 (x) ρ (x)dx. Множество функций y ∈ D(L), для которых норма конечна: kyk = v u u u t b Z a y 2 (x) ρ (x)dx < +∞, образует пространство L 2 [a, b; ρ (x)] (см. [13]). Если весовая функция ρ (x) = 1, то пространство обозначается L 2 [a, b]. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор, действующий из пространства D(L) в линейное пространство непрерывных на [a, b] функ- ций, вида L(y) = − 1 ρ (x) (p(x)y 0 ) 0 + q(x)y, где ρ (x), p(x), q(x) – непрерывные на [a, b] функции, p(x) ≥ p 0 > 0, ρ (x) – весовая функция. Такой оператор называется оператором Штурма–Лиу- вилля. Для оператора Штурма–Лиувилля L(y) справедливы следующие свой- ства: 1) оператор симметричен, т. е. для любых y, z ∈ D(L) справедливо равенство (L(y), z) = (y, L(z)); 2) оператор положительно определен, т. е. для любых y ∈ D(L) спра- ведливо неравенство (L(y), y) ≥ q 0 kyk 2 , где q 0 = min x∈[a,b] q(x). Доказательство этих свойств приводится в пособии [14]. Определение 6.1 . Число λ называется собственным числом опера- тора L, если существует ненулевая функция y(x) ∈ D(L), для которой 48 L(y) = λ y. При этом функция y(x) называется собственной функцией оператора. Задача нахождения собственных чисел и собственных функций опера- тора называется задачей Штурма–Лиувилля: ( L(y) = λ y, a < x < b, R 1 y 0 (a) − S 1 y(a) = 0, R 2 y 0 (b) + S 2 y(b) = 0. (6.3) Множество всех собственных чисел называется спектром оператора L(y) или спектром задачи (6.3). Перечислим основные свойства собственных чисел задачи Штурма– Лиувилля: 1. Собственные числа оператора L(y) вещественные. 2. Собственные числа оператора L(y) дискретные, т. е. представляют собой последовательность { λ n } +∞ n=1 3. Последовательность { λ n } ограничена снизу: λ n ≥ min x∈[a,b] q(x) и lim n→+∞ λ n = +∞. 4. При некоторых положительных A и B для всех достаточно больших n справедливы неравенства An 2 ≤ λ n ≤ Bn 2 Для собственных функций оператора Штурма–Лиувилля справедли- вы следующие утверждения: 1. Каждому собственному числу соответствует только одна (с точно- стью до постоянного множителя) собственная функция. 2. Так как собственные функции, соответствующие различным соб- ственным числам, ортогональны, то система собственных функций опера- тора {y k (x)} +∞ k=1 является ортогональной системой. 3. Ортогональная система {y k (x)} +∞ k=1 является полной в пространстве L 2 [a, b; ρ (x)], т. е. любая функция из этого пространства может быть разло- жена в ряд Фурье по системе {y k (x)} +∞ k=1 , который будет сходиться к функ- ции в норме пространства L 2 [a, b; ρ (x)]. Кроме того, для функции из области определения оператора L спра- ведлива теорема Стеклова. Теорема 6.1. Пусть y ∈ D(L). Если функцию y(x) разложить в ряд Фурье по ортогональной, полной в пространстве L 2 [a, b; ρ (x)] систе- ме функций {y k (x)} +∞ k=1 , то этот ряд будет абсолютно сходиться к y(x) ∀x ∈ [a, b]; этот ряд можно почленно дифференцировать 2 раза. Ряд из первых производных будет поточечно сходиться к y 0 (x), а ряд из вторых производных сходится к y 00 (x) в норме пространства L 2 [a, b; ρ (x)]. Решение задач Штурма–Лиувилля для различных операторов Штур- ма–Лиувилля L(y) подробно разобрано в гл. 2 пособия [ 15 ] (примеры 2.1– 2.7). 49 6.3. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом Фурье Рассмотрим краевую задачу с однородными краевыми условиями L(u) ≡ −1 ρ (x) (p(x)u 0 ) 0 + q(x)u = f (x), R 1 u 0 (a) − S 1 u(a) = 0, R 2 u 0 (b) + S 2 u(b) = 0. (6.4) Как отмечалось в 6.1, задачу с неоднородными краевыми условиями всегда можно свести к виду (6.4). Решение задачи (6.4) будем искать в виде ряда Фурье по системе {y k (x)} собственных функций оператора L: u(x) = +∞ X k=1 c k y k (x). (6.5) Краевые условия для функции u(x) выполняются автоматически. Так как u(x) ∈ D(L), то ряд (6.5) можно дважды почленно дифференцировать: L(u) = +∞ X k=1 c k L(y k ) = +∞ X k=1 c k λ k y k (x). Разложим правую часть уравнения (6.4) в ряд Фурье f (x) = +∞ X k=1 f k y k (x). Тогда задача (6.4) сводится к равенству +∞ X k=1 c k λ k y k (x) = +∞ X k=1 f k y k (x). Если среди собственных чисел оператора L нет нуля, получаем c k = f k λ k Таким образом, решение задачи (6.4) имеет вид u(x) = +∞ X k=1 f k λ k y k (x). Отметим, что фактически доказано, что если λ k 6= 0 для любых k ∈ ∈ N , то задача (6.4) имеет единственное решение. Для того чтобы среди собственных чисел λ k не было нуля, достаточно, например, выполнения неравенства q(x) ≥ q 0 > 0 ∀x ∈ [a, b]. 50 6.4. Типовой расчет по теме „Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения“ (ТР 3.1) Студентам выдаются индивидуальные задания следующего вида: ТР 3.1. Вар. 0. Решить краевую задачу: −y 00 + 2y = 2.2x, 0.4y 0 (0.7) − 1.7y(0.7) = 2.8, 0.6y 0 (1.8) = 2.4. Требуется: 1. На заданном отрезке [a, b] решить краевую задачу аналитическим методом: 1) применяя метод неопределенных коэффициентов найти общее решение дифференциального уравнения; 2) используя краевые условия, получить решение краевой задачи; 3) разбить промежуток [a, b] на 5 равных частей точками x i = a + ih, i = 0, . . . , 5, где h = b − a 5 , и вычислить значения найденной функции в узлах сетки x 0 , . . . , x 5 2. Получить решение заданной краевой задачи в виде ряда Фурье по ортогональной системе функций задачи Штурма–Лиувилля: 1) заменой y(x) = v(x) + α x + β свести заданную задачу к задаче с одно- родными краевыми условиями; 2) решить задачу Штурма–Лиувилля; 3) найти решение задачи с однородными краевыми условиями в виде ря- да Фурье по найденной системе собственных функций дифференциального оператора; 4) найти решение исходной задачи y(x) = v(x) + α x + β ; 5) разбить промежуток [a, b] на 5 равных частей точками x 0 , . . . , x 5 и вы- числить значения функции y 3 (x) = v 3 (x) + α x + β в узлах сетки (v 3 (x) – третья частичная сумма ряда Фурье функции v(x)). Пример выполнения типового расчета ТР 3.1. Вар. 0. 1. Решение краевой задачи аналитическим методом. 1) Найдем общее решение неоднородного дифференциального урав- нения, используя метод неопределенных коэффициентов. Функцию y(x) будем искать в виде y(x) = y 0 (x) + ˜ y(x), где y 0 (x) – общее решение однородного уравнения; ˜ y(x) – частное решение неоднородного уравнения. 51 a. Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение −y 00 0 + 2y 0 = 0. Его характеристическое уравнение − λ 2 + 2 = 0 имеет вещественные реше- ния: λ 1,2 = ± √ 2 ≈ ±1, 4142. Значит, общим решением однородного урав- нения будет функция y 0 (x) = C 1 e √ 2x + C 2 e − √ 2x b. Частное решение неоднородного уравнения ˜ y(x) будем искать в виде ˜ y(x) = A x + B. Подставим его в неоднородное дифференциальное уравне- ние −(Ax + B) 00 + 2(Ax + B) = 2.2x. Приравняв коэффициенты многочленов правой и левой части этого равен- ства, получим систему относительно коэффициентов A и B: ( 2A = 2.2, 2B = 0. В результате получим ˜ y(x) = 1.1 x. Запишем общее решение неоднородного уравнения: y(x) = C 1 e √ 2x + C 2 e − √ 2x + 1.1 x. 2) Подставим найденную функцию y(x) в краевые условия. Относи- тельно коэффициентов C 1 , C 2 получится система линейных уравнений. Ре- шая ее, найдем: C 1 = 0.1311, C 2 = −4.8332. Решением заданной краевой задачи будет функция y(x) ≈ 0.1311 e 1.4142x − 4.8332 e −1.4142x + 1.1 x. 3) Разобьем промежуток [0.7, 1.8] на 5 равных частей. Значения иско- мой функции y в полученных точках запишем в табл. 6.1. Таблица 6.1 x 0.7 0.92 1.14 1.36 1.58 1.8 y(x) −0.6732 0.1778 0.9473 1.6870 2.4452 3.2725 2. Решение краевой задачи методом Фурье. 1) Метод Фурье применим к задачам с однородными краевыми усло- виями. Поэтому с помощью замены y(x) = v(x) + w(x), где w(x) = α x + β , сведем исходную краевую задачу к задаче с однородными краевыми усло- виями относительно функции v(x). Подберем α и β так, чтобы функция w(x) удовлетворяла тем же условиям, что и функция y(x): 0.4w 0 (0.7) − 1.7w(0.7) = 2.8, 0.6w 0 (1.8) = 2.4 ⇔ 52 0.4 α − 1.7( α · 0.7 + β ) = 2.8, 0.6 α = 2.4. Тогда функция v(x) будет удовлетворять однородным краевым условиям: 0.4v 0 (0.7) − 1.7v(0.7) = 0, 0.6v 0 (1.8) = 0. Для нахождения α и β решим систему уравнений ( −0.79 α − 1.7 β = 2.8, 0.6 α = 2.4. Отсюда α = 4, β = −3.5059. Подставив y(x) = v(x) + 4x − 3.5059 в уравнение, получим краевую задачу для функции v: −v 00 + 2v = −5.8x + 7.0118, 0.4v 0 (0.7) − 1.7v(0.7) = 0, 0.6v 0 (1.8) = 0 ⇔ −v 00 + 2v = −5.8x + 7.0118, v 0 (0.7) − 4.25v(0.7) = 0, v 0 (1.8) = 0. (6.6) 2) Рассмотрим оператор Штурма–Лиувилля задачи (6.6): L(y) = −y 00 + 2y. Найдем собственные числа и собственные функции этого оператора: −y 00 + 2y = λ y, y 0 (0.7) − 4.25y(0.7) = 0, y 0 (1.8) = 0. Запишем уравнение задачи в виде −y 00 = ( λ − 2)y. Обозначим λ − 2 = µ 2 ( µ ≥ 0). При µ = 0 общим решением уравнения y 00 + µ 2 y = 0 будет функция y(x) = C 1 x + C 2 . Подставив эту функцию в краевые условия, получим ре- шение краевой задачи – y(x) ≡ 0. Такая функция не является собственной функцией дифференциального оператора. При µ 2 > 0 общее решение уравнения y 00 + µ 2 y = 0 можно записать в виде y(x) = C 1 cos( µ (1.8 − x)) + C 2 sin( µ (1.8 − x)). Подставив в общее решение краевые условия, получаем систему уравнений относительно C 1 и C 2 ( ( µ sin(1.1 µ ) − 4.25 cos(1.1 µ ))C 1 − (4.25 sin(1.1 µ ) + µ cos(1.1 µ ))C 2 = 0, 0 · µ C 1 − µ C 2 = 0. (6.7) 53 Очевидно, что в системе (6.7) C 2 = 0, а C 1 будет ненулевым, только если µ sin(1.1 µ ) − 4.25 cos(1.1 µ ) = 0. Полученное уравнение приведем к виду tg(1.1 µ ) = 4.25 µ (6.8) Уравнение (6.8) имеет бесконечное число корней µ k , которые можно най- ти только численными методами. Первые 3 корня уравнения будут µ 1 = = 1.18149, µ 2 = 3.64012, µ 3 = 6.25457. Собственные числа оператора L(y) равны λ k = µ 2 k + 2. Соответственно, первые 3 собственных числа λ 1 = = 3.39593, λ 2 = 15.25049, λ 3 = 41.11959. Тогда собственными функциями оператора L будут y k (x) = cos( µ k (1.8 − x)). Таким образом, для оператора L(y) получены система собственных чисел { λ k = µ 2 k +2} +∞ k=1 и система собственных функций {y k = cos( µ k (1.8−x))} +∞ k=1 , где µ k – положительные корни уравнения (6.8). 3) Для того чтобы записать ряды Фурье по системе {y k |