ТР_BM_2018. Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2018
 Скачать 0.49 Mb.
|
|
y x −2 −1 x = y = Сначала построим асимптоты. Затем отметим на рисунке точки пере- сечения графика функции с координатными осями. После этого выделим на оси OX точки, в которых f 0 (x) и f 00 (x) имеют разрыв или обращают- ся в нуль. Далее, используя табл. 1.3, последовательно построим эскиз на выделенных интервалах, начиная с первого. 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 2.1. Многочлены и их свойства Подробное изложение общей теории с доказательствами можно найти в учебном пособии [ 5 ]. Определение 2.1. Функция P : C → C , определенная правилом P (z) = a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 = n X k=0 a k z k , a n 6= 0, 14 называется многочленом (полиномом) степени n. Числа a n , a n−1 , . . . , a 0 называются коэффициентами многочлена P (a n − старшим коэффици- ентом), а целое неотрицательное число n − его степенью. Степень мно- гочлена P будем обозначать ст. P и записывать: ст. P = n. Для многочленов, как и для любых числовых функций с общей обла- стью определения, определены обычным образом сложение, вычитание и умножение, причем сумма, разность и произведение многочленов также, очевидно, являются многочленами. Теорема 2.1. Если 2 многочлена P и Q тождественно совпадают, т. е. P (z) = Q(z) при всех z ∈ C , то совпадают их степени и коэффици- енты (при одинаковых степенях z). Многочлены обладают некоторыми свойствами, аналогичными свой- ствам целых чисел. Известно, что при умножении целых чисел получаем целое число. Это же свойство справедливо и для многочленов – перемно- жая многочлены, получаем многочлен. Деление же нацело двух целых чи- сел, т. е. получение в результате целого числа, возможно далеко не всегда. В общем случае при делении целого числа n на целое m получаем некото- рое частное k и остаток r. При этом справедливо равенство n = mk + r. То же можно сказать и о делении многочленов. Справедлива следующая теорема. Теорема 2.2. Для любых многочленов P и Q, ст.Q > 0, существу- ют единственные многочлены q и r, такие, что P (z) = Q(z)q(z) + r(z), причем степень многочлена r меньше степени многочлена Q, в частно- сти, возможно r(z) ≡ 0. Многочлен q называется частным (от деления P на Q), а r − остатком. Теорема 2.2 имеет важное следствие. Теорема 2.3. (Безу) Пусть P − многочлен, причем ст. P ≥ 1. Тогда остаток от деления P на многочлен (z − c) равен P (c). Определение 2.2. Нулем многочлена P называется корень уравне- ния P (z) = 0, z ∈ C Ясно, что многочлен нулевой степени нулей не имеет. Пусть ст. P > 0. Из теоремы 2.3 следует, что если c − нуль многочлена P , то P (z) = (z − c)q(z), (2.1) 15 где ст. q = (ст. P ) − 1. Обратное утверждение очевидно. Таким образом, число c является нулем многочлена P тогда и только тогда, когда P пред- ставим в виде (2.1). Если многочлен q тоже обращается в нуль в точке c, то и он пред- ставим в аналогичном виде q(z) = (z − c)q 1 (z), а значит, для P получаем представление P (z) = (z − c) 2 q 1 (z) (ясно, что ст. q 1 = ст. P − 2). Продолжая эти рассуждения, приходим к понятию кратности нуля многочлена. Определение 2.3. Число c называется нулем многочлена P крат- ности k (k ∈ N ), если справедливо представление P (z) = (z − c) k q(z), q(c) 6= 0. Замечание 2.1. Если k = 1, то говорят, что c − простой нуль много- члена P . Теорема 2.4. Число c является нулем многочлена P кратности k тогда и только тогда, когда P (c) = P 0 (c) = . . . = P (k−1) (c) = 0, P (k) (c) 6= 0. Теорема 2.5. (Основная теорема алгебры) Всякий многочлен не- нулевой степени имеет хотя бы один нуль. Из основной теоремы алгебры доказывается важное следствие. Следствие 2.1. Многочлен P (z) = a 0 + a 1 z + . . . + a n z n степени n ≥ 1 может быть представлен в виде P (z) = a n (z − c 1 ) . . . (z − c n ), (2.2) где, очевидно, числа c 1 , c 2 , . . . , c n являются нулями многочлена P . Это представление единственно (с точностью до порядка сомножителей). В общем случае в разложении (2.2) среди чисел c 1 , c 2 , . . . , c n могут быть равные, т. е. какие-то нули многочлена P могут иметь кратность боль- ше единицы. Пусть различными нулями многочлена P служат числа c 1 , c 2 , . . . , c m (m ≤ n). Обозначим их кратности через k 1 , k 2 , . . . , k m соответ- ственно. Тогда разложение (2.2) принимает вид P (z) = a n (z − c 1 ) k1 (z − c 2 ) k2 . . . (z − c m ) km (2.3) 16 Здесь 1 ≤ k i ≤ n, i = 1, . . . , m, k 1 + k 2 + . . . + k m = n. Формула (2.3) означает, что любой многочлен степени n имеет ровно n нулей с учетом их кратностей. В ТР встречаются только вещественные многочлены (2.3), у которых a n , a n−1 , . . . , a 0 ∈ R Теорема 2.6. Многочлен с вещественными коэффициентами прини- мает в комплексно-сопряженных точках комплексно-сопряженные зна- чения, т. е. P (¯ z) = P (z). Следствие 2.2. Если c − нуль вещественного многочлена, то ¯ c – также нуль этого многочлена. Замечание 2.2. Можно показать, что кратности комплексно-сопря- женных нулей вещественного многочлена совпадают. Теперь можно уточнить формулу (2.3) разложения вещественного мно- гочлена на множители. Пусть c 1 (где Im(c 1 ) 6= 0) и ¯ c 1 − комплексно-сопря- женные нули вещественного многочлена. В (2.3) этим нулям соответствуют множители (z − c 1 ) k1 и (z − ¯ c 1 ) k1 . Их произведение (z − c 1 )(z − ¯ c 1 ) k1 = z 2 − (c 1 + ¯ c 1 )z + c 1 ¯ c 1 k1 = (z 2 + α 1 z + β 1 ) k1 , где α 1 = −(c 1 + ¯ c 1 ) и β 1 = c 1 ¯ c 1 – вещественные числа, причем α 2 1 − 4 β 1 < 0. Таким образом в разложении (2.3) можно объединить все пары множите- лей, соответствующих комплексно-сопряженным нулям многочлена P . Из вышеизложенного вытекает следующее утверждение (в дальней- шем, следуя традиции, аргумент вещественного многочлена обозначаем буквой x). Утверждение 2.1. Для любого вещественного многочлена ненуле- вой степени n справедливо представление P (x) = a n (x 2 + α 1 x + β 1 ) k1 . . . (x 2 + α l x + β l ) kl (x − d 1 ) n1 . . . (x − d m ) nm , где d 1 , . . . , d m – вещественные нули многочлена P с кратностью n 1 , . . . , n m соответственно, множители (x 2 + α p x+ β p ) kp отвечают парам комп- лексно-сопряженных корней кратности k p , т.е. α p , β p ∈ R , α 2 p − 4 β p < 0, p = 1, 2, . . . , l, и 2(k 1 + k 2 + . . . + k l ) + n 1 + n 2 + . . . + n m = n. 2.2. Рациональные дроби Определение 2.4. Пусть P и Q − вещественные многочлены, при- чем P − ненулевой многочлен. Функция R, значения которой вычисля- ются по правилу R(x) = Q(x) P (x) , (2.4) 17 называется вещественной рациональной дробью или вещественной дроб- но-рациональной функцией. Функция R определена везде, кроме точек, в которых многочлен P обращается в нуль. Определение 2.5. Рациональная дробь (2.4) называется правиль- ной, если степень многочлена-числителя Q строго меньше степени мно- гочлена-знаменателя P . В противном случае дробь называется непра- вильной. Заметим, что справедливо утверждение. Утверждение 2.2. Если α , β ∈ R и R 1 , R 2 − правильные рацио- нальные дроби, то α R 1 + β R 2 и R 1 R 2 также правильные рациональные дроби. Если дробь неправильная, то ее можно представить в виде суммы мно- гочлена и правильной дроби. Действительно, на основании теоремы 2.2 Q(x) = P (x)p(x) + r(x) и, следовательно, Q(x) P (x) = p(x) + r(x) P (x) , где степень r строго меньше степени P . Определение 2.6. Вещественные рациональные дроби вида A (x − c) k и M x + L (x 2 + α x + β ) m , где k, m ∈ N , α 2 − 4 β < 0, будем называть простейшими вещественными дробями. Теорема 2.7. Пусть Q(x) P (x) – правильная вещественная рациональная дробь, где (см. (2.1)) P (x) = a n (x 2 + α 1 x + β 1 ) k1 . . . (x 2 + α l x + β l ) kl (x − d 1 ) n1 . . . (x − d m ) nm Тогда эта дробь единственным образом может быть разложена в следу- 18 ющую сумму простейших вещественных дробей: Q(x) P (x) = A (1) n1 (x − d 1 ) n1 + A (1) n1−1 (x − d 1 ) n1−1 + . . . + A (1) 1 x − d 1 + . . . + + A (m) nm (x − d m ) nm + A (m) nm−1 (x − d m ) nm−1 + . . . + A (m) 1 x − d m + + M (1) k1 x + L (1) k1 (x 2 + α 1 x + β 1 ) k1 + M (1) k1−1 x + L (1) k1−1 (x 2 + α 1 x + β 1 ) k1−1 + . . . + M (1) 1 x + L (1) 1 x 2 + α 1 x + β 1 + + . . . + M (l) kl x + L (l) kl (x 2 + α l x + β l ) kl + M (l) kl−1 x + L (l) kl−1 (x 2 + α l x + β l ) kl−1 + . . . + M (l) 1 x + L (l) 1 x 2 + α l x + β l Пример 2.1. Разложить в сумму простейших вещественных дробей правильную дробь R(x) = x 4 + 4x 3 + 11x 2 + 12x + 8 (x 2 + 2x + 3) 2 (x + 1) Разложение с неопределенными коэффициентами имеет вид R(x) = Ax + B (x 2 + 2x + 3) 2 + Cx + D x 2 + 2x + 3 + E x + 1 Приведем слагаемые, записанные в правой части равенства, к общему зна- менателю и приравняем числители исходной и полученной рациональных дробей. Получим x 4 + 4x 3 + 11x 2 + 12x + 8 = = (Ax + B)(x + 1) + (Cx + D)(x 2 + 2x + 3)(x + 1) + E(x 2 + 2x + 3) 2 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (см. теорему 2.1 ) находим: C + E = 1, 3C + D + 4E = 4, A + 5C + 3D + 10E = 11, A + B + 3C + 5D + 12E = 12, B + 3D + 9E = 8, откуда A = 1, B = −1, C = 0, D = 0, E = 1 и, следовательно, R(x) = x − 1 (x 2 + 2x + 3) 2 + 1 x + 1 . • 19 2.3. Интегрирование рациональных дробей При выполнении ТР после выделения целой части неправильной ра- циональной дроби и разложения правильной рациональной дроби в сумму простейших требуется вычислять интегралы от многочленов и простейших рациональных дробей. Приведем необходимые формулы, а полное изложе- ние можно найти в учебнике [2]. Для интегрирования многочлена используется линейность интеграла и формула Z x n dx = 1 n + 1 x n+1 + C, n ≥ 0. (2.5) Для интегрирования правильных рациональных дробей, знаменатели которых имеют только вещественные корни, используются формулы: Z dx x − a = ln |x − a| + C (2.6) и Z dx (x − b) k = 1 1 − k (x − b) 1−k + C, k > 1. (2.7) Если знаменатель правильной рациональной дроби имеет простые ком- плексно-сопряженные корни, для ее интегрирования используется формула Z M x + N x 2 + px + q dx = M 2 ln(x 2 + px + q)+ + 2N − M p p 4q − p 2 arctg 2x + p p 4q − p 2 ! + C. (2.8) В ТР отсутствуют примеры, требующие интегрирования правильных рациональных дробей, знаменатели которых имеют кратные комплексно- сопряженные корни, т. е. вычисления интегралов вида Z M x + N (x 2 + px + q) k dx, k > 1. (2.9) Для нахождения интегралов вида (2.9) можно воспользоваться рекуррент- ными формулами, которые приведены в подробных таблицах интегралов (см., например, [ 6 ], с. 27, № 160.09 и 160.19) и позволяют понижать степень знаменателя. 2.4. Типовой расчет по теме „Интегрирование рациональных дробей“ (ТР 2.3) Студентам выдаются индивидуальные задания следующего вида: 20 ТР 2.3. Вар. 0. Найти интегралы: 1. Z x 4 + 3x 3 − 7x − 9 (x − 2)(x + 3)(x − 1) dx, 2. Z −2x 4 − 13x 3 − 8x 2 + 98x + 181 (x + 3) 4 (x − 1) dx, 3. 0 Z −1 2x 3 − 7x 2 + 13x − 5 (x − 2) 2 (x 2 − 4x + 13) dx. Требуется найти неопределенные интегралы (первые 2 задания) и вы- числить определенный интеграл (третье задание). Пример выполнения ТР 2.3. Вар. 0. 1. Найти I 1 = Z x 4 + 3x 3 − 7x − 9 (x + 2)(x + 3)(x − 1) dx. Обозначим f 1 (x) = x 4 + 3x 3 − 7x − 9 (x + 2)(x + 3)(x − 1) . Перемножив двучлены зна- менателя, получим f 1 (x) = x 4 + 3x 3 − 7x − 9 x 3 + 4x 2 + x − 6 − неправильную рациональ- ную дробь. a. Выделим целую часть, для чего разделим числитель на знаменатель с остатком: − x 4 + 3x 3 − 7x − 9 x 4 + 4x 3 + x 2 − 6x x 3 + 4x 2 + x − 6 x − 1 − −x 3 − x 2 − x − 9 −x 3 − 4x 2 − x + 6 3x 2 − 15 (остаток) Следовательно, f 1 (x) = (x − 1) + 3x 2 − 15 x 3 + 4x 2 + x − 6 b. Разложим в сумму простейших правильную рациональную дробь, знаменатель которой имеет простые вещественные нули: 3x 2 − 15 (x + 2)(x + 3)(x − 1) = A x + 2 + B x + 3 + C x − 1 Приведем правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства. В итоге имеем 3x 2 − 15 = A(x + 3)(x − 1) + B(x + 2)(x − 1) + C(x + 2)(x + 3). Для нахождения значений A, B и C применим метод отдельных значе- ний аргумента. Подставим в это равенство корни знаменателя. Этот прием 21 позволяет получить простые соотношения для нахождения A, B и C: x = −3 4B = 12, B = 3, x = −2 −3A = −3, A = 1, x = 1 12C = −12, C = −1. Искомое разложение имеет вид 3x 2 − 15 (x + 2)(x + 3)(x − 1) = 1 x + 2 + 3 x + 3 − 1 x − 1 Значит, f 1 (x) = (x − 1) + 1 x + 2 + 3 x + 3 − 1 x − 1 c. Вычислим интеграл используя формулы (2.5) и (2.6): I 1 = Z f 1 (x) dx = Z (x − 1) + 1 x + 2 + 3 x + 3 − 1 x − 1 dx = = 1 2 x 2 − x + ln |x + 2| + 3 ln |x + 3| − ln |x − 1| + C. 2. Найти I 2 = Z −2x 4 − 13x 3 − 8x 2 + 98x + 181 (x + 3) 4 (x − 1) dx. a. Пусть f 2 (x) = −2x 4 − 13x 3 − 8x 2 + 98x + 181 (x + 3) 4 (x − 1) . Функция f 2 (x) − пра- вильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет вещественный нуль x 1 = 3 кратности l 1 = 4: f 2 (x) = A x + 3 + B (x + 3) 2 + C (x + 3) 3 + D (x + 3) 4 + E x − 1 Приведение правой части последнего равенства к общему знаменателю да- ет равенство числителей: − 2x 4 − 13x 3 − 8x 2 + 98x + 181 = A(x + 3) 3 (x − 1)+ + B(x + 3) 2 (x − 1) + C(x + 3)(x − 1) + D(x − 1) + E(x + 3) 4 Для нахождения значений A, B, C, D и E сначала применим метод отдель- ных значений аргумента. Зададим x равным различным корням знамена- теля (x = 1, x = −3). Это позволит просто найти D и E. Затем зададим еще 3 различных значения x (небольшие целые числа), например x = 0, x = −2, x = 2. В результате получим x = −3 4 = −4D, D = −1, x = 1 256 = 256E, E = 1. x = 0 181 = −27A − 9B − 3C − D + 81E, x = −2 25 = −3A + 25B − 3C − 3D + E, x = 2 209 = 125A + 25B + 5C − D + 625E, 22 Подставляя в последние 3 уравнения найденные уже значения D = −1 и E = 1, приводя подобные члены и сокращая, получим систему линейных уравнений для нахождения A, B и C: 9A + 3B + C = −33, A + B + C = −7, 25A + 5B + C + −83. Решением этой системы являются: A = −3, B = −1, C = −3. Таким образом, искомое разложение примет вид f 2 (x) = −3 x + 3 − 1 (x + 3) 2 − 3 (x + 3) 3 − 1 (x + 3) 4 + 1 x − 1 b. Вычислим интеграл используя формулы (2.6) и (2.7): I 2 = Z f 2 (x) dx = −3 ln |x+3|+ 1 x+3 + 3 2(x + 3) 2 + 1 3(x + 3) 3 +ln |x−1| + C. 3. Найти I 3 = 0 Z −1 2x 3 − 7x 2 + 13x − 5 (x − 2) 2 (x 2 − 4x + 13) dx. a. Обозначим f 3 (x) = 2x 3 − 7x 2 + 13x − 5 (x − 2) 2 (x 2 − 4x + 13) . Функция f 3 (x) − пра- вильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет вещественный нуль x 1 = 2 кратности l 1 = 2, имеет пару простых комплексно-сопряжен- ных корней (см. следствие 2.2), значит, f 3 (x) можно разложить в следую- щую сумму простейших дробей: 2x 3 − 7x 2 + 13x − 5 (x − 2) 2 (x 2 − 4x + 13) = A x − 2 + B (x − 2) 2 + Cx + D x 2 − 4x + 13 Приведение правой части последнего равенства к общему знаменателю с последующим освобождением от знаменателя в обеих частях равенства да- ет тождество: 2x 3 − 7x 2 + 13x − 5 = A(x − 2)(x 2 − 4x + 13) + B(x 2 − 4x + 13)+ + (Cx + D)(x − 2) 2 = A(x 3 − 6x 2 + 21x − 26) + B(x 2 − 4x + 13)+ + C(x 3 − 4x 2 + 4x) + D(x 2 − 4x + 4). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях тождества (см. теорему 2.1 ) получим: x 3 A + C = 2, x 2 −6A + B − 4C + D = −7, x 1 21A − 4B + 4C − 4D = 13, x 0 |