ТР_BM_2018. Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2018
 Скачать 0.49 Mb.
|
|
−26A + 13B + 4D = −5. 23 Для нахождения A, B, C и D решим систему линейных уравнений методом Гаусса–Жордана: A + C = 2, −6A + B − 4C + D = −7, 21A − 4B + 4C − 4D = 13, −26A + 13B + 4D = −5 и получим A = 1, B = 1, C = 1, D = 2. В итоге имеем f 3 (x) = 1 x − 2 + 1 (x − 2) 2 + x + 2 x 2 − 4x + 13 b. Вычислим неопределенный интеграл Z f 3 (x)dx = Z 1 x − 2 dx + Z 1 (x − 2) 2 dx + Z x + 2 x 2 − 4x + 13 dx. Сначала, используя формулы (2.6) и (2.7), вычислим первые 2 слагаемых: Z 1 x − 2 dx + Z 1 (x − 2) 2 dx = ln |x − 2| − 1 x − 2 + C. Третье слагаемое можно вычислить с помощью (2.8): Z x + 2 x 2 − 4x + 13 dx = 1 2 ln(x 2 − 4x + 13) + 4 3 arctg x − 2 3 + C. c. По формуле Ньютона–Лейбница получаем I 3 = 0 Z −1 f 3 (x) dx = ln |x − 2| − 1 x − 2 + 1 2 ln(x 2 − 4x + 13)+ + 4 3 arctg x − 2 3 0 −1 = −0.138. Ответ. 1. I 1 = 1 2 x 2 − x + ln |x + 2| + 3 ln |x + 3| − ln |x − 1| + C. 2. I 2 = −3 ln |x + 3| + 1 x + 3 + 3 2(x + 3) 2 + 1 3(x + 3) 3 + ln |x − 1| + C. 3. I 3 = 0 Z −1 f 3 (x) dx = ln |x − 2| − 1 x − 2 + 1 2 ln(x 2 − 4x + 13)+ + 4 3 arctg x − 2 3 0 −1 = −0.138. 24 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Рассмотрим применение формулы трапеций для вычисления значений интегралов и способы приведения некоторых интегралов к специальным функциям (см. учебное пособие [ 3 ] и учебник [ 4 ]). 3.1. Формула трапеций Формулы, с помощью которых можно вычислить приближенные зна- чения определенных интегралов, называются квадратурными. Квадратур- ная формула называется формулой трапеций, если b Z a f (x) dx ≈ b − a 2 (f (a) + f (b)). (3.1) Из этой формулы следует, что площадь под кривой y = f (x) на отрезке [a, b] приближается площадью под хордой, соединяющей точки (a, f (a)) и (b, f (b)). Если функция f (x) имеет на [a, b] ограниченную вторую произ- водную, то справедлива оценка R = b − a 2 (f (a) + f (b)) − b Z a f (x) dx ≤ (b − a) 3 12 M 2 , (3.2) где M 2 = max a≤x≤b |f 00 (x)|. Как видно, погрешность вычисления интеграла за- висит от длины отрезка [a, b]. Чтобы вычислить значение интеграла с погрешностью, не превышаю- щей некоторого заданного ε > 0, поступают следующим образом. Отрезок [a, b] разбивают на n равных подотрезков [x i , x i+1 ], i = 0, 1, ..., n − 1, длины h = b − a n , полагая x 0 = a, x n = b. На каждом таком отрезке применяют формулу трапеций (3.1) b Z a f (x) dx = n−1 X i=0 x i+1 Z x i f (x) dx ≈ n−1 X i=0 h 2 (f (x i ) + f (x i+1 )). Таким образом, получаем составную формулу трапеций b Z a f (x) dx ≈ h f (x 0 ) + f (x n ) 2 + n−1 X i=1 f (x i ) ! (3.3) 25 Из (3.2) получается оценка для составной формулы трапеций R = b Z a f (x) dx − h f (x 0 ) + f (x n ) 2 + n−1 X i=1 f (x) ! ≤ (b − a)h 2 12 M 2 Число разбиений n отрезка [a, b], достаточное для вычисления интеграла с точностью ε , определяется из неравенства (b − a)h 2 12 M 2 < ε , т. е. n ≥ s M 2 (b − a) 3 12 ε , (3.4) где d α e – наименьшее целое, большее или равное | α |. 3.2. Интеграл вероятности Функция erf(x), называемая интегралом вероятности или функцией ошибок, определяется формулой erf(x) = 2 √ π x Z 0 e −t 2 dt. Эта функция определена на всем множестве вещественных чисел R Перечислим некоторые простейшие свойства интеграла вероятности: 1) lim x→+∞ erf(x) = 1; 2) erf(0) = 0; 3) erf(−x) = −erf(x), т. е. функция erf(x) нечетная; 4) erf(x) монотонно возрастает на R ; 5) существуют горизонтальные асимптоты y = −1 и y = 1 при x → −∞ и x → +∞ соответственно; 6) при x → +∞ справедлива асимптотическая формула erf(x) ∼ 1 − 1 x √ π e −x 2 Для определения численного значения функции erf(x) в некоторой точке x следует воспользоваться таблицей значений интеграла вероятно- сти (функции ошибок), например [ 7 ]. Пример 3.1. Рассмотрим применение таблиц интеграла вероятности на примере вычисления значения β Z α e −t 2 dt. 26 Запишем β Z α e −t 2 dt = √ π 2 2 √ π β Z 0 e −t 2 dt − 2 √ π α Z 0 e −t 2 dt = √ π 2 [erf( β ) − erf( α )]. Определив значения erf( β ) и erf( α ) из таблиц, найдем значение искомого интеграла. • 3.3. Интегральный синус и интегральный косинус Функция Si(x) (интегральный синус) определяется формулой Si(x) = x Z 0 sin t t dt. Эта функция определена на всем множестве вещественных чисел R Простейшие свойства функции интегрального синуса: 1) Si(0) = 0; 2) Si(−x) = − Si(x), т. е. функция нечетная; 3) Si(x) имеет максимум в точках (2k + 1) π , k = 0, 1, 2, ..., причем Si( π ) ≈ 1.35, Si(3 π ) ≈ 1.67, ...; функция Si(x) имеет минимум в точках 2k π , k = 1, 2, ... и Si(2 π ) ≈ 1.45, Si(4 π ) ≈ 1.49, ...; 4) lim x→+∞ Si(x) = π 2 Пример 3.2. Вычислить значение интеграла I = β Z α sin t t dt. Выразим интеграл через интегральные синусы: I = β Z α sin t t dt = β Z 0 sin t t dt − α Z 0 sin t t dt = Si( β ) − Si( α ). Получив из таблицы значения функций Si( β ) и Si( α ), найдем значение интеграла I. • Определения и таблицы значений интегрального синуса и косинуса приведены в справочнике [ 7 ]. Функция Ci(x) (интегральный косинус) задается формулой Ci(x) = − +∞ Z x cos t t dt и определена на интервале (0, +∞). 27 Свойства функции Ci(x): 1) lim x→+∞ Ci(x) = 0; 2) lim x→0+0 Ci(x) = −∞; 3) в точках 2k + 1 2 π , k = 0, 1, ... функция Ci(x) достигает макси- мальных значений; в точках 2k − 1 2 π , k = 1, 2, ... функция Ci(x) дости- гает минимальных значений. Пример 3.3. Вычислить значение интеграла I = β Z α cos t t dt. Выразим интеграл через интегральные косинусы: I = +∞ Z α cos t t dt − +∞ Z β cos t t dt = − Ci( α ) + Ci( β ), следовательно, β Z α cos t t dt = Ci( β ) − Ci( α ). Получив из таблицы значения функций Ci( β ) и Ci( α ), найдем значение исходного интеграла I. • 3.4. Типовой расчет по теме „Вычисление интеграла по формуле трапеций и с помощью специальных функций“ (ТР 2.4) Студентам выдаются индивидуальные задания следующего вида: ТР 2.4. Вар. 0. I = 1.2 Z 0.6 sin √ 3x + 16 x dt. 1. Вычислить приближенное значение интеграла с точностью ε = = 0.001 по формуле трапеций. 2. Вычислить значение интеграла, используя таблицы специальных функций [ 7 ]. Пример выполнения ТР 2.4. Вар. 0. 28 1. Приближенное значение интеграла вычисляется по квадратурной формуле трапеций (3.3). Чтобы вычисленное значение отличалось от ис- тинного значения интеграла не более чем на ε = 0.001, необходимо отрезок интегрирования [0.6, 1.2] разбить на n отрезков. Число разбиений может быть определено из неравенства (3.4). Однако необходимо получить оценку максимума модуля M 2 второй производной от подынтегральной функции. Имеем f (x) = sin √ 3x + 16 x Найдем первую производную: f 0 (x) = 3 2 cos √ 3x + 16 x √ 3x + 16 − sin √ 3x + 16 x 2 Для упрощения выкладок обозначим y 1 = cos √ 3x + 16 x √ 3x + 16 , y 2 = sin √ 3x + 16 x 2 Тогда f 00 (x) = 3 2 y 0 1 + y 0 2 Для вычисления y 0 1 воспользуемся логарифмической производной ln y 1 = ln(cos √ 3x + 16 ) − ln x − 1 2 ln(3x + 16). Тогда y 0 1 = y 1 − 3 2 sin √ 3x + 16 cos √ 3x + 16 1 √ 3x + 16 − 1 x − 3 2(3x + 16) , т. е. y 0 1 = − 3 2 sin √ 3x + 16 x(3x + 16) − cos √ 3x + 16 x 2 √ 3x + 16 − 3 2 cos √ 3x + 16 x(3x + 16) 3/2 ; y 0 2 = 3 2 cos √ 3x + 16 x 2 √ 3x + 16 − 2 sin √ 3x + 16 x 3 и окончательно получаем: f 00 (x) = − 9 4 sin √ 3x+16 x(3x+16) −3 cos √ 3x + 16 x 2 √ 3x + 16 − 9 4 cos √ 3x + 16 x(3x + 16) 3/2 − 2 sin √ 3x + 16 x 2 Для получения оценки f 00 (x) возьмем модуль от обеих частей этого равен- ства: |f 00 (x)| ≤ 9 4 sin √ 3x + 16 x(3x + 16) + 3 cos √ 3x + 16 x 2 √ 3x + 16 + + 9 4 cos √ 3x + 16 x(3x + 16) 3/2 + 2 sin √ 3x + 16 x 2 29 Учитывая, что | sin √ 3x + 16 | ≤ 1, | cos √ 3x + 16 | ≤ 1, 0.6 ≤ x ≤ 1.2, 17.8 < (3x + 16) < 19.8 и 4.22 ≤ √ 3x + 16 ≤ 4.43, получим |f 00 (x)| ≤ 9 4 1 0.6 · 17.8 + 3 1 (0.6) 2 4.22 + 9 4 1 0.6(17.8) 3/2 + 2 1 0.6 2 ≈ 7.79. Так как эта оценка выполняется для всех x ∈ [0.6, 1.2], то она справедлива и для x, при котором |f 00 (x)| достигает максимального значения, т. е. max |f 00 (x)| ≤ 7.79. Применив (3.4), найдем необходимое число разбиений отрезка инте- грирования [0.6, 1.2]: n = s 5.57(0.6) 3 12 · 0.001 ≈ d11.84e = 12. Находим длину подотрезка: h = b − a n = 0.6 12 = 0.05. Вычислив f (x) = sin √ 3x + 16 x в точках x i = 0.6 + ih, i = 0, 1, ..., 12, получаем: f (x 0 ) = −1.4679 f (x 5 ) = −1.0811 f (x 10 ) = −0.8632 f (x 1 ) = −1.3677 f (x 6 ) = −1.0285 f (x 11 ) = −0.8302 f (x 2 ) = −1.2814 f (x 7 ) = −0.9811 f (x 12 ) = −0.7997. f (x 3 ) = −1.2061 f (x 8 ) = −0.9382 f (x 4 ) = −1.1399 f (x 9 ) = −0.8990 Применив (3.2), находим 1.2 Z 0.6 sin √ 3x + 16 x dx ≈ h 2 f (x 0 ) + f (x 11 ) + 2 10 X i=1 f (x i ) ! = −0.6375. Округлим найденное число до тысячных и получим значение, которое от- личается от истинного значения интеграла не более чем на ε = 0.001: 1.2 Z 0.6 sin √ 3x + 16 x dx = −0.638 ± 0.001. 30 2. Приведем исходный интеграл I = 1.2 Z 0.6 sin √ 3x + 16 x dx к выражению, содержащему функции интегрального синуса Si(x) и интегрального коси- нуса Ci(x). Для этого выполним подстановку u 2 = 3x + 16, т. е. x = 1 3 (u 2 − 16), dx = 2 3 u du, и найдем новые пределы интегрирования: при x 1 = 0.6 новый предел инте- грирования будет u 1 = √ 3 · 0.6 + 16 = √ 17.8 ≈ 4.219, а при x 2 = 1.2 имеем u 2 = √ 3 · 1.2 + 16 = √ 19.6 ≈ 4.427, т. е. I = 2 4.427 Z 4.219 u sin u (u 2 − 16) du. (3.5) Выражение u u 2 − 16 представим в виде суммы простейших дробей: u u 2 − 16 = A u − 4 + B u + 4 Определив, что A = B = 1 2 , и подставив это разложение в интеграл (3.5), получим I = 4.427 Z 4.219 sin u 1 u − 4 + 1 u + 4 du = 4.427 Z 4.219 sin u u − 4 du + 4.427 Z 4.219 sin u u + 4 du. (3.6) В первом интеграле правой части равенства (3.6) опять выполним под- становку v = u − 4: 4.427 Z 4.219 sin u u − 4 du = 0.427 Z 0.219 sin(v + 4) v dv = 0.427 Z 0.219 sin v cos 4 + cos v sin 4 v dv = = cos 4 0.427 Z 0.219 sin v v dv + sin 4 0.427 Z 0.219 cos v v dv = = cos 4(Si(0.427) − Si(0.219)) + sin 4(Ci(0.427) − Ci(0.219)). Во втором интеграле правой части равенства (3.6) выполним подста- новку v = u + 4: 4.427 Z 4.219 sin u u + 4 du = 8.427 Z 8.219 sin(v − 4) v dv = 8.427 Z 8.219 sin v cos 4 − cos v sin 4 v dv = 31 = cos 4 8.427 Z 8.219 sin v v dv − sin 4 8.427 Z 8.219 cos v v dv = = cos 4(Si(8.427) − Si(8.219) − sin 4(Ci(8.427) − Ci(8.219)). Подставляя найденные выражения в (3.6), окончательно получим I = cos 4[Si(0.427) − Si(0.219) + Si(8.427) − Si(8.219)]+ + sin 4[Ci(0.427) − Ci(0.219) − Ci(8.427) + Ci(8.219)]. Из таблиц значений функций Si(x)и Ci(x) [ 7 ] имеем: Si(0.219) = 0.2184 Ci(0.219) = −0.9534 Si(0.427) = 0.4227 Ci(0.427) = −0.3190 Si(8.219) = 1.6003 Ci(8.219) = 0.1156 Si(8.427) = 1.6225 Ci(8.427) = 0.1044 и учитывая, что cos(4) ≈ −0.6536 и sin(4) ≈ −0.7568, получим I ≈ −0.637. Ответ: значение интеграла, вычисленного 1) с помощью формулы трапеций I 1 ≈ −0.638; 2) с использованием таблиц специальных функций I 2 ≈ −0.637. 4. ФУНКЦИИ ДВУХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ При выполнении ТР „ Экстремумы функций двух переменных “ (ТР 2.5) используются функции двух вещественных переменных. Полное из- ложение теории вещественных функций многих переменных с подробны- ми доказательствами можно найти в учебном пособии [8] и учебнике [4]. В данном издании ограничимся только кратким изложением сведений, не- обходимых для выполнения ТР. 4.1. Функции двух вещественных переменных, непрерывность Обозначим через (x, y) произвольную точку плоскости R 2 Определение 4.1. Окрестностью K δ (x 0 , y 0 ) радиуса δ > 0 точки (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 называется множество точек (x, y) плоскости, для которых справедливо неравенство p (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 < δ Множество ◦ K δ (x 0 , y 0 ) = K δ (x 0 , y 0 )\{(x 0 , y 0 )} называется проколо- той окрестностью радиуса δ > 0 точки (x 0 , y 0 ). 32 Определение 4.2. Пусть D ⊂ R 2 . Правило f , по которому каждой точке (x, y) ∈ D ставится в соответствие единственное веществен- ное число z ∈ R , называется функцией двух вещественных переменных с областью определения D и множеством значений в R . При этом ис- пользуется обозначение f : D → R , а z = f (x, y) называется значением функции f в точке (x, y). 4.2. Частные производные функции двух вещественных переменных Пусть задана функция f : D → R и точка (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 . Рассмотрим функцию f (x, y 0 ) переменной x и функцию f (x 0 , y) переменной y. Определение 4.3. Если существуют пределы: lim x→x 0 f (x, y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) x − x 0 = f 0 x (x, y 0 ) = ∂f (x 0 , y 0 ) ∂x , lim y→y 0 f (x 0 , y) − f (x 0 , y 0 ) y − y 0 = f 0 y (x 0 , y) = ∂f (x 0 , y 0 ) ∂y , то они называются частными производными в точке (x 0 , y 0 ) функции f (x, y) по переменной x и по переменной y и обозначаются ∂f (x 0 , y 0 ) ∂x и ∂f (x 0 , y 0 ) ∂y соответственно. Если частные производные существуют в любой точке (x, y) ∈ D, то в области D тем самым определены новые функции двух веществен- ных переменных ∂f (x, y) ∂x и ∂f (x, y) ∂y Пример. 4.1. Пусть f (x, y) = x 3 y + x 2 y 2 + y 3 и (x 0 , y 0 ) = (2, 1), тогда ∂f (x, y) ∂x = d x 3 y + x 2 y 2 + y 3 dx = 3x 2 y + 2xy 2 , ∂f (2, 1) ∂x = x 3 1 + x 2 1 2 + 1 3 0 x=2 = 3x 2 + 2x x=2 = 16, ∂f (x, y) ∂y = d x 3 y + x 2 y 2 + y 3 dy = x 3 + 2x 2 y + 3y 2 , ∂f (2, 1) ∂y = 8y + 4y 2 + y 3 0 y=1 = 8 + 4 · 2y + 3y 2 y=1 = 19. • 33 Пусть в области D существуют функции g 1 (x, y) = ∂f (x, y) ∂x и g 2 (x, y) = ∂f (x, y) ∂y Если в точке (x 0 , y 0 ) ∈ D существуют частные производные: ∂g 1 (x 0 , y 0 ) ∂x = ∂ ∂x ∂f (x 0 , y 0 ) ∂x = ∂ 2 f (x 0 , y 0 ) ∂x 2 , ∂g 1 (x 0 , y 0 ) ∂y = ∂ ∂y ∂f (x 0 , y 0 ) ∂x = ∂ 2 f (x 0 , y 0 ) ∂x∂y , ∂g 2 (x 0 , y 0 ) ∂x = ∂ ∂x ∂f (x 0 , y 0 ) ∂y = ∂ 2 f (x 0 , y 0 ) ∂y∂x , ∂g 2 (x 0 , y 0 ) ∂y = ∂ ∂y ∂f (x 0 , y 0 ) ∂y = ∂ 2 f (x 0 , y 0 ) ∂y 2 , то они называются частными производными второго порядка от функции f (x, y) в точке (x 0 , y 0 ). Справедлива следующая теорема. Теорема 4.1. Если функция f (x, y) имеет в некоторой окрестности K δ ((x 0 , y 0 )) частные производные второго порядка, непрерывные в точке (x 0 , y 0 ), то ∂ 2 f (x 0 , y 0 ) ∂x∂y = ∂ 2 f (x 0 , y 0 ) ∂y∂x Пример. 4.2. Пусть f (x, y) = x 3 y + x 2 y 2 + y 3 (см. пример 4.1). Тогда ∂ 2 f (x, y) ∂x 2 = 6xy + 2y |