ТР_BM_2018. Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2018
 Скачать 0.49 Mb.
|
|
} +∞ k=1 , понадо- бятся нормы функций y k ky k k 2 = 1.8 Z 0.7 [cos( µ k (1.8 − x))] 2 dx = 0.55 + sin(2.2 µ k ) 4 µ k Разложим правую часть уравнения (6.6) g(x) = −5.8x+7.0118 в ряд Фурье: g(x) = +∞ X k=1 g k y k (x). Коэффициенты Фурье g k будут: g k = (g, y k ) ky k k 2 = 1 ky k k 2 1.8 Z 0.7 (−5.8x + 7.0118) cos( µ k (1.8 − x))dx = = 1 ky k k 2 5.8(cos(1.1 µ k ) − 1) µ 2 k + 2.9518 sin(1.1 µ k ) µ k Первые 3 коэффициента g 1 = −0.96325, g 2 = −2.16600, g 3 = 0.40816. Для вычисления интегралов студенты могут использовать пакеты при- кладных программ, такие, как MATLAB, SCILAB, MAPLE. Будем искать решение (6.6) в виде v(x) = +∞ X k=1 c k y k (x). Учитывая, что L(v) = +∞ X k=1 c k L(y k ) = +∞ X k=1 c k λ k y k , 54 получаем +∞ X k=1 c k λ k y k (x) = +∞ X k=1 g k y k (x). Отсюда c k = g k λ k Вычислим значения первых трех коэффициентов ряда c 1 = −0.28365, c 2 = −0.14203, c 3 = 0.00993. Окончательно решение задачи (6.6) примет вид v(x) = +∞ X k=1 c k cos( µ k (1.8 − x)). 4) Получим решение исходной задачи y(x) = +∞ X k=1 c k cos( µ k (1.8 − x)) + 4x − 3.5059. 5) В качестве приближенного решения задачи можно взять частичную сум- му ряда Фурье y N (x) = N X k=1 c k cos( µ k (3 − x)) + 4x − 3.5059. В табл. 6.2 приведены значения приближенного решения y 3 (x) в точ- ках x 0 , . . . , x 5 Таблица 6.2 x 0.7 0.92 1.14 1.36 1.58 1.8 y 3 (x) −0.6813 0.1793 0.9519 1.6831 2.4431 3.2784 y(x) −0.6732 0.1778 0.9473 1.6870 2.4452 3.2725 Для сравнения в таблице записаны значения функции y(x), полученные аналитическим методом в тех же точках. 7. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 7.1. Постановка начально-краевой задачи Дифференциальное уравнение вида ∂u ∂t = a 2 ∂ 2 u ∂x 2 + f (x, t) при 0 < x < l, t > 0 55 называется уравнением теплопроводности с учетом источников тепла (a 2 – константа). Такое уравнение описывает, например, изменение температуры тонкого стержня длины l с теплоизолированной поверхностью (см. [ 14 ]). Для того чтобы получить единственное решение, к уравнению тепло- проводности добавляют начальное и краевые условия. Начальное условие для уравнения теплопроводности состоит в задании значений функции u(x, t) в начальный момент времени t = 0: u(x, 0) = ϕ (x). Краевые условия задаются в точках x = 0 и x = l. Все краевые условия в типовом расчете являются линейными. Они могут быть описаны одним соотношением на соответствующей границе: R 1 ∂u(0, t) ∂x − S 1 u(0, t) = g 1 (t), R 2 ∂u(l, t) ∂x + S 2 (l, t) = g 2 (t). При R 1 = 0 (R 2 = 0) получается краевое условие первого рода, при S 1 = 0 (S 2 = 0) – краевое условие второго рода, а при R 1 S 1 6= 0 (R 2 S 2 6= 0) – условие третьего рода. Подробное изложение методов решения уравнения теплопроводности можно найти в учебном пособии [ 14 ]. 7.2. Решение краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье Рассмотрим начально-краевую задачу для одномерного уравнения теп- лопроводности. Пусть требуется найти функцию u(x, t), удовлетворяющую уравнению ∂u ∂t = a 2 ∂ 2 u ∂x 2 + f (x, t) при 0 < x < l, t > 0, начальному условию u(x, 0) = ϕ (x), краевым условиям R 1 ∂u(0, t) ∂x − S 1 u(0, t) = g 1 (t), R 2 ∂u(l, t) ∂x + S 2 u(l, t) = g 2 (t) (|R 1 | + |S 1 | 6= 0, |R 2 | + |S 2 | 6= 0). Решением поставленной задачи назовем функцию u(x, t), обладающую следующими свойствами: а) u(x, t) определена и непрерывна в области Ω = [0, l] × [0, T ]; б) u(x, t) удовлетворяет уравнению теплопроводности при 0 < x < l, t > 0; в) u(x, t) удовлетворяет начальному условию и краевым условиям. 56 Метод Фурье непосредственно применяется к задачам, в которых ис- комая функция удовлетворяет однородным краевым условиям (g 1 (t) ≡ 0 и g 2 (t) ≡ 0). Если краевые условия неоднородные, тогда сначала задачу сле- дует свести к задаче с однородными условиями. Для этого функцию u(x, t) представляют в виде u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), где w(x, t) – дифференцируемая функция, удовлетворяющая тем же крае- вым условиям, что и функция u(x, t): R 1 ∂w(0, t) ∂x − S 1 w(0, t) = g 1 (t), R 2 ∂w(l, t) ∂x + S 2 w(l, t) = g 2 (t). В этом случае функция v(x, t) будет удовлетворять однородным условиям. Выбор функции w(x, t) зависит от типа граничных условий. Для многих краевых задач функция w(x, t) может быть задана как линейная по пере- менной x: w(x, t) = α (t)x + β (t). Сумму функций v(x, t) + w(x, t) подставляют в дифференциальное уравнение и начальные условия, и всю краевую задачу записывают для функции v(x, t), которая удовлетворяет однородным краевым условиям. Задача сводится к нахождению функции v(x, t), удовлетворяющей уравне- нию ∂v ∂t = a 2 ∂ 2 v ∂x 2 + f v (x, t) при 0 < x < l, t > 0, (7.1) начальному условию v(x, 0) = ϕ v (x), (7.2) краевым условиям R 1 ∂v(0, t) ∂x − S 1 v(0, t) = 0, R 2 ∂v(l, t) ∂x + S 2 v(l, t) = 0, (7.3) где f v (x, t) = f (x, t) − ∂w(x, t) ∂t + a 2 ∂ 2 w ∂x 2 ; ϕ v (x) = ϕ (x) − w(x, 0). Далее для задачи с однородными краевыми условиями метод Фурье применяется по следующей схеме: 1. Для линейного дифференциального оператора второго порядка L x (u) = − ∂ 2 u ∂x 2 решают соответствующую задачу Штурма–Лиувилля: −y 00 (x) = λ y(x), 0 < x < l (y(x) 6≡ 0), R 1 y 0 (0) − S 1 y(0) = 0, R 2 y 0 (l) + S 2 y(l) = 0. В результате находят собственные числа { λ k } +∞ k=1 и систему собственных 57 функций {y k (x)} +∞ k=1 оператора краевой задачи. 2. Функцию v(x, t) представляют в виде ряда Фурье по собственным функциям {y k (x)} +∞ k=1 v(x, t) = +∞ X k=1 c k (t)y k (x). Однородные краевые условия (7.3) для v(x, t) при этом автоматически вы- полняются. Этот ряд подставляют в (7.1) и начальное условие (7.2), пред- варительно разложив функции f v (x, t) и ϕ v (x) в ряды Фурье по той же системе функций {y k (x)} +∞ k=1 . Далее, для коэффициентов c k (t) получают и решают задачи Коши. 3. Искомую функцию u(x, t) записывают в виде u(x, t) = w(x, t) + +∞ X k=1 c k (t)y k (x). 7.3. Метод сеток Метод сеток является методом приближенного решения дифференци- альных уравнений. Суть метода заключается в следующем. Область, в ко- торой неизвестная функция, являющаяся решением дифференциального уравнения, определена и непрерывна, покрывается сеткой, т. е. заменяет- ся конечным множеством точек, называемых узлами сетки. Все функции, входящие в дифференциальное уравнение, рассматриваются только в уз- лах сетки и называются сеточными функциями. При этом производные функций заменяются соответствующими разностными отношениями. На- чальные и краевые условия также заменяются разностными условиями. В итоге вместо краевой задачи для дифференциального уравнения получа- ется система алгебраических уравнений. Метод применяется в том случае, если при увеличении числа узлов сетки решение сеточной задачи сходится к решению исходной задачи для дифференциального уравнения. Естествен- но, при этом встают вопросы о скорости сходимости, точности и устойчи- вости разностной схемы. Покажем, как применяется метод сеток при решении начально-крае- вой задачи для одномерного уравнения теплопроводности. Пусть требуется найти решение уравнения теплопроводности ∂u ∂t = a 2 ∂ 2 u ∂x 2 + f (x, t), t > 0, 0 < x < l, (7.4) если функция u(x, t) удовлетворяет начальному условию u(x, 0) = ϕ (x) (7.5) 58 и краевым условиям R 1 ∂u(0, t) ∂x − S 1 u(0, t) = g 1 (t), R 2 ∂u(l, t) ∂x + S 2 u(l, t) = g 2 (t) (7.6) (|R 1 | + |S 1 | 6= 0, |R 2 | + |S 2 | 6= 0). Предположим, что переменная t меняется в пределах 0 ≤ t ≤ T . Об- ласть, в которой находится решение задачи, – это прямоугольник Ω = = [0, l] × [0, T ]. Покроем эту область сеткой разбив отрезок [0, l] точка- ми x 0 , x 1 , ..., x n на n частей. Для простоты будем считать, что расстояние h между точками одинаковое: h = x i+1 − x i = l n (i = 0, ..., n). Аналогич- но, отрезок [0, T ] разобьем на m частей точками t 0 , t 1 , ..., t m , при этом расстояние между точками будет τ = t j+1 − t j = T m (j = 0, ..., m) (рис. 7.1). x 0 x 1 x 2 x 3 x i x n−1 x n = l x t 1 t 0 t 2 t 3 t j t m−1 t t m = T • Рис. 7.1 Множество точек плоскости ω hτ = {(x i , t j )}, i = 0, ..., n, j = 0, ..., m, называется сеткой, покрывающей область Ω. Точки плоскости (x i , t j ) – это узлы сетки. При фиксированном j совокупность узлов сетки (x i , t j ), i = 0, ..., n, называется j-м временным слоем. Будем считать, что функ- ции f (x, t), ϕ (x), g 1 (t), g 2 (t) из условия задачи определены только в узлах сетки. Непрерывной в области Ω функции u(x, t) поставим в соответствие сеточную функцию u(x i , t j ) = u j i Заданное дифференциальное уравнение, начальное и краевые условия запишем в узлах сетки. При этом каждую производную заменим разност- ным отношением, связывающим значения сеточной функции в несколь- ких узлах сетки. Производную по времени ∂u ∂t в узле сетки (x i , t j ) можно заменить разностным выражением различными способами. Простейшими являются замены разностным отношением „вперед“ u j+1 i − u j i τ + O( τ ) ! 59 или „назад“ u j−1 i − u j i τ + O( τ ) ! . В зависимости от способа аппроксимации производных разностными отношениями получаются различные разност- ные схемы для уравнения теплопроводности. Явная разностная схема. Для узлов сетки (x i , t j ), i = 1, ..., n − 1, j = 0, ..., m − 1, запишем уравнение теплопроводности, заменив ∂u ∂t раз- ностным отношением „вперед“ u j+1 i − u j i τ + O( τ ), а ∂ 2 u ∂x 2 – разностным отно- шением u j i−1 − 2u j i + u j i+1 h 2 + O(h 2 ): u j+1 i − u j i τ + O( τ ) = a 2 u j i−1 − 2u j i + u j i+1 h 2 + O(h 2 ) + f (x i , t j ), i = 1, ..., n − 1, j = 0, ..., m − 1. Для нулевого временного слоя (x i , t 0 ), i = 0, ..., n, запишем начальное усло- вие u 0 i = ϕ (x i ), i = 0, ..., n. В граничных узлах сетки (x 0 , t j+1 ) и (x n , t j+1 ), j = 0, ..., m − 1, запишем краевые условия, заменив производные соответ- ствующими разностными отношениями: R 1 u j+1 1 − u j+1 0 h + O(h) − S 1 u j+1 0 = g 1 (t j+1 ), R 2 u j+1 n − u j+1 n−1 h + O(h) + S 2 u j+1 m = g 2 (t j+1 ). Считая, что погрешности аппроксимации O( τ ), O(h 2 ), O(h) в урав- нениях и граничных условиях малы, отбросим их. В результате получим систему уравнений относительно неизвестных ˜ u j i (приближенных значений функции u(x, t) в узлах сетки), которая называется явной разностной схе- мой для уравнения теплопроводности: ˜ u j+1 i − ˜ u j i τ = a 2 ˜ u j i−1 − 2˜ u j i + ˜ u j i+1 h 2 +f (x i , t j ), i = 1, ..., n−1, j = 0, ..., m−1, ˜ u 0 i = ϕ (x i ), i = 0, ..., n, R 1 ˜ u j+1 1 − ˜ u j+1 0 h − S 1 ˜ u j+1 0 = g 1 (t j+1 ), R 2 ˜ u j+1 n − ˜ u j+1 n−1 h + S 2 ˜ u j+1 n = g 2 (t j+1 ), j = 0, ..., m−1. 60 На рис. 7.2 указаны узлы сет- ки, которые используются при ап- проксимации производных, вхо- дящих в уравнение. Такой рису- нок принято называть шаблоном схемы. Данная разностная схема является четырехточечной двух- слойной. Схема называется яв- ной, поскольку значения искомой функции ˜ u j+1 i на (j + 1)-м времен- (x i−1 , t j ) (x i , t j ) (x i+1 , t j ) (x i , t j+1 ) • • • • Рис. 7.2 ном слое можно последовательно в явном виде определить, если извест- ны значения ˜ u j i на j-м временном слое. Для этого полученные уравнения преобразуем к виду, удобному для вычислений: ˜ u j+1 i = ˜ u j i + τ a 2 ˜ u j i−1 − 2˜ u j i + ˜ u j i+1 h 2 + f (x i , t j ) ! , i = 1, 2, ..., n − 1, ˜ u j+1 0 = R 1 R 1 + S 1 h ˜ u j+1 1 − h R 1 + S 1 h g 1 (t j+1 ), ˜ u j+1 n = R 2 R 2 + S 2 h ˜ u j+1 n−1 + h R 2 + S 2 h g 2 (t j+1 ), ˜ u 0 i = ϕ (x i ), i = 0, ..., n. (7.7) Сначала находятся значения ˜ u 0 i = u 0 i = ϕ (x i ), i = 0, ..., n, на нулевом слое. Затем последовательно определяются значения ˜ u j+1 i на всех времен- ных слоях. Справедливы следующие утверждения. Утверждение 7.1. Если τ ≤ h 2 2a 2 , то явная разностная схема (7.7) устойчива по начальным данным и правой части, т. е. k˜ uk h,τ ≤ C(k ϕ k h + kf k h,τ ), где C не зависит от h и τ Утверждение 7.2. Явная разностная схема (7.7) аппроксимирует задачу для уравнения теплопроводности (7.4) с краевыми условиями (7.6) с погрешностью O(h 2 ) + O( τ ). Утверждение 7.3. При τ ≤ h 2 2a 2 явная разностная схема (7.7) схо- дится в сеточной норме к решению задачи (7.4), (7.5) с краевыми услови- ями (7.6). 61 Доказательство данных утверждений (в частном случае) можно найти в пособии [ 12 ]. Устойчивость явной разностной схемы наблюдается только при вы- полнении условия τ ≤ h 2 2a 2 . В противном случае явная разностная схема не пригодна для вычислений. В случае a 2 = 1 условие устойчивости записы- вается в виде τ ≤ h 2 2 Неявная разностная схема. Построим для задачи (7.4)–(7.6) неяв- ную разностную схему. Для внутренних узлов сетки запишем уравнение теплопроводности, заменив ∂u(x i , t j ) ∂t разностным отношением „назад“ u j i − u j−1 i τ + O( τ ), а ∂ 2 u(x i , t j ) h 2 τ ∂x 2 , как и для явной схемы, разностным от- ношением u j i−1 − 2u j i + u j i+1 h 2 + O(h 2 ): u j i − u j−1 i τ + O( τ ) = a 2 u j i−1 − 2u j i + u j i+1 h 2 + O(h 2 ) + f (x i , t j ), i = 1, ..., n − 1, j = 1, ..., m. Для слоя (x i , t 0 ) запишем начальное условие: u 0 i = ϕ (x i ), i = 0, ..., n, а для граничных узлов – краевые условия: R 1 u j 1 − u j 0 h + O(h) − S 1 u j 0 = g 1 (t j ), R 2 u j n − u j n−1 h + O(h) + S 2 u j n = g 2 (t j ), j = 1, ..., m. Отбросив в уравнениях неизвестные погрешности O(h), O( τ ), O(h 2 ), получим систему относительно приближенных значений ˜ u j i искомой функ- ции в узлах сетки: ˜ u j i − ˜ u j−1 i τ = a 2 ˜ u j i−1 − 2˜ u j i + ˜ u j i+1 h 2 + f (x i , t j ), i = 1, ..., n − 1, j = 1, ..., m, начальное условие ˜ u 0 i = u 0 i = ϕ (x i ), i = 0, ..., n, 62 краевые условия: R 1 ˜ u j 1 − ˜ u j 0 h − S 1 ˜ u j 0 = g 1 (t j ), R 2 ˜ u j n − ˜ u j n−1 h + S 2 ˜ u j n = g 2 (t j ), j = 1, ..., m. Построенная разностная схема, как и явная, является четырехточеч- ной двухслойной разностной схемой. Ее шаблон изображен на рис. 7.3. Схема называется неяв- ной, поскольку значения функ- ции ˜ u j i в данном случае не мо- гут быть вычислены последо- вательно через значения функ- ции на (j − 1)-м временном слое. Для их нахождения на каждом временном слое следу- ет решать систему уравнений (x i−1 , t j ) (x i , t j ) (x i+1 , t j ) (x i , t j−1 ) • • • • Рис. 7.3 −(R 1 + S 1 h)˜ u j 0 + R 1 ˜ u j 1 = hg 1 (t j ), ˜ u j i−1 − (2 + h 2 τ a 2 )˜ u j i + ˜ u j i+1 = − h 2 τ a 2 ˜ u j−1 i − h 2 f (x i , t j ), i = 1, ..., n − 1, −R 2 ˜ u j n−1 + (R 2 + S 2 h)˜ u j n = hg 2 (t j ). (7.8) Значение ˜ u 0 i для нулевого временного слоя определяется из начального условия ˜ u 0 i = ϕ (x i ) (i = 0, ..., n). Систему уравнений для j-го временного слоя удобно записать в мат- ричном виде |