ТР_BM_2018. Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2018
 Скачать 0.49 Mb.
|
, ∂ 2 f (x, y) ∂x∂y = 3x 2 + 4xy = ∂ 2 f (x, y) ∂y∂x = 3x 2 + 4xy, ∂ 2 f (x, y) ∂y 2 = 2x 2 + 6y. • Определение 4.4. Если функция f (x, y) имеет в точке (x 0 , y 0 ) все частные производные второго порядка, то квадратная матрица H(x 0 , y 0 ) = ∂ 2 f (x 0 , y 0 ) ∂x 2 ∂ 2 f (x 0 , y 0 ) ∂x∂y ∂ 2 f (x 0 , y 0 ) ∂y∂x ∂ 2 f (x 0 , y 0 ) ∂y 2 называется матрицей Гессе функции f в точке (x 0 , y 0 ). 34 Следствие 4.1. В условиях теоремы 4.1 матрица Гессе − симмет- рична. 4.3. Локальные экстремумы функций двух вещественных переменных Определение 4.5. Если (x 0 , y 0 ) – внутренняя точка области опре- деления функции f : D ⊂ R 2 → R и существует такая проколотая окрестность ◦ K δ (x 0 , y 0 ) ⊂ D точки (x 0 , y 0 ), что для всех (x, y) ∈ ∈ ◦ K δ (x 0 , y 0 ) справедливо неравенство f (x, y) < f (x 0 , y 0 ) (f (x, y) > > f (x 0 , y 0 )), то точка (x 0 , y 0 ) называется точкой локального максиму- ма (локального минимума) функции f . Принято говорить, что (x 0 , y 0 ) – точка локального экстремума f , если точка (x 0 , y 0 ) – точка локального максимума или локального минимума. Определение 4.6. Если (x 0 , y 0 ) – внутренняя точка области опре- деления функции f : D ⊂ R 2 → R , в которой существуют частные производные ∂f ∂x , ∂f ∂y и ∂f (x 0 , y 0 ) ∂x = 0, ∂f (x 0 , y 0 ) ∂y = 0, то точка (x 0 , y 0 ) называется стационарной точкой функции f . Теорема 4.2. (Необходимое условие экстремума) Если точка (x 0 , y 0 ) – точка локального экстремума f и функция f (x, y) определе- на и имеет в некоторой окрестности K δ ((x 0 , y 0 )) частные производные ∂f (x, y) ∂x и ∂f (x, y) ∂y , то точка (x 0 , y 0 ) является стационарной точкой функции f . Заметим, что точка (x 0 , y 0 ) может быть точкой локального экстремума f , даже если частные производные ∂f ∂x и ∂f ∂y не существуют в точке (x 0 , y 0 ). Пример. 4.3. Пусть f (x, y) = x 2/3 + y 2/3 , тогда при x 6= 0 и y 6= 0 частные производные ∂f (x, y) ∂x = 2 3x 1/3 , ∂f (x, y) ∂y = 2 3y 1/3 определены при (x, y) ∈ R 2 \ {(0, 0)} и не существуют в точке (0, 0). Но очевидно, что точка (0, 0) – точка строгого локального минимума функции f. • Отметим, что в ТР подобные ситуации исключены. Определение 4.7. Квадратичная форма (H X, X) и ее матрица H называются положительно (отрицательно) определенными, если для лю- бого X 6= 0 выполняется условие (H X, X) > 0 ((H X, X) < 0). Квадра- тичная форма (H X, X) и ее матрица H называются знакопеременными, 35 если (H X, X) может принимать как положительные, так и отрица- тельные значения. Матрица H будет положительно (отрицательно) определенной, если все собственные числа матрицы λ i > 0 ( λ i < 0). Матрица H является зна- копеременной, если среди ее собственных чисел есть как положительные, так и отрицательные (см. [ 9 ], 3.2). Теорема 4.3. (Достаточное условие экстремума) Пусть функ- ция f (x, y) определена в точке (x 0 , y 0 ), имеет в некоторой ее окрестно- сти K δ ((x 0 , y 0 )) все частные производные второго порядка, непрерывные в точке (x 0 , y 0 ), и точка является стационарной точкой функции f . Тогда: 1) если матрица Гессе функции f в точке (x 0 , y 0 ) положительно определенная (оба собственных числа матрицы положительны), то точ- ка (x 0 , y 0 ) – точка локального минимума функции f ; 2) если матрица Гессе функции f в точке (x 0 , y 0 ) отрицательно опре- деленная (оба собственных числа матрицы отрицательны), то (x 0 , y 0 ) − точка локального максимума функции f ; 3) если матрица Гессе функции f в точке (x 0 , y 0 ) знакопеременная (собственные числа матрицы Гессе имеют противоположные знаки), то функция f не имеет в точке (x 0 , y 0 ) локального экстремума. 4.4. Типовой расчет по теме „Экстремумы функций двух переменных“ (ТР 2.5) Студентам выдаются индивидуальные задания следующего вида: ТР 2.5. Вар. 0. Найти стационарные точки функции f (x, y) и исследовать функцию на экстремум: f (x, y) = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + 5y 3 − 108x − 120y + 7. Пример выполнения ТР 2.5. Вар. 0. 1. Найдем стационарные точки. Для этого найдем частные производ- ные функции f (x, y): ∂f (x, y) ∂x = 3x 2 + 6xy + 3y 2 − 108 и ∂f (x, y) ∂y = 3x 2 + 6xy + 15y 2 − 120. 36 Согласно определению 4.6 точка (x, y) – стационарная, если ∂f (x, y) ∂x = 0, ∂f (x, y) ∂y = 0. В этом примере система имеет вид: ( 3x 2 + 6xy + 3y 2 − 108 = 0, 3x 2 + 6xy + 15y 2 − 120 = 0. Разделим оба равенства на 3 и вычтем первое уравнение из второго. Полу- чим равносильную систему: ( y 2 = 1, x 2 + 2xy + y 2 − 36 = 0, которая, в свою очередь, равносильна двум системам уравнений: ( y = 1, x 2 + 2xy + y 2 = 36 и ( y = −1, x 2 + 2xy + y 2 = 36. Подставляя значение y во второе уравнение, получим ( y = 1, x 2 + 2x − 35 = 0 и ( y = −1, x 2 − 2x − 35 = 0. Решая эти системы, получим 4 стационарные точки: P 1 (−7, 1), P 2 (5, 1), P 3 (7, −1) и P 4 (−5, −1). 2. Найдем частные производные второго порядка: ∂ 2 f (x, y) ∂x 2 = 6x + 6y = 6(x + y), ∂ 2 f (x, y) ∂y∂x = ∂ 2 f (x, y) ∂x∂y = 6x + 6y = 6(x + y), и ∂ 2 f (x, y) ∂y 2 = 6x + 30y = 6(x + 5y). Для того чтобы исследовать стационарные точки на экстремум, по- смотрим, какой вид имеет матрица Гессе в каждой из них: 37 H(P 1 ) = ∂ 2 f (−7, 1) ∂x 2 ∂ 2 f (−7, 1) ∂x∂y ∂ 2 f (−7, 1) ∂y∂x ∂ 2 f (−7, 1) ∂y 2 = " −36 −36 −36 −12 # Найдем собственные числа матрицы решив характеристическое уравнение (−36 − λ )(−12 − λ ) − (−36) 2 = 0, или λ 2 + 48 λ − 864 = 0. Получаем 2 решения: λ 1 = −48 − √ 5760 2 ≈ −61, 947 и λ 2 = −48 + √ 5760 2 ≈ 13, 947. Собственные числа матрицы Гессе H(P 1 ) имеют разные знаки, следова- тельно, матрица является знакопеременной и по теореме 4.3 функция f не имеет в точке P 1 (−7, 1) локального экстремума. Вычислим значение функ- ции в точке P 1 f (−7, 1) = 431. Надо заметить, что знаки собственных чисел можно определить, и не решая квадратное уравнение. Используя теорему Виета, получаем ( λ 1 + λ 2 = −48, λ 1 λ 2 = −864. Так как произведение собственных чисел отрицательно, значит, они име- ют разные знаки, и матрица Гессе H(P 1 ) является знакопеременной. При исследовании других стационарных точек будем использовать этот метод, поскольку он менее трудоемкий; H(P 2 ) = ∂ 2 f (−5, −1) ∂x 2 ∂ 2 f (−5, −1) ∂x∂y ∂ 2 f (−5, −1) ∂y∂x ∂ 2 f (−5, −1) ∂y 2 = " −36 −36 −36 −60 # Характеристическое уравнение для нахождения собственных чисел имеет вид (36 − λ )(60 − λ ) − (36) 2 = 0, 38 или λ 2 − 96 λ + 864 = 0. По теореме Виета ( λ 1 + λ 2 = 96, λ 1 λ 2 = 864. Произведение собственных чисел положительно, следовательно, собствен- ные числа имеют один и тот же знак. Но поскольку их сумма тоже по- ложительна, то оба собственных числа положительны. Это значит, что матрица Гессе H(P 2 ) положительно определенная и по теореме 4.3 функ- ция f имеет локальный минимум в точке P 2 (5, 1). Вычислим его значение: f (5, 1) = −433; H(P 3 ) = ∂ 2 f (7, −1) ∂x 2 ∂ 2 f (7, −1) ∂x∂y ∂ 2 f (7, −1) ∂y∂x ∂ 2 f (7, −1) ∂y 2 = " 36 36 36 12 # Характеристическое уравнение для нахождения собственных чисел имеет вид (36 − λ )(12 − λ ) − (36) 2 = 0, или λ 2 − 48 λ − 864 = 0. По теореме Виета ( λ 1 + λ 2 = 48, λ 1 λ 2 = −864. Так как произведение собственных чисел отрицательно, они имеют разные знаки и матрица Гессе H(P 3 ) является знакопеременной. По теореме 4.3 функция f не имеет в точке P 3 (7, −1) локального экстремума. Вычислим значение функции в точке P 3 f (7, −1) = −459; H(P 4 ) = ∂ 2 f (−5, −1) ∂x 2 ∂ 2 f (−5, −1) ∂x∂y ∂ 2 f (−5, −1) ∂y∂x ∂ 2 f (−5, −1) ∂y 2 = " −36 −36 −36 −60 # Характеристическое уравнение для нахождения собственных чисел имеет вид (−36 − λ )(−60 − λ ) − (−36) 2 = 0, 39 или λ 2 + 96 λ + 864 = 0. По теореме Виета ( λ 1 + λ 2 = −96, λ 1 λ 2 = 864. Произведение собственных чисел положительно, следовательно, собствен- ные числа имеют один и тот же знак. Но их сумма отрицательна, значит, оба собственных числа отрицательны и матрица Гессе H(P 4 ) отрицатель- но определенная. По теореме 4.3 функция f имеет локальный максимум в точке P 4 (−5, −1). Вычислим его значение: f (−5, −1) = 447. Ответ: P 1 (−7, 1), P 3 (7, −1) − стационарные точки, в которых функ- ция f не имеет экстремума и f (−7, 1) = 431, f (7, −1) = −459; P 2 (5, 1) − точка локального минимума, f (5, 1) = −433; P 4 (−5, −1) − точка локального максимума, f (−5, −1) = 447. 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Для выполнения типового расчета необходимо знать числовые харак- теристики и свойства непрерывной случайной величины. 5.1. Непрерывная случайная величина Пусть множество элементарных событий Ω = R Определение 5.1. Случайная величина ξ называется непрерывной, если существует функция f (x), удовлетворяющая условиям: 1) f (x) ≥ 0 для любого x ∈ R ; 2) +∞ R −∞ f (x)dx = 1, такая, что для любого множества A ⊂ R P ( ξ ∈ A) = Z A f (x)dx. При этом функция f (x) называется плотностью распределения случай- ной величины ξ Будем рассматривать только такие случайные величины, для кото- рых плотность распределения кусочно непрерывна. Вероятность попада- ния непрерывной случайной величины на промежуток [a, b] ((a, b), [a, b), 40 (a, b]) находится по правилу P ( ξ ∈ [a, b]) = b Z a f (x) dx. Очевидно, что вероятность того, что такая случайная величина при- мет конкретное значение x ∈ R , равна 0: P ( ξ = x) = 0. Поэтому обычно говорят о вероятности попадания непрерывной случайной величины на ин- тервал. Определение 5.2. Функцией распределения непрерывной случайной величины ξ называется функция F (x) = P ( ξ < x) = x Z −∞ f (t)dt, x ∈ R, определенная на всей вещественной оси. Свойства функции распределения: 1) 0 ≤ F (x) ≤ 1; 2) F (x) – неубывающая функция; 3) lim x→−∞ F (x) = 0, lim x→+∞ F (x) = 1; 4) F (x) – непрерывная функция, и во всех точках непрерывности плот- ности f (x) выполняется равенство (F (x)) 0 = f (x). Свойства 1, 2 непосредственно следуют из определения и того факта, что вероятность всегда неотрицательна и не превосходит 1. Свойства 3, 4 доказаны в пособиях [ 6 ] и [ 7 ]. Зная функцию распределения можно найти вероятность попадания случайной величины ξ на любой промежуток вида [a, b): P ( ξ ∈ [a, b)) = F (b) − F (a). Если построить график плотности распределения непрерывной слу- чайной величины ξ , то площадь под графиком будет равна 1. Вероятность того, что случайная величина попадет на интервал [a, b], равна площади криволинейной трапеции под графиком плотности в пределах промежутка [a, b]. 41 5.2. Числовые характеристики случайной величины и их свойства Определение 5.3. Математическим ожиданием непрерывной слу- чайной величины ξ называется число M ( ξ ) = +∞ Z −∞ xf (x)dx. Математическое ожидание существует, если этот интеграл сходится абсо- лютно. В противном случае говорят, что случайная величина ξ не имеет математического ожидания. Пусть φ (x) – некоторая функция. Математическое ожидание случай- ной величины η = φ ( ξ ) находится по правилу M ( η ) = +∞ Z −∞ φ (x)f (x)dx. Пусть ξ и η – случайные величины. Перечислим некоторые свойства математического ожидания: 1) если ξ ≡ C – константа, то M (C) = C; 2) M (C ξ ) = CM ( ξ ) (C – константа); 3) M ( ξ + η ) = M ( ξ ) + M ( η ); 4) если случайные величины ξ и η независимы, то M ( ξη ) = M ( ξ )M ( η ). Определение 5.4. Дисперсией D( ξ ) непрерывной случайной величи- ны ξ называется число, равное математическому ожиданию квадрата отклонения ξ от ee математического ожидания: D( ξ ) = M (( ξ − M ξ ) 2 ) = +∞ Z −∞ (x − M ξ ) 2 f (x)dx. (5.1) Из свойств математического ожидания следует, что формула (5.1) эк- вивалентна следующей: D( ξ ) = M ( ξ 2 ) − (M ( ξ )) 2 = +∞ Z −∞ x 2 f (x)dx − (M ( ξ )) 2 Дисперсия существует, если этот интеграл сходится абсолютно. В про- тивном случае говорят, что случайная величина ξ не имеет дисперсии. Свойства дисперсии: 1) D( ξ ) ≥ 0; 42 2) D(C) = 0 (C – константа); 3) D(C ξ ) = C 2 D( ξ ) (C – константа); 4) D( ξ + C) = D( ξ ) (C – константа); 5) если случайные величины ξ и η независимы, то D( ξ + η ) = D( ξ )+ +D( η ). Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной вели- чины ξ , поэтому в качестве характеристики разброса значений удобнее ис- пользовать другую числовую характеристику – среднее квадратичное от- клонение. Определение 5.5. Средним квадратическим отклонением случай- ной величины называется квадратный корень из дисперсии: σ ξ = p D( ξ ). 5.3. Типовой расчет по теме „Числовые характеристики непрерывной случайной величины“ (ТР 4.1) Студентам выдаются индивидуальные задания следующего вида: ТР 4.1. Вар. 0. f 1 (x) [ a 1 , b 1 ] f 2 (x) [ a 2 , b 2 ] η = ϕ ( ξ ) −4x [ −a/2, 0 ] x/4 [ 0, 2a ] η = −6 ξ + 4 Требуется: 1. Для кусочно-непрерывной функции f (x) = 0, x < a 1 , f 1 (x), x ∈ [a 1 , b 1 ), f 2 (x), x ∈ [a 2 , b 2 ], 0, x > b 2 (b 1 = a 2 ) найти значение параметра a, при котором f (x) является плотно- стью распределения непрерывной случайной величины ξ 2. Найти функцию распределения случайной величины ξ 3. Построить графики плотности и функции распределения ξ 4. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадра- тическое отклонение случайной величины ξ 5. Вычислить вероятность P ( ξ ∈ [M ( ξ ) − 3 σ ξ ; M ( ξ ) + 3 σ ξ ]) . 6. Для случайной величины η = a ξ + b вычислить математическое ожидание и дисперсию. 43 Пример выполнения типового расчета ТР 4.1. Вар. 0. 1. Учитывая свойства плотности распределения случайной величины ξ , найдем значение параметра a: − 0 Z −a/2 4x dx + 2a Z 0 x 4 dx = −2x 2 0 −a/2 + x 2 8 2a 0 = a 2 2 + a 2 2 = a 2 = 1, следовательно, a = 1 и плотность распределения ξ имеет вид f (x) = 0, x < − 1 2 , −4x, x ∈ − 1 2 , 0 , x 4 , x ∈ [ 0, 2 ], 0, x > 2. 2. Найдем функцию распределения F (x): при x < 1 2 : F (x) = 0, при x ∈ − 1 2 , 0 : F (x) = x Z −1/2 −4t dt = −2t 2 x −1/2 = −2x 2 + 1 2 , при x ∈ [ 0, 2 ] : F (x) = 1 2 + x Z 0 t 4 dt = 1 2 + t 2 8 x 0 = 1 2 + x 2 8 , при x ≥ 2 : F (x) = 1. Тогда F (x) = 0, x < − 1 2 , −2x 2 + 1 2 , x ∈ − 1 2 , 0 , 1 2 + x 2 8 , x ∈ [ 0, 2 ), 1, x ≥ 2. 3. Построим графики плотности распределения f (x) (рис. 5.1) и функ- ции распределения F (x) (рис. 5.2) случайной величины ξ 44 |