Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2008
 Скачать 373.42 Kb.
|
|
k = lim x→−∞ f 1 (x) x = lim x→−∞ −2 (x + 3) 2/3 + (x + 3) x = = lim x→−∞ −2(x + 3) x (x + 3) −1/3 + 1 = = lim x→−∞ −2 1 + 3 x 1 3 √ x + 3 + 1 = −2, b = lim x→−∞ (f 1 (x) − kx) = lim x→−∞ −2 (x + 3) 2/3 + (x + 3) + 2x = = lim x→−∞ −2(x + 3) 2/3 − 2x − 6 + 2x = lim x→−∞ −2(x + 3) 2/3 − 6 = −∞. Второй предел ,бесконечен, следовательно, левой наклонной асимптоты нет. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции f 1 Чтобы найти интервал монотонности функции, следует, согласно тео- реме 1.5 , найти интервал знакопостоянства ее производной. Для этого вы- числим f 1 (x): f 1 (x) = −2 2 3 (x + 3) −1/3 + 1 = −2 2 3 3 √ x + 3 + 1 Найдем точку x 1 такую, что производная f 1 (x) при переходе через x 1 ме- няет знак. Для этого следует решить уравнение f 1 (x 1 ) = 0, то есть 2 3 3 √ x 1 + 3 + 1 = 0, 2 + 3 3 √ x 1 + 3 = 0, 11 3 √ x 1 + 3 = − 2 3 , x 1 + 3 = − 8 27 Таким образом, x 1 = −3 − 8 27 ∼ = −3.296. Заметим, что точка x 2 = −3 принадлежит области D(f 1 ), но в этой точке производной f 1 (x) не существует. Согласно определению 1.9 точки x 1 ≈ −3.296 и x 2 = −3 являются критическими точками. В результате область D(f 1 ) разбивается на три интервала (−∞, x 1 ), (x 1 , −3), (−3, −2). Определим знак f 1 (x) в каждом из этих интервалов. Для этого выберем какую-либо пробную точку внутри каждого интервала и вычислим зна- чения производной f 1 (x) в этих точках. Знак значения f 1 (x) и есть знак производной на соответствующем интервале. Например, для интервала (−∞, x 1 ) выберем x = −11 и вычислим f 1 (11) = −2 2 3 3 √ −8 + 1 = −1 1 3 < 0. Следовательно, на интервале (−∞, x 1 ) производная f 1 (x) < 0 и в соот- ветствии с утверждением теоремы 1.7 функция f 1 (x) на этом интервале убывает. Для интервала (x 1 , −3) выберем точку x = −3.1. Вычислим f 1 (−3.1) = −2 2 3 3 √ −0.1 + 1 ∼ = 0.873 > 0. Таким образом, на интервале (x 1 , −3) производная f 1 (x) > 0 и функция f 1 (x) на этом интервале возрастает. Так как f (x 1 ) = 0, то f (x) меняет знак с “−” на “+” при переходе через точку x 1 и, следовательно, в соответствии с теоремой 1.7 , x 1 есть точка минимума. Определим знак производной f 1 (x) на интервале (−3, −2). Так как при −3 < x < 2 выражение 3 √ x + 3 > 0, то f 1 (x) < 0 и, следовательно, функция f 1 (x) строго убывает. Производная f 1 (x) при переходе через точку x 2 = −3 меняет знак с “+” на “−”, значит точка x 2 = −3 есть точка максимума. Вспомним, что f (x) есть тангенс угла наклона касательной к графи- ку функции в точке x. Производная f (−3) не существует, следовательно, касательная в этой точке вертикальна. Таким образом, в точке x 1 = −3 имеет место „острый максимум“. Найдем точки пересечения графика функции f 1 (x) с осями координат. Область D(f 1 ) не включает точку x = 0 и, следовательно, график функции f 1 (x) с осью 0y не пересекается. 12 Чтобы найти точки пересечения графмка f 1 (x) с осью 0x следует ре- шить уравнение f 1 (x) = 0 т.е. −2 3 (x + 3) 2 + (x + 3) = 0, 3 (x + 3) 3 = −(x + 3), (x + 3) 2 = −(x + 3) 3 , (x + 3) 2 (1 + x + 3) = 0, x = −3, x = −4. Нули функции f 1 (x), точками x = −3 и x = −4 ризбивают D(f 1 ) на сле- дующие промежутки: (−∞, −4), (−4, −3), (−3, −2). Исследуем знаки функции f 1 (x). Установили, что lim x→−∞ f 1 (x) = +∞ и что на интервале (−∞, x 1 ≈ −3.296) функция f 1 (x) убывает. Поэтому на интервале (−∞, −4) ⊂ (−∞, x 1 ) функция f 1 положительна, а на интервале (−4, −3) – отрицательна. На интервале (−3, −2) функция f 1 (x) убывает, но f 1 (−3) = 0 и, следовательно, она отрицательна. Вычислим предельное значение функции в точке x = −2 слева, т.е. lim x→−2−0 f 1 (x) = lim x→−2−0 −2 3 (x + 3) 2 + (x + 3) = −4. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции f 1 Для этого, согласно теореме 1.11 , следует найти интервалы знакопостоян- ства второй производной функции f 1 (x): f 1 (x) = −2 2 3 (x + 3) −1/3 + 1 = 4 9 (x + 3) −4/3 = 4 9 1 3 (x + 3) 4 В точке x = −3 второй производной f 1 (−3) не существует. Следова- тельно, точка (x = −3) является подозрительной на перегиб. Других точек, подлежащих исследованию на перегиб нет. Таким образом, точка x = −3 разбивает область D(f 1 ) на два промежутка (−∞, −3) и (−3, −2). В этих промежутках f 1 (x) > 0, т. е. функция f 1 (x) выпукла вниз. При переходе через точку x = −3 вторая производная f (x) не меняет знак. Согласно теореме 1.11 эта точка не является точкой перегиба. Результаты проведенного исследования удобно свести в таблицу. 13 Таблица 1.1 x (−∞, −4) −4 (−4, x 1 ) x 1 ≈ −3.296 y + 0 − −0.296 y − − − 0 y + + + + Вып. нуль min x (x 1 , −3) −3 (−3, −2) −2 y − 0 − −4 y + не сущ. − − y + не сущ. + + Вып. нуль, остр. max С помощью этой траблицы строится график функции f 1 (x), эскиз ко- торой приведен на рис. 1.1. 2. Исследование функции f 2 (x) Функция f 2 (x) = 7x 3 + 38x 2 + 75x + 50 задана на области определения D(f 2 ) = [−2, −1]. Поскольку функция f 2 (x) есть многочлен 3-й степени, она непрерыв- ной на всей числовой оси. В силу конечности D(f 2 ) наклонных асимптот быть не может. Нет и вертикальных асимптот. Найдем интервалы монотонности функции f 2 . Для этого исследуем поведение производной f 2 (x) f 2 (x) = 21x 2 + 76x + 75. Дискриминант D = 76 2 − 4 · 21 · 75 = −524 отрицательный, следовательно, вещественных корней нет, как нет и точек экстремума. Так как коэффи- циент при x 2 положительный, то f 2 (x) > 0 и, следовательно, f 2 (x) строго возрастет. Вычислим значения f 2 (x) на концах этого отрезка: f 2 (−2) = −7 · 8 + 38 · 4 − 75 · 2 + 50 = −4, f 2 (−1) = −7 + 38 − 75 + 50 = 6. Выяснили, что f 2 (x) в области D(f 2 ) строго возрастает и принимает значе- ния противоположных знаков на концах отрезка [−2, −1]. Согласно теоре- ме 1.12 существует по крайней мере одна точка x 2 ∈ (−2; −1), такая, что f 2 (x 2 ) = 0 и в силу строгой монотонности функции f 2 на этом интерва- ле можно утверждать, что такая точка единственная. Найдем приближен- ное значение корня уравнения f 2 (x) = 0 с заданной точностью ε = 0.01, используя алгоритм половинного деления. Первоначально следует опреде- лить необходимое число делений отрезка [−2, −1] по формуле (1.1) N = log 2 b − a ε = log 2 1 0.01 = log 2 100 = 6.644 = 7. 14 Для проведения вычислений по алгоритму целесообразно промежуточные результаты записывать в таблицу (см. таблицу 1.2). Таблица 1.2 n a b a + b 2 f (a) f (b) f a + b 2 1 −2 −1 −1.5 −4 6 −0.625 2 −1.5 −1 −1.25 −0.625 6 1.953 3 −1.5 −1.25 −1.375 −0.625 1.953 0.522 4 −1.5 −1.375 −1.438 −0.625 0.522 −0.082 5 −1.438 −1.375 −1.406 −0.082 0.522 0.211 6 −1.438 −1.406 −1.422 −0.082 0.211 0.063 7 −1.438 −1.422 −1.430 −0.082 0.063 −0.010 Следует обратить внимание, что знаки чисел в графах f (a) и f (b) не изменяются и противоположны. Приближенное значение корня x 2 уравнения f 2 (x) = 0 находим в по- следней строке таблицы 1.2 в графе a + b 2 , т. е. x 2 ≈ −1.43. Модуль разно- сти между точным значением x 2 нуля функции f 1 (x) и его приближенным значением (−1.43) не превосходит ε = 0.01, т. е. | − 1.43 − x 2 | < ε. Точка x 2 разбивает область D(f 2 ) на два промежутка [−2, x 2 ) и (x 2 , −1] так, что на правом промежутке функция f 2 (x) < 0, а на левом f 2 (x) > 0. Для определения интервалов выпуклости вычислим вторую производ- ную функции f 2 (x) f 2 (x) = (21x 2 + 76x + 75) = 42x + 76. Найдем точки подозрительные на перегиб. Для этого решим уравнение f 2 (x) = 0 т. е. 42x + 76 = 0. Отсюда имеем, что корень этого уравнения есть x 3 ≈ −1.809. Точка x 3 делит область D(f 2 ) на два промежутка [−2; x 3 ) и (x 3 ; −1], причем на пер- вом промежутке f 2 (x) < 0, а на втором f 2 (x) > 0. Отсюда, в соответствии с теоремой 1.11 , следует, что x 3 есть точка перегиба. Сведем результаты исследования функции f 2 (x) в таб. 1.3. Таблица 1.3 x −2 (−2; x 3 ) x 3 ≈ −1.809 (x 3 ; x 2 ) x 2 ≈ −1.43 (x 2 ; −1] −1 y −4 − −2.76 − 0 + 6 y + + + + + + + y − − 0 + + + + Вывод т. перегиба нуль 15 С помощью этой таблицы строится график функции f 2 (x). Эскиз этого графика приведен на рис. 1.1. 3. Исследование функции f 3 (x). В соответствии с заданием функция f 3 (x) = − 2(x − 2) 2 (x + 1) 2 задана в об- ласти D(f 3 ) = (−1, +∞). Чтобы выяснить поведение f 3 на плюс бесконеч- ности, вычислим lim x→+∞ f 3 (x) = lim x→+∞ −2 (x − 2) 2 (x + 1) 2 = 2. Функция f 3 (x) в соответствии с теоремой 1.2 и предложением 1.2 является непрерывной. Рассмотрим поведение функции f 3 (x) в окрестности левой границы области. Для этого вычислим lim x→−1+0 f 3 (x) = −2 lim x→−1+0 (x − 2) 2 (x + 1) 2 = −∞. Следовательно, функция терпит разрыв 2-го рода в точке x = −1 и имеет вертикальную асимптоту x = −1 (см. определение 1.5 ). Область D(f 3 ) неограниченна справа, поэтому имеет смысл проверить наличие правой наклонной асимптоты у графика функции y = f 3 (x). Следуя теореме 1.5 , вычисляем пределы k = lim x→+∞ f 3 (x) x = −2 lim x→+∞ (x − 2) 2 x(x + 1) 2 = 0, b = lim x→+∞ (f 3 (x) − kx) = −2 lim (x − 2) 2 (x + 1) 2 = −2. Так как оба предела конечны, то график функции f 3 имеет правую гори- зонтальную асимптоту y = −2. Для определения интервалов монотонности функции f 3 (x) вычислим производную f 3 (x) и найдем интервалы знакопостоянства (см. теорему 1.7 ): f (x) = −2 (x − 2) 2 (x + 1) 2 = −2 2(x − 2)(x + 1) 2 − 2(x − 2) 2 (x + 1) (x + 1) 4 = = −12 x − 2 (x + 1) 3 Очевидно, f 3 (x) имеет единственный нуль x = 2 и таким образом, область D(f 3 ) разбивается на два промежутка монотонности (−1, 2) и (2, +∞). На 16 первом промежутке −2 < x < 2 производная f 3 (x) > 0 и, следовательно, функция f 3 (x) на этом промежутке возрастает. На втором промежутке 2 < x < +∞ производная f 3 (x) < 0 и функция убывает. Так как f 3 (x) при переходе через точку x = 2 меняет знак с “+” на “−”, то, согласно теореме 1.8 , можно утверждать, что x = 2 есть точка максимума. Найдем точки пересечения графика функции f 3 (x) с осями координат. Так как точка x = 0 лежит в области D(f 3 ), то график функции f 3 (x) пересекает ось 0y. Найдем эту точку (0; f (0)). Так как f 3 (0) = −2 (−2) 2 1 2 = −8, то точка пересечения графика функции с осью ординат имеем координаты (0, −8). Точки пересечения графика f 3 (x) с осью 0x найдем, решая урав- нение f 3 (x) = 0 или −2 (x − 2) 2 (x + 1) 2 = 0. Отсюда имеем x = 2. Заметим, что нуль функции f 3 (x), точка x = 2, разбивает область D(f 3 ) на два промежутка (−2, 2) и (2, +∞). На первом промежутке функ- ция f 3 (x) < 0, так как на этом интервале она, как было установлено ранее, возрастает и достигает нулевого значения. В силу того, что на интервале (2, +∞) функция f 3 (x) строго убывает и не меняет знак, то f 3 (x) < 0. Наконец, найдем интервалы выпуклости и точки перегиба функции f 3 (x). Согласно теореме 1.9 найдем интервалы знакопостоянства f 3 (x) f 3 (x) = −12 x − 2 (x + 1) 3 = −12 (x + 1) 3 − 3(x + 1) 2 (x − 2) (x + 1) 6 = −12 7 − 2x (x + 1) 4 Решив уравнение f 3 (x) = 0 −12 7 − 2x (x + 1) 4 = 0 найдем точки подозрительные на перегиб. Уравнение имеет только один корень x = 3.5. Эта точка разбивает область D(f 3 ) на интервалы (−2, 3.5) и (3.5, +∞). Чтобы определить знак f 3 (x) на первом интервале, вычислим значе- ние f 3 (x) в любой пробной точке области −2 < x < 3.5. Например, при x = 0 f (0) = −12 · 7 = −84, т. е. f 3 (x) < 0 и функция f 3 (x) выпукла вверх на −2 < x < 3.5. На интервале (3.5; +∞) знак f 3 (x) положительный и, значит, функция f 3 (x) выпукла вниз. 17 Сведем результаты исследования функции f 3 (x) в таблицу 1.4. Таблица 1.4 x −1 + 0 (−1; 0) 0 0; 2) 2 (2; 3.5) 3.5 (3.5, +∞) y −∞ − −8 − 0 − −0.22 − y + + + 0 − − − y − −84 − − − 0 + Вывод max т. перег. На интервале (−1, +∞) с помощью этой таблицы строится график функции f 3 (x). Эскиз этого графика приведен на рис. 1.1. Нарисуем эскиз графика функции y = f (x) по характерным точкам, которые приведены в таблицах 1.1, 1.3 и 1.4. Отметим, что эскиз графи- ка нарисован с нарушением масштаба, так как в реальном масштабе на рисуноке не видны характерные особенности графика. ◦ ◦ ◦ a 8 a 9 X O Y ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ a 1 a 2 a 3 a 5 a 4 a 6 −1 −2 a 7 Рис. 1.1 На рис. 1.1 значками „◦“ обозначены характерные точки. Точка a 1 с ко- ординатами (−4, 0) – корень функции y = f 1 (x). Точка a 2 (−3.296, −0.296) – минимум функции y = f 1 (x). Точка a 3 (−3, 0) – „острый“ максимум функ- ции y = f 1 (x). Точка a 4 (−2, −3) – точка непрерывного сшивания функций y = f 1 (x) и y = f 2 (x). Точка a 5 (−1.81, −2.760) – точка перегиба функции y = f 2 (x). Точка a 6 (−4, 0) – левый предел при x → −1 функции y = f 2 (x) ( lim x→−1−0 f 2 (x)). Точка a 7 (0, 8) – точка пересечения функции y = f 3 (x) с 18 осью ординат OY . Точка a 8 (2, 0) – максимум функции y = f 3 (x). Точка a 9 (3.5, 0.222) – точка перегиба функции y = f 3 (x). Пунктирными прямыми на рис. 1.1 изображены: вертикальная асимп- тота x = −1 функции y = f 3 (x) и горизонтальная асимптота y = −2 функции y = f 3 (x). 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 2.1. Многочлены и их свойства Подробное изложение общей теории с доказательствами можно найти в учебном пособии [4]. Определение 2.1. Функция P : C I → C I, определенная правилом P (z) = a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 = n k=0 a k z k , a n = 0, (2.1) называется многочленом (полиномом) степени n. Числа a n , a n−1 , . . . , a 0 называются коэффициентами многочлена P (a n – старшим коэффици- ентом), а целое неотрицательное число n – его степенью. Степень мно- гочлена P будем обозначать ст.P и записывать: ст.P = n. Для многочленов, как и для любых числовых функций с общей обла- стью определения, определены обычным образом сложение, вычитание и умножение, причем сумма, разность и произведение многочленов также, очевидно, являются многочленами. Теорема 2.1. Если два многочлена P и Q тождественно совпадают, т. е. P (z) = Q(z) при всех z ∈ C I, то совпадают их степени и коэффици- енты (при одинаковых степенях z). Многочлены обладают некоторыми свойствами, аналогичными свой- ствам целых чисел. Известно, что при умножении целых чисел получаем целое число. Это же свойство справедливо и для многочленов – перемножая многочлены, получаем многочлен. Деление же нацело двух целых чисел, т.е. получение в результате целого числа, возможно далеко не всегда. В общем случае при делении целого числа n на целое m получаем некоторое частное k и остаток r. При этом справедливо равенство n = mk + r. То же можно сказать и о делении многочленов. Справедлива следующая теорема. Теорема 2.2. Для любых многочленов P и Q, ст.Q > 0, существу- ют единственные многочлены q и r, такие, что P (z) = Q(z)q(z) + r(z), (2.2) 19 причем степень многочлена r меньше степени многочлена Q, в частно- сти, возможно r(z) ≡ 0. Многочлен q называется частным (от деления P на Q), а r – остатком. Теорема 2.2 имеет важное следствие. Теорема 2.3. (Безу). Пусть P – многочлен, причем ст.P ≥ 1. Тогда остаток от деления P на многочлен (z − c) равен P (c). Определение 2.2. Нулем многочлена P называется корень уравне- ния P (z) = 0, z ∈ C I . Ясно, что многочлен нулевой степени нулей не имеет. Пусть ст.P > 0. Из теоремы 2.3 следует, что если c – нуль многочлена P , то P (z) = (z − c)q(z), (2.3) где ст.q = (ст.P ) − 1. Обратное утверждение очевидно. Таким образом, число c является нулем многочлена P тогда и только тогда, когда P пред- ставим в виде (2.3). Если многочлен q тоже обращается в нуль в точке c, то и он пред- ставим в аналогичном виде q(z) = (z − c)q 1 (z), а значит, для P получаем представление P (z) = (z − c) 2 q 1 (z) (ясно, что ст.q 1 = ст.P − 2). Продолжая эти рассуждения, приходим к понятию кратности нуля многочлена. Определение 2.3. Число c называется нулем многочлена P крат- ности k (k ∈ IN ), если имеет место представление |