Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2008
 Скачать 373.42 Kb.
|
|
P (z) = (z − c) k q(z), q(c) = 0. (2.4) Замечание 2.1. Если k = 1, то говорят, что c – простой нуль много- члена P . Теорема 2.4. Число c является нулем многочлена P кратности k тогда и только тогда, когда P (c) = P (c) = . . . = P (k−1) (c) = 0, P (k) (c) = 0. (2.5) Теорема 2.5. (Основная теорема алгебры). Всякий многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один нуль. Из основной теоремы алгебры доказывается важное следствие. 20 Следствие 2.1. Многочлен P (z) = a 0 + a 1 z + . . . + a n z n степени n ≥ 1 может быть представлен в виде P (z) = a n (z − c 1 ) . . . (z − c n ), (2.6) где, очевидно, числа c 1 , c 2 , . . . , c n являются нулями многочлена P . Это представление единственно (с точностью до порядка сомножителей). В общем случае в разложении (2.6) среди чисел c 1 , c 2 , . . . , c n могут быть равные, т.е. какие-то нули многочлена P могут иметь кратность боль- ше единицы. Пусть различными нулями многочлена P служат числа c 1 , c 2 , . . . , c m (m ≤ n). Обозначим их кратности через k 1 , k 2 , . . . , k m соответ- ственно. Тогда разложение (2.6) принимает вид P (z) = a n (z − c 1 ) k1 (z − c 2 ) k2 . . . (z − c m ) km (2.7) Здесь 1 ≤ k i ≤ n, i = 1, . . . , m, k 1 + k 2 + . . . + k m = n. Формула (2.7) означает, что любой многочлен степени n имеет ровно n нулей с учетом их кратностей. В ТР встречаются только вещественные многочлены (2.7), у которых a n , a n−1 , . . . , a 0 ∈ IR. Теорема 2.6. Многочлен с вещественными коэффициентами прини- мает в комплексно-сопряженных точках комплексно-сопряженные зна- чения, т. е. P (¯ z) = P (z). Следствие 2.2. Если c – нуль вещественного многочлена, то ¯ c – также нуль этого многочлена. Замечание 2.2. Можно показать, что кратности комплексно-сопря- женных нулей вещественого многочлена совпадают. Теперь можно уточнить формулу (2.7) разложения вещественного мно- гочлена на множители. Пусть c 1 (где Im(c 1 ) = 0) и ¯ c 1 – комплексно-сопря- женные нули вещественного многочлена. В формуле (2.7) этим нулям со- ответствуют множители (z − c 1 ) k1 и (z − ¯ c 1 ) k1 . Их произведение равно (z − c 1 )(z − ¯ c 1 ) k1 = z 2 − (c 1 + ¯ c 1 )z + c 1 ¯ c 1 k1 = (z 2 + α 1 z + β 1 ) k1 , где α 1 = −(c 1 + ¯ c 1 ) и β 1 = c 1 ¯ c 1 – вещественные числа, причем α 2 1 − 4β 1 < 0. Таким образом в разложении (2.7) можно объединить все пары множите- лей, соответствующих комплексно-сопряженным нулям многочлена P . Из выше сказанного, справедливо следующее утверждение (в даль- нейшем, следуя традиции, аргумент вещественного многочлена обозначаем буквой x. 21 Утверждение 2.1. Для любого вещественного многочлена ненуле- вой степени n справедливо представление : P (x) = a n (x 2 +α 1 x+β 1 ) k1 . . . (x 2 +α l x+β l ) kl (x−d 1 ) n1 . . . (x−d m ) nm , (2.8) где d 1 , . . . , d m – вещественные нули многочлена P с кратностей n 1 , . . . , n m соответственно, множители (x 2 +α p x+β p ) kp отвечают парам комп- лексно-сопряженных корней кратности k p , т.е. α p , β p ∈ IR, α 2 p −4β p < 0, p = 1, 2, . . . , l, и 2(k 1 + k 2 + . . . + k l ) + n 1 + n 2 + . . . + n m = n. 2.2. Рациональные дроби Определение 2.4. Пусть P и Q – вещественные многочлены, при- чем P – ненулевой многочлен. Функция R, значения которой вычисляют- ся по правилу R(x) = Q(x) P (x) , (2.9) называется вещественной рациональной дробью или вещественной дроб- но-рациональной функцией. Функция R определена везде, кроме точек, в которых многочлен P обращается в нуль. Определение 2.5. Рациональная дробь (2.9) называется правиль- ной, если степень многочлена-числителя Q строго меньше степени мно- гочлена-знаменателя P . В противном случае дробь называется непра- вильной. Заметим, что справедливо утверждение. Утверждение 2.2. Если α, β ∈ IR и R 1 , R 2 – правильные рацио- нальные дроби, то αR 1 + βR 2 и R 1 · R 2 так же правильные рациональные дроби. Если дробь неправильная, то ее можно представить в виде суммы мно- гочлена и правильной дроби. Действительно, на основании теоремы 2.2 Q(x) = P (x)p(x) + r(x) и, следовательно, Q(x) P (x) = p(x) + r(x) P (x) , где стерень r строго меньше степени P . Определение 2.6. Вещественные рациональные дроби вида A (x − c) k и M x + L (x 2 + αx + β) m , 22 где k, m ∈ IN, α 2 −4β < 0, будем называть простейшими вещественными дробями. Теорема 2.7. Пусть Q(x) P (x) – правильная вещественная рациональная дробь, где (см. (2.3)) P (x) = a n (x 2 + α 1 x + β 1 ) k1 . . . (x 2 + α l x + β l ) kl (x − d 1 ) n1 . . . (x − d m ) nm Тогда эта дробь единственым образом может быть разложена в следу- ющую сумму простейших вещественных дробей: Q(x) P (x) = A (1) n1 (x − d 1 ) n1 + A (1) n1−1 (x − d 1 ) n1−1 + . . . + A (1) 1 x − d 1 + . . . + + A (m) nm (x − d m ) nm + A (m) nm−1 (x − d m ) nm−1 + . . . + A (m) 1 x − d m + + M (1) k1 x + L (1) k1 (x 2 + α 1 x + β 1 ) k1 + M (1) k1−1 x + L (1) k1−1 (x 2 + α 1 x + β 1 ) k1−1 + . . . + M (1) 1 x + L (1) 1 x 2 + α 1 x + β 1 + + . . . + M (l) kl x + L (l) kl (x 2 + α l x + β l ) kl + M (l) kl−1 x + L (l) kl−1 (x 2 + α l x + β l ) kl−1 + . . . + M (l) 1 x + L (l) 1 x 2 + α l x + β l Пример. Разложить в сумму простейших вещественных дробей пра- вильную дробь: R(x) = x 4 + 4x 3 + 11x 2 + 12x + 8 (x 2 + 2x + 3) 2 (x + 1) Разложение с неопределенными коэффициентами имеет вид R(x) = Ax + B (x 2 + 2x + 3) 2 + Cx + D x 2 + 2x + 3 + E x + 1 , откуда x 4 + 4x 3 + 11x 2 + 12x + 8 = = (Ax + B)(x + 1) + (Cx + D)(x 2 + 2x + 3)(x + 1) + E(x 2 + 2x + 3) 2 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, (см. теорему 2.1 ) находим: C + E = 1, 3C + D + 4E = 4, A + 5C + 3D + 10E = 11, A + B + 3C + 5D + 12E = 12, B + 3D + 9E = 8, 23 откуда A = 1, B = −1, C = 0, D = 0, E = 1 и, следовательно, R(x) = x − 1 (x 2 + 2x + 3) 2 + 1 x + 1 2.3. Интегрирование рациональных дробей При выполнении ТР после выделения целой части неправильной ра- циональной дроби и разложения правильной рациональной дроби в сумму простейших требуется вычислять интегралы от многочленов и простейших рациональных дробей. Приведем необходимые формулы, а полное изложе- ние можно найти в учебнике [2]. Для интегрирования многочлена используется линейность интеграла и формула: x n dx = 1 n + 1 x n+1 + C, n ≥ 0. (2.10) Для интегрирования правильных рациональных дробей знаменатели которых имеют только вещественныекорни, используются формулы: dx x − a = ln |x − a| + C (2.11) и dx (x − b) k = 1 1 − k (x − b) 1−k + C, k > 1. (2.12) В случае, когда знаменатель правильной рациональной дроби имеет простые комплексно-сопряженные корни, для ее интегрирования исполь- зуется формула: M x + N x 2 + px + q dx = M 2 ln(x 2 + px + q)+ + 2N − M p 4q − p 2 arctg 2x + p 4q − p 2 + C. (2.13) В ТР отсутствуют примеры требующие интегрирования правильных рациональных дробей, когда ее знаменатель имеет кратные комплексно-со- пряженные корни, т. е. интегралы вида M x + N (x 2 + px + q) k dx, k > 1. (2.14) Для вычисления интегралов вида (2.14) можно воспользоваться рекурент- ными формулами, которые приведены в подробных таблицах интегралов (см., например [5], с. 27, №№ 160.09 и 160.19) и позволяют понижать степень знаменателя. 24 2.4. Типовой расчет по теме “Интегрирование рациональных дробей” (ТР 2.3) Студентам выдается индивидуальное задание вида: ТР 2.3. Вар. 31. Найти интегралы. 1. x 4 + 3x 3 − 7x − 9 (x − 2)(x + 3)(x − 1) dx, 2. −2x 4 − 13x 3 − 8x 2 + 98x + 181 (x + 3) 4 (x − 1) dx, 3. 0 −1 2x 3 − 7x 2 + 13x − 5 (x − 2) 2 (x 2 − 4x + 13) dx. Пример выполнения ТР 2.3. (Вар. 31). Требуется найти неопре- деленные интегралы (первые две задачи) и вычислить определенный ин- теграл (третья задача). 1. Найти I 1 = x 4 + 3x 3 − 7x − 9 (x + 2)(x + 3)(x − 1) dx. Обозначим f 1 (x) = x 4 + 3x 3 − 7x − 9 (x + 2)(x + 3)(x − 1) . Перемножив двучлены зна- менателя, получим f 1 (x) = x 4 + 3x 3 − 7x − 9 x 3 + 4x 2 + x − 6 – неправильную рациональ- ную дробь. a. Выделим целую часть, для чего разделим числитель на знаменатель с остатком: − x 4 + 3x 3 − 7x − 9 x 4 + 4x 3 + x 2 − 6x x 3 + 4x 2 + x − 6 x − 1 − −x 3 − x 2 − x − 9 −x 3 − 4x 2 − x + 6 3x 2 − 15 (остаток) Следовательно, f 1 (x) = (x − 1) + 3x 2 − 15 x 3 + 4x 2 + x − 6 b. Разложим в сумму простейших правильную рациональную дробь, знаменатель которой имеет простые вещественные нули 3x 2 − 15 (x + 2)(x + 3)(x − 1) = A x + 2 + B x + 3 + C x − 1 Приведение правой части последнего равенства к общему знаменателю с последующим освобождением от знаменателя в обоих частях равенства да- ет 3x 2 − 15 = A(x + 3)(x − 1) + B(x + 2)(x − 1) + C(x + 2)(x + 3). 25 Для нахождения A, B и C применим метод отдельных значений аргумента при этом в качестве значений аргумента следует взять корни знаменателя, что позволяет получить простые соотношения для нахождения A, B и C. x = −3 4B = 12, B = 3, x = −2 −3A = −3, A = 1, x = 1 12C = −12, C = −1. Искомое разложение имеет вид 3x 2 − 15 (x + 2)(x + 3)(x − 1) = 1 x + 2 + 3 x + 3 − 1 x − 1 Значит f 1 (x) = (x − 1) + 1 x + 2 + 3 x + 3 − 1 x − 1 c. Вычислим интеграл используя формулы (2.10) и (2.11) I 1 = f 1 (x) dx = (x − 1) + 1 x + 2 + 3 x + 3 − 1 x − 1 dx = = 1 2 x 2 − x + ln |x + 2| + 3 ln |x − 3| − ln |x − 1| + C. 2. Найти I 2 = −2x 4 − 13x 3 − 8x 2 + 98x + 181 (x + 3) 4 (x − 1) dx. a. Пусть f 2 (x) = −2x 4 − 13x 3 − 8x 2 + 98x + 181 (x + 3) 4 (x − 1) . Функция f 2 (x) – пра- вильная рациональная дробь, знаменатель которой имеюет вещественный нуль x 1 = 3 кратности l 1 = 4. f 2 (x) = A x + 3 + B (x + 3) 2 + C (x + 3) 3 + D (x + 3) 4 + E x − 1 Приведение правой части последнего равенства к общему знаменателю с последующим освобождением от знаменателя в обоих частях равенства да- ет −2x 2 − 13x 3 − 8x 2 + 98x + 181 = A(x + 3) 3 (x − 1)+ +B(x + 3) 2 (x − 1) + C(x + 3)(x − 1) + D(x − 1) + E(x + 3) 4 Для нахождения A, B, C, D и E применим метод отдельных значений ар- гумента при этом в качестве двух значений аргумента следует взять раз- личные корни знаменателя, что позволит просто найти D и E, и еще три 26 различных значения аргумента (небольшие целые числа). x = −3 4 = −4D, D = −1, x = 1 256 = 256E, E = 1. x = 0 181 = −27A − 9B − 3C − D + 81E, x = −2 25 = −3A + 25B − 3C − 3D + E, x = 2 209 = 125A + 25B + 5C − D + 625E, Подставляя в последние три уравнения найденные уже значения D = −1 и E = 1, приводя подобные члены и сокращая, получим систему линейных уравнений для нахождения A, B и C 9A + 3B + C = −33, A + B + C = −7, 25A + 5B + C + −83. Решением этой системы являются: A = −3, B = −1, C = −3. Таким образом, искомое разложение примет вид: f 2 (x) = −3 x + 3 − 1 (x + 3) 2 − 3 (x + 3) 3 − 1 (x + 3) 4 + 1 x − 1 b. Вычислим интеграл используя формулы (2.11) и (2.12) I 2 = f 2 (x) dx = −3 ln |x+3|+ 1 x+3 + 3 2(x + 3) 2 + 1 3(x + 3) 3 +ln |x−1| + C. 3. Найти I 3 = 0 −1 2x 3 − 7x 2 + 13x − 5 (x − 2) 2 (x 2 − 4x + 13) dx. a. Обозначим f 3 (x) = 2x 3 − 7x 2 + 13x − 5 (x − 2) 2 (x 2 − 4x + 13) . Функция f 3 (x) – пра- вильная рациональная дробь, знаменателя которой имеюет кратный веще- ственный нуль x 1 = 2 кратности l 1 = 2 имеет пару простых комплексно- сопряженных корней (см. следствие 3.1), значит f 3 (x) можно разложить в следующую сумму простейших дробей: 2x 3 − 7x 2 + 13x − 5 (x − 2) 2 (x 2 − 4x + 13) = A x − 2 + B (x − 2) 2 + Cx + D x 2 − 4x + 13 Приведение правой части последнего равенства к общему знаменателю с последующим освобождением от знаменателя в обоих частях равенства да- ет тождество: 2x 3 − 7x 2 + 13x − 5 = A(x − 2)(x 2 − 4x + 13) + B(x 2 − 4x + 13)+ +(Cx + D)(x − 2) 2 = A(x 3 − 6x 2 + 21x − 26) + B(x 2 − 4x + 13)+ +C(x 3 − 4x 2 + 4x) + D(x 2 − 4x + 4). 27 Приравнивая коэффициенты при одинаковах степенях x в левой и правой частях тождества (см. теорему 2.1 ) получим: x 3 A + C = 2, x 2 −6A + B − 4C + D = −7, x 1 21A − 4B + 4C − 4D = 13, x 0 −26A + 13B + 4D = −5. Для нахождения A, B, C и D решим систему линейных уравнений методом Гаусса–Жордана: A + C = 2, −6A + B − 4C + D = −7, 21A − 4B + 4C − 4D = 13, −26A + 13B + 4D = −5, и получим A = 1, B = 1, C = 1, D = 2. В итоге имеем f 3 (x) = 1 x − 2 + 1 (x − 2) 2 + x + 2 x 2 − 4x + 13 b. Вычислим неопределенный интеграл f 3 (x)dx = 1 x − 2 dx + 1 (x − 2) 2 dx + x + 2 x 2 − 4x + 13 dx. Сначала, используя формулы (2.11) и (2.12), вычислим первые два слага- емые 1 x − 2 dx + 1 (x − 2) 2 dx = ln |x − 2| − 1 x − 2 + C. Третье слагаемое можно вычислить использовав формулу (2.13). x + 2 x 2 − 4x + 13 dx = 1 2 ln(x 2 − 4x + 13) + 4 3 arctg x − 2 3 + C. c. По формуле Ньютона–Лейбница получаем I 3 = 0 −1 f 3 (x) dx = ln |x − 2| − 1 x − 2 + 1 2 ln(x 2 − 4x + 13)+ + 4 3 arctg x − 2 3 0 −1 = −0.138. 28 Ответ. 1. I 1 = 1 2 x 2 − x + ln |x + 2| + 3 ln |x − 3| − ln |x − 1| + C. 2. I 2 = −3 ln |x + 3| + 1 x + 3 + 3 2(x + 3) 2 + 1 3(x + 3) 3 + ln |x − 1| + C. 3. I 3 = 0 −1 f 3 (x) dx = ln |x − 2| − 1 x − 2 + 1 2 ln(x 2 − 4x + 13)+ + 4 3 arctg x − 2 3 0 −1 = −0.138 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В этом разделе рассматривается применение формулы трапеций для вычисления значений интегралов и способы приведения некоторых инте- гралов к специальным функциям (см. учебное пособие [1] и учебник [2]). 3.1. Формула трапеций Формулы, с помощью которых можно вычислить приближенные зна- чения определенных интегралов, называются квадратурными. Квадратур- ная формула называется формулой трапеций, если b a f (x) dx ≈ b − a 2 (f (a) + f (b)). (3.1) Из этой формулы следует, что площадь под кривой y = f (x) на отрезке [a, b] приближается площадью под хордой, соединяющей точки (a, f (a)) и (b, f (b)). Если функция f (x) имеет на [a, b] ограниченную вторую произ- водную, то справедлива оценка R = b − a 2 (f (a) + f (b)) − b a f (x) dx ≤ (b − a) 3 12 M 2 , (3.2) где M 2 = max a≤x≤b |f (x)|. Как видно, погрешность вычисления интеграла за- висит от длины отрезка [a, b]. Чтобы вычислить значение интеграла с погрешностью, не превышаю- щей некоторой заданной величины ε > 0, поступают следующим образом. Отрезок [a, b] разбивают на n равных подотрезков [x i , x i+1 ], i = 0, 1, ..., n−1, 29 длины h = b − a n , полагая x 0 = a, x n = b. На каждом таком отрезке при- меняют формулу трапеций (3.1) b a f (x) dx = n−1 i=0 x i+1 x i f (x) dx ≈ n−1 i=0 h 2 (f (x i ) + f (x i+1 )). Таким образом, получаем составную формулу трапеций b a f (x) dx ≈ h f (x 0 ) + f (x n ) 2 + n−1 i=1 f (x i ) (3.3) Из (3.2) получается оценка для составной формулы трапеций R = b a f (x) dx − h f (x 0 ) + f (x n ) 2 + n−1 i=1 f (x) ≤ (b − a)h 2 12 M 2 Число разбиений n отрезка [a, b], достаточное для вычисления интеграла с точностью ε, определяется из неравенства (b − a)h 2 12 M 2 < ε, т. е. n ≥ M 2 (b − a) 3 12ε , (3.4) где α – наименьшее целое, большее или равное |α|. 3.2. Интеграл вероятности Функция Φ(x) (интеграл вероятности) определяется формулой Φ(x) = 2 √ π x 0 e −t 2 dt. Эта функция определена на всем множестве вещественных чисел IR. |