Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2008

• Название: Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2008
• Анкор: tr_m_an_ryady.pdf
• Дата: 10.02.2018
• Размер: 373.42 Kb.
• Имя файла: tr_m_an_ryady.pdf
• Тип: Учебное пособие; #15410
• страница: 6 из 6

< 0.5.
Следовательно, в силу монотонного убывания y n
, неравенство справедливо при n ≥ 2. Положим IN = 2;
51

4. Решим неравенство q
m+1 1 − q
< ε. Так как q =
1 2
, то левая часть нера- венства q
m+1 1 − q
=
1 2
m
. Логарифмируя, получим m > log
2 1
ε
= log
2
(1000) ≈ 9.966,
т. е. m ≥ 10. Положим m = 10;
4) возьмем n
0
= max{N, m} = max{2, 10} = 10. Тогда |S
1
− S
1,10
| < ε.
Вычислим непосретственно
S
1,10
=
10
n=1 4n + 4 4n + 10
n
2
=
8 14 1
+
12 18 4
+
16 22 9
+
20 26 16
+
+
24 30 25
+
28 34 36
+
32 38 49
+
36 42 64
+
40 46 81
+
44 50 100
≈
≈ 0.5714 + 0.1975 + 0.0569 + 0.0150 + 0.0038 + 0.0009+
+0.0002 + 0.00005 + 0.00001 + 0.000003 = 0.84590.
Значит с точностью ε = 0.001 сумма ряда S
1
=
+∞
n=1 4n + 4 4n + 10
n
2
≈ 0.846.
II. Найти сумму ряда
S
2
=
+∞
n=1
(n + 5)
n
(3n − 2)!
1. Проверим сходимость ряда, применив признак сходимости Далам- бера. Для этого вычислим число D (см. теорему 5.2 )
D = lim n→+∞
((n + 1) + 5)
n+1
(3(n + 1) − 2)!
(3n − 2)!
(n + 5)
n
= lim n→+∞
n + 6
n + 5
n n + 6
(3n − 1)3n(3n + 1)
=
= lim n→+∞
1 +
1
n + 5
n
· 0 = e · 0 = 0 < 1.
Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.
2. Так как D = 0 возьмем, например, q = 0.5 (D < q < 1).
3. Подберем n удовлетворяющее неравенству n + 6
n + 5
n n + 6
(3n − 1)3n(3n + 1)
< 0, 5.
При n = 1 сразу получаем
7 6
7 2 · 3 · 4
= 0.34 < 0.5, положим N = 1;
52

4. Решим неравенство l
m
=
(m + 5)
m
(3m − 2)!
0.5 1 − 0.5
=
(m + 5)
m
(3m − 2)!
< 0.001.
Решение ищем простым подбором. Получаем m ≥ 5. Так как l
m+1
l m
=
1 +
1
m + 5
m m + 6
(3m + 1)3m(3m − 1)
< 1,
при m ≥ 5, то последовательность l m
монотонно убывает и можно поло- жить m = 5;
5. Возьмем n
0
= max{N, m} = max{1, 5} = 5. Тогда |S
2
− S
2,5
| < ε.
Вычислим
S
2,5
=
5
n=1
(n + 5)
n
(3n − 2)!
=
6 1!
+
7 2
4!
+
8 3
7!
+
9 4
10!
+
10 5
13!
≈
≈ 6 + 2.0417 + 0.1016 + 0.0018 + 0.000016 = 8.14508.
Значит с точностью ε = 0.001 сумма ряда S
2
+∞
n=1
(n + 5)
n
(3n − 2)!
≈ 8.145.
III. Найти сумму ряда
S
3
=
+∞
n=1 5n + 7
(n
2
+ 3)
3 1. Рассмотрим функцию f (x) =
5x + 7
(x
2
+ 3)
3
. Она положительна и убы- вает при x ≥ 1.
+∞
1
f (x) dx = lim b→+∞
b
1
(5x + 7)dx
(x
2
+ 3)
3
≤ lim b→+∞
b
1 6x dx
(x
2
+ 3)
3
=
= 3 lim b→+∞
−
1 2
1
(x
2
+ 3)
2
b
1
=
3 32
Ряд сходится по интегральному признаку Коши см. теорему 5.3 .
Здесь и далее используется оценка
+∞
N +1
ax + b
(x
2
+ c)
d dx ≤
+∞
N +1
(a + 1)x
(x
2
+ c)
d
,
где a ≥ 0 b ≥ 1, c ≥ 0 и d ≥ 2.
53

2. Произведем интегральную оценку остатка ряда
|S
3
− S
3,n
| ≤
+∞
n f (x) dx =
+∞
n
(5x + 7)dx
(x
2
+ 3)
3
≤
+∞
n
6x dx
(x
2
+ 3)
3
=
= −
3 2
lim b→+∞
1
(b
2
+ 3)
2
−
1
(n
2
+ 3)
2
=
3 2
1
(n
2
+ 3)
2
Найдем наименьшее n ∈ IN, при котором
3 2
1
(n
2
+ 3)
2
< ε = 0.001 ⇔ n >
3 0.002
− 3 ≈ 5.977,
т. е. n = 6. Вычисляем непосредственно:
S
3,6
=
6
n=1 5n + 7
(n
2
+ 3)
3
=
12 4
3
+
17 7
3
+
22 12 3
+
27 19 3
+
32 28 3
+
37 39 3
≈
≈ 0.1875 + 0.0496 + 0.0127 + 0.0039 + 0.0015 + 0.0006 = 0.25650.
Значит с точностью ε = 0.001 сумма ряда S
3
=
+∞
n=1 5n + 7
(n
2
+ 3)
3
≈ 0.257.
b) Вычислить значение интеграла I =
0.8 0
arctg(x
3
)
x
2
dx с точностью
ε
= 0.0001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и про- интегрировав его почленно.
1. Разложим функцию arctg(x
3
) в степенной ряд по степеням x arctg(x
3
) =
+∞
n=0
(−1)
n
(x
3
)
2n+1 2n + 1
Тогда arctg(x
3
)
x
2
=
+∞
n=0
(−1)
n x
6n+1 2n + 1
(5.6)
Это разложение верно для x, таких, что −1 < x
3
< 1, т. е. для −1 < x < 1,
следовательно, степенной ряд (5.6) равномерно сходится в интервале [−r, r]
при произвольном r, 0 < r < 1 (например, r = 0.8). В этом интервале равномерной сходимости ряд можно интегрировать почленно. Отсюда
I =
+∞
n=0
(−1)
n
2n + 1 0.8 0
x
6n+1
dx =
+∞
n=0
(−1)
n
2n + 1 0.8 6n+2 6n + 2
(5.7)
54

2. Покажем, что ряд (5.7) сходится, используя признак Лейбница (см.
теорему 5.4 ). Действительно,
lim n→∞
a n
= lim n→∞
0.8 6n+2
(2n + 1)(6n + 2)
= 0.
Для доказательства неравенства a
n+1
< a n
,
n > 0,
(5.8)
рассмотрим функцию f (x) =
0.8 6x+2
(2x + 1)(6x + 2)
, определенную на [1, +∞),
f (n) = a n
, и докажем, что она убывает при всех x ∈ [1, +∞). Так как f (x) является произведением положительных функций где f
1
(x) = 0.8 6x+2
и f
2
(x) =
1
(2x + 1)(6x + 2)
– убывающих на [1, +∞) функций, то f (x) убы- вает на [1, +∞), т. е. для произвольных x
1
, x
2
∈ [1, +∞), x
1
< x
2
, спра- ведливо неравенство f (x
1
) > f (x
2
). Возьмем x
1
= n, x
2
= n + 1. Тогда a
n
= f (x
1
) > f (x
2
) = a n+1
для всех n > 0 и требуемое неравенство (5.8)
установлено.
Ряд (5.7) сходится в силу признака Лейбница.
3. Найдем наименьшее n, при котором верно неравенство a
n
=
0.8 6n+2
(2n + 1)(6n + 2)
< ε = 0.0001.
Решение ищем простым подбором, так как монотонное убывание коэффи- циентов a n
доказано (см. неравенство (5.8)). При n = 2 имеем
0, 8 14 5 · 14
≈ 0, 000628 > 0, 0001,
т. е. n = 2 неравенству не удовлетворяет. При n = 3 0.8 20 7 · 20
≈ 0.000082 < 0.0001,
т. е. при n = 3 неравенство выполнено.
4. Вычислим непосредственно
S
3
=
+∞
n=0
(−1)
n
2n + 1 0.8 6n+2 6n + 2
=
0.8 2
2
−
0.8 8
3 · 8
+
0.8 14 5 · 14
−
0.8 20 7 · 20
≈
≈ 0.32 − 0.0069905 + 0.0006283 − 0.00008235 ≈ 0.31356.
Значит, интеграл
0.8 0
arctg(x
3
)
x
2
dx ≈ 0.31356 с точностью ε = 0.0001.
55

Ответ. a) с точностью ε = 0.001 суммы рядов следующие:
S
1
=
+∞
n=1 4n + 4 4n + 10
n
2
≈ 0.846,
S
2
=
+∞
n=1
(n + 5)
n
(3n − 2)!
≈ 8.145,
S
3
=
+∞
n=1 5n + 7
(n
2
+ 3)
3
≈ 0.257.
b) с точностью ε = 0.0001 интеграл
0.8 0
arctg(x
3
)
x
2
dx ≈ 0.31356.
56

Список литературы
1. Бондарев А.С., Доценко М.Л., Фролова Е.В. Математический ана- лиз (функции одной вещественной переменной): Учебное пособие / Под ред. А.Л.Белопольского; СпбГЭТУ. СПб., 1998.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференци- альные и интегральные исчисления: Учебник для ВУЗов. - М.: Наука, 2003.
3. Боревич Е.З., Жукова Е.Е., Челкак С.И. Дифференциальное исчис- ление функций многих вещественных переменных. Учеб. пособие. - СПб :
СПбГЭТУ „ ЛЭТИ “, 2001.
4. Бодунов Н.А., Челкак С.И., Чистяков В.М. Комплексные числа.
Многочлены. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
Учеб. пособие.- СПб : ГЭТУ, 1996.
5. Двайт Г. Д. Таблицы интегралов и другие математические формулы.
- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983.
6. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979.
57

ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица значений интегральных синусов Si(x) =
x
0
sin t t
dt..
.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9 0.
0 0.0999 0.1996 0.2985 0.3965 0.4931 0.5881 0.6812 0.7721 0.8605 1.
0.9461 1.0287 1.1080 1.1840 1.2562 1.3247 1.3892 1.4496 1.5058 1.5578 2.
1.6054 1.6487 1.6876 1.7222 1.7525 1.7785 1.8004 1.8182 1.8321 1.8422 3.
1.8487 1.8517 1.8514 1.8481 1.8419 1.8331 1.8219 1.8086 1.7934 1.7765 4.
1.7582 1.7387 1.7184 1.6973 1.6758 1.6541 1.6325 1.6110 1.5900 1.5696 5.
1.5499 1.5313 1.5137 1.4973 1.4823 1.4687 1.4567 1.4462 1.4374 1.4302 6.
1.4247 1.4209 1.4187 1.4182 1.4192 1.4218 1.4258 1.4312 1.4379 1.4457 7.
1.4546 1.4644 1.4751 1.4864 1.4983 1.5107 1.5233 1.5361 1.5489 1.5617 8.
1.5742 1.5864 1.5981 1.6093 1.6198 1.6296 1.6386 1.6467 1.6538 1.6599 9.
1.6650 1.6691 1.6720 1.6739 1.6747 1.6745 1.6732 1.6708 1.6676 1.6634 10.
1.6583 1.6525 1.6460 1.6388 1.6311 1.6229 1.6144 1.6056 1.5965 1.5874 11.
1.5783 1.5693 1.5604 1.5518 1.5436 1.5357 1.5284 1.5215 1.5153 1.5098 12.
1.5050 1.5009 1.4975 1.4950 1.4933 1.4923 1.4922 1.4929 1.4943 1.4965 13.
1.4994 1.5029 1.5071 1.5119 1.5172 1.5229 1.5290 1.5355 1.5422 1.5492 14.
1.5562 1.5633 1.5704 1.5773 1.5841 1.5907 1.5970 1.6030 1.6085 1.6136 15.
1.6182 1.6223 1.6257 1.6286 1.6309 1.6326 1.6336 1.6340 1.6337 1.6328
Таблица значений интегральных косинусов Ci(x) = −
+∞
x cos t t
dt
.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9 0.
-1.7279
-1.0422
-0.6492
-0.3788
-0.1778
-0.0223 0.1005 0.1983 0.2761 1.
0.3374 0.3849 0.4205 0.4457 0.4620 0.4704 0.4717 0.4670 0.4568 0.4419 2.
0.4230 0.4005 0.3751 0.3472 0.3173 0.2859 0.2533 0.2201 0.1865 0.1529 3.
0.1196 0.0870 0.0553 0.0247
-0.0045
-0.0321
-0.0580
-0.0819
-0.1038
-0.1235 4.
-0.1410
-0.1562
-0.1690
-0.1795
-0.1877
-0.1935
-0.1970
-0.1984
-0.1976
-0.1948 5.
-0.1900
-0.1835
-0.1753
-0.1655
-0.1544
-0.1421
-0.1287
-0.1144
-0.0994
-0.0839 6.
-0.0681
-0.0520
-0.0359
-0.0199
-0.0042 0.0111 0.0258 0.0399 0.0531 0.0654 7.
0.0767 0.0869 0.0960 0.1038 0.1104 0.1156 0.1196 0.1222 0.1236 0.1236 8.
0.1224 0.1200 0.1164 0.1118 0.1061 0.0994 0.0919 0.0837 0.0748 0.0653 9.
0.0553 0.0451 0.0346 0.0239 0.0133 0.0027
-0.0077
-0.0178
-0.0275
-0.0368 10.
-0.0455
-0.0535
-0.0609
-0.0675
-0.0733
-0.0783
-0.0824
-0.0855
-0.0878
-0.0891 11.
-0.0896
-0.0891
-0.0877
-0.0855
-0.0824
-0.0786
-0.0740
-0.0688
-0.0630
-0.0566 12.
-0.0498
-0.0426
-0.0350
-0.0273
-0.0194
-0.0114
-0.0034 0.0044 0.0121 0.0196 13.
0.0268 0.0335 0.0399 0.0457 0.0510 0.0558 0.0598 0.0633 0.0660 0.0681 14.
0.0694 0.0700 0.0699 0.0691 0.0677 0.0655 0.0628 0.0594 0.0555 0.0511 15.
0.0463 0.0410 0.0354 0.0295 0.0234 0.0172 0.0108 0.0045
-0.0019
-0.0081
Таблица значений интеграла вероятностей Φ(x))
.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9 0.
0 0.1125 0.2227 0.3286 0.4284 0.5205 0.6039 0.6778 0.7421 0.7969 1.
0.8427 0.8802 0.9103 0.9340 0.9523 0.9661 0.9763 0.9838 0.9891 0.9928 2.
0.9953 0.9970 0.9981 0.9989 0.9993 0.9996 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000 58

Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Построение графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Точки разрыва функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4. Монотонность и экстремумы функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5. Выпуклость функции. Тоски перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6. Алгоритм половинного деления (бисекций) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7. Типовой расчет по теме „Построение графика функции“ (ТР 2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1. Многочлены и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Рациональные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4. Типовой расчет по теме „Интегрирование рациональных дробей“ (ТР 2.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. Приближенное вычисление интеграла.
Специальные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1 Формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Интеграл вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Интегральный синус и интегральный косинус . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Типовой расчет по теме „Формула трапеций и применение специальных функций“ (ТР 2.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4. Функции двух вещественных переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 4.1. Функции двух вещественных переменных,
непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2. Частные производные функции двух вещественных переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3. Локальные экстремумы функций двух вещественных переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4. Типовой расчет по теме „Экстремумы функций двух переменных“ (ТР 2.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5. Числовые ряды и их применение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.1. Понятие числового ряда. Сходимость ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 5.2. Признаки сходимости числовых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3. Вычисление суммы ряда с заданной точностью . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.4. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.5. Разложение функций в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.6. Типовой расчет по теме „Числовые ряды и их применение“ (ТР2.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Колбина Светлана Анатольевна, Коновалов Григорий Моисеевич,
Снетков Олег Александрович, Сулимов Михаил Григорьевич
Типовые расчеты по курсу „ Математический анализ “
Учебное пособие
Редактор Э. К. Долгатов
Подписано в печать
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Гарнитура „Times“ Печ. л. ?.
Тираж 550 экз. Заказ
Издательство СПбГЭТУ „ЛЭТИ“
197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5