Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2008
 Скачать 373.42 Kb.
|
|
0 , y 0 ) (f (x, y) > > f (x 0 , y 0 )), то точка (x 0 , y 0 ) называется точкой локального максиму- ма (локального минимума) функции f . Принято говорить, что (x 0 , y 0 ) – точка локального экстремума f , если точка (x 0 , y 0 ) – точка локального максимума или локального минимума. Определение 4.7. Если (x 0 , y 0 ) – внутренняя точка области опре- деления функции f : D ⊂ IR 2 → IR, в которой существуют частные производные ∂f ∂x , ∂f ∂y и ∂f ∂x (x 0 , y 0 ) = 0, ∂f ∂y (x 0 , y 0 ) = 0, то точка (x 0 , y 0 ) называется стационарной точкой функции f . Теорема 4.2. (Необходимое условие экстремума). Если точка (x 0 , y 0 ) – точка локального экстремума f и функция f (x, y) определе- на и имеет в некоторой окрестности K δ ((x 0 , y 0 )) частные производные ∂f ∂x (x, y) и ∂f ∂y (x, y), то точка (x 0 , y 0 ) является стационарной точкой функции f . Заметим, что точка (x 0 , y 0 ) может быть точкой локального экстремума f , даже если частные производные ∂f ∂x и ∂f ∂y несуществут в точке (x 0 , y 0 ). Пример. 4.3. Пусть f (x, y) = x 2/3 + y 2/3 , тогда при x = 0 и y = 0 частные производные ∂f ∂x (x, y) = 2 3x 1/3 , ∂f ∂y (x, y) = 2 3y 1/3 определены при (x, y) ∈ IR 2 \ {(0, 0)} и не существут в точке (0, 0). Но очевидно, что точка (0, 0) – точка строгого локального минимума функции f . Отметим, что в ТР подобные ситуации исключены. Теорема 4.3. (Достаточное условие экстремума). Если 1) функ- ция f (x, y) определена в точке (x 0 , y 0 ), имеет в некоторой ее окрестно- сти K δ ((x 0 , y 0 )) все частные производные второго порядка, непрерывные в точке (x 0 , y 0 ); 2) точка (x 0 , y 0 ) – стационарная точка функции f ; 3) 41 оба собственных числа матрицы Гессе (см. определение 4.5 ) H(x 0 , y 0 ) по- ложительны (отрицательны), то (x 0 , y 0 ) – точка локального минимума (локального максимума) функции f . Если собственные числа матрицы Гессе имеют противоположные знаки, то функция f не имеет в точке (x 0 , y 0 ) локального экстремума. Можно сформулировать простые достаточные условия экстремума не требующие вычисления собственных чисел. Введем следуюшие обозначе- ния: ∂ 2 f ∂x 2 (x 0 , y 0 ) = A, ∂ 2 f ∂y∂x (x 0 , y 0 ) = ∂ 2 f ∂x∂y (x 0 , y 0 ) = B, ∂ 2 f ∂y 2 (x 0 , y 0 ) = C. (4.1) Теорема 4.4. (Достаточное условие экстремума). Пусть функ- ция f (x, y) определена в точке (x 0 , y 0 ), имеет в некоторой ее окрестно- сти K δ ((x 0 , y 0 )) все частные производные второго порядка, непрерывные в точке (x 0 , y 0 ); точка (x 0 , y 0 ) – стационарная точка функции f . Если (см. (4.1)) AC − B 2 > 0 и A < 0, (A > 0), то (x 0 , y 0 ) – точка локального минимума (локального максимума) функции f . Если AC −B 2 < 0, то функция f не имеет в точке (x 0 , y 0 ) локального экстремума. Доказательство. В обозначениях (4.1) характеристическое уравне- ние для собственных чисел λ 1 , λ 2 матрицы Гессе имеет вид: λ 2 − (A + C)λ + AC − B 2 = 0 (4.2) В силу теоремы Виета для собственных чисел матрицы Гессе имеем λ 1 λ 2 = AC − B 2 , λ 1 + λ 2 = A + C утверждение теоремы 4.4 следует из теоремы 4.3 . 4.4. Типовой расчет по теме “Экстремумы функций двух переменных” (ТР 2.5) Студентам выдается индивидуальное задание вида: ТР 2.5. Вар. 1. Найти стационарные точки функции f (x, y) и исследовать их на экстремум: f (x, y) = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + 5y 3 − 108x − 120y + 7. Пример выполнения ТР 2.5. Вар. 1. Функция f : D → IR являет- ся многочленом третьей степени от двух переменных x и y, следовательно 42 определена на всей плоскости (D = R 2 ) и имеет на ней непрерывные част- ные производные первого и второго порядков. a. Найдем стационарные точки (x 0 , y 0 ). Для этого найдем частные про- изводные функции f (x, y) ∂f ∂x (x, y) = 3x 2 + 6xy + 3y 2 − 108 и ∂f ∂y (x, y) = 3x 2 + 6xy + 15y 2 − 120. Согласно определению 4.7 точка (x 0 , y 0 – стационарная, если ∂f ∂x (x 0 , y 0 ) = 0, ∂f ∂y (x 0 , y 0 ) = 0. В нашем примере эта система имеет вид: 3x 2 0 + 6x 0 y 0 + 3y 2 0 − 108 = 0, 3x 2 0 + 6x 0 y 0 + 15y 2 0 − 120 = 0. Разделим оба равенства на 3 и вычтем первое уравнение из второго. Полу- чим равносильную систему: y 2 0 = 1, x 2 0 + 2x 0 y 0 + y 2 0 − 36 = 0, которая, в свою очередь, равносильна двум системам уравнений: y 0 = 1, x 2 0 + 2x 0 y 0 + y 2 0 = 36 и y 0 = −1, x 2 0 + 2x 0 y 0 + y 2 0 = 36. Подставляя значение y 0 во второе уравнение, получим y 0 = 1, x 2 0 + 2x 0 − 35 = 0 и y 0 = 1, x 2 0 + 2x 0 − 35 = 0. Решая эти системы, получим 4 стационарные точки: P 1 = (−7, 1), P 2 = = (5, 1), P 3 = (7, −1) и P 4 = (−5, −1). b. Найдем частные производные второго порядка A = ∂ 2 f ∂x 2 (x, y) = 6x + 6y = 6(x + y), 43 B = ∂ 2 f ∂y∂x (x, y) = ∂ 2 f ∂x∂y (x, y) = 6x + 6x = 6(x + y), и C = ∂ 2 f ∂y 2 (x, y) = 6x + 30y = 6(x + 5y). Вычислим числа A, B и C в стационарных точках P i i = 1, 2, 3, 4. В точке P 1 = (−7, 1) A = −36, B = −36, C = −12 и AC − B 2 = = −864 < 0, следовательно по теореме 4.4 функция f не имеет в точке P 1 = (−7, 1) локального экстремума. Вычислим значение функции в точке P 1 f (−7, 1) = 431. В точке P 2 = (5, 1) A = 36, B = 36, C = 60 и AC − B 2 = 864 > 0, причем A > 0, следовательно по теореме 4.4 функция f имеет локальный минимум в точке P 2 = (5, 1). Вычислим его значение: f (5, 1) = −433. В точке P 3 = (7, −1) A = 36, B = 36, C = 12 и AC − B 2 = −864 < 0, следовательно по теореме 4.4 функция f не имеет в точке P 1 = (7, −1) ло- кального экстремума. Вычислим значение функции в точке P 1 f (7, −1) = = 417. В точке P 4 = (−5, −1) A = −36, B = −36, C = −60 и AC − B 2 = = 864 > 0, причем A < 0, следовательно по теореме 4.4 функция f имеет локальный максимум в точке P 2 = (5, 1). Вычислим его значение: f (−5, −1) = 447. Ответ: P 1 = (−7, 1), P 3 = (7, −1) – стационарные точки, в которых функция f не имеет экстремума и f (−7, 1) = 431, f (7, −1) = −417; P 2 = (5, 1) – точка локального минимума, f (5, 1) = −433; P 4 = (−5, −1)– точка локального максимума, f (−5, −1) = 447. 5. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 5.1. Понятие числового ряда. Сходимость ряда Пусть {a n } – последовательность чисел. Построим новую последова- тельность {S n } по следующему правилу: S 1 = a 1 , S 2 = a 1 + a 2 , . . . , S n = a 1 + a 2 + · · · + a n , . . . Пара последовательностей {a n } и {S n } называется числовым рядом. Число a n называют n-м членом ряда; S n называют n-й частичной суммой ряда. Числовой ряд обозначают символами S n = a 1 + a 2 + · · · + a n + · · · или +∞ n=1 a n 44 Определение 5.1. Если существует конечный lim n→+∞ S n = S, то го- ворят, что ряд сходится. S называют суммой ряда и пишут S = +∞ n=1 a n В противном случае ряд называют расходящимся. Пример. Из школьного курса известно, что ряд +∞ n=1 b 0 q n−1 (членами которого являются элементы геометрической прогрессии) сходится при 0 < < |q| < 1| и его сумма равна b 0 /(1 − q) и расходится при |q| ≥ 1. 5.2. Признаки сходимости числовых рядов Рассмотрим некоторые признаки сходимости (доказательство можно найти в учебном пособии [1] пп. 9.3–5). Теорема 5.1. (Признак Коши). Пусть +∞ n=1 a n – ряд с положитель- ными членами. Если существует конечный предел K = lim n→+∞ n √ a n , то ряд +∞ n=1 a n сходится при K < 1 и расходится при K > 1. При K = 1 признак Коши ответа не дает. Теорема 5.2. (Признак Даламбера). Пусть +∞ n=1 a n – ряд с поло- жительными членами. Если существует конечный предел D = lim n→+∞ a n+1 a n , то ряд ∞ n=1 a n сходится при D < 1 и расходится при D > 1. При D = 1 признак Даламбера ответа не дает. Теорема 5.3. (Интегральный признак Коши). Пусть интегри- руемая на любом конечном промежутке функция f (x) положительна и убывает при x ∈ [1, +∞), +∞ n=1 a n – ряд с положительными членами, 45 a n = f (n) для любого n ∈ IN. Тогда ряд +∞ n=1 a n и несобственный интеграл +∞ α f (x) dx (α ≥ 1) сходятся или расходятся одновременно. Если ряд и интеграл сходятся, то для любого n ∈ IN верна оценка +∞ n+1 f (x) dx ≤ S − S n ≤ +∞ n f (x) dx, Перейдем к рассмотрению рядов, члены которых являются произволь- ными вещественными числами любого знака. Определение 5.2. Будем называть ряд +∞ n=1 a n (5.1) абсолютно сходящимся, если сходится ряд +∞ n=1 |a n |. (5.2) Известно, что из сходимости ряда (5.2) вытекает сходимость ряда (5.1). Определение 5.3. Ряд (5.1) называется условно сходящимся, если он сходится, а соответствующий ряд из модулей (5.2) расходится. Теорема 5.4. Признак Лейбница). Пусть дан знакочередующийся ряд +∞ n=1 (−1) n+1 a n , a n ≥ 0. (5.3) Если lim n→+∞ a n = 0 и для любых n ∈ IN справедливо a n+1 ≤ a n , то ряд (5.3) сходится. Его сумма S ≤ a 1 и для любого n ∈ IN справедлива оценка |S − S n | ≤ a n+1 5.3. Вычисление суммы ряда с заданной точностью При рассмотрении числовых рядов +∞ n=1 a n возникают две задачи: 1) установить, сходится ли ряд; 46 2) в случае сходимости ряда найти его сумму. Приведем алгоритмы вычисления суммы ряда с любой наперед за- данной точностью, если его сходимость установлена с помощью одного из признаков: Коши, Даламбера, интегрального или Лейбница. Сходимость ряда установлена с помощью признака Коши. Если lim n→+∞ n √ a n = K < 1, то по признаку Коши ряд с положительными членами +∞ n=1 a n сходится, и для вычисления его суммы S с точностью ε достаточно: 1) вычислить K и выбрать число q, такое, что K < q < 1; 2) найти минимальное N ∈ IN ∪ {0}, такое, что для любого n > N выполняется n √ a n < q, т. е. a n < q n ; 3) оценить остаток ряда |S − S m | = +∞ n=m+1 a n = a m+1 + a m+2 + ... < q m+1 + q m+2 + ... = = q m+1 (1 + q + q 2 + ...) = q m+1 1 1 − q , и найти такое наименьшее m ∈ IN, что q m+1 1 − q < ε; 4) взять n 0 = max{N, m}. Тогда |S − S n 0 | < ε, т. е. в качестве приближенного значения суммы ряда с точностью ε можно взять S n 0 Сходимость ряда установлена с помощью признака Далам- бера. Если lim n→+∞ a n+1 a n = D < 1, то по признаку Даламбера ряд с поло- жительными членами +∞ n=1 a n сходится, и для вычисления его суммы S с точностью ε достаточно: 1) вычислить D и выбрать число q, такое, что D < q < 1; 2) найти наименьшее N ∈ IN ∪ {0}, такое, что для любого n > N выполняется a n+1 a n < q, т. е. a n+1 < a n q; 3) оценить остаток ряда |S − S m | = +∞ n=m+1 a n = a m+1 + a m+2 + ... < qa m + q 2 a m + ... = a m q 1 1 − q , 47 и найти наименьшее m ∈ IN, такое, что a m q 1 − q < ε; 4) взять n 0 = max{N, m}. Тогда |S −S n 0 | < ε, т. е. в качестве приближенного значения сумы ряда с точностью ε можно взять S n 0 Сходимость ряда установлена с помощью интегрального при- знака Коши. Если функция f определена на [1, +∞), положительна, убывает и интеграл +∞ 1 f (x) dx сходится, то ряд +∞ n=1 f (n) также сходится и при этом |S − S n | ≤ +∞ n+1 f (x) dx. Таким образом, если найти минимальное n 0 ∈ IN, при котором +∞ n 0 +1 f (x) dx < ε, то за приближенное значение суммы ряда S с точностью ε можно взять S n 0 Сходимость ряда установлена с помощью признака Лейбни- ца. Если знакочередующийся ряд +∞ n=1 (−1) n+1 a n сходится по признаку Лейбница, то остаток ряда |S − S n | < a n+1 . Таким образом, если взять наименьшее n 0 ∈ IN, при котором a n 0 +1 < ε, то за приближенное значение суммы ряда S с точностью ε можно взять S n 0 5.4. Степенные ряды Более подробное изложение теории можно найти в учебном пособии [1] п. 10. Определение 5.4. Ряд вида +∞ n=0 a n x n (5.4) называется степенным рядом по степеням x. Если числовой ряд +∞ n=0 a n x n 0 сходится, то говорят, что степенной ряд +∞ n=0 a n x n сходится в точке x 0 48 Если степенной ряд сходится в каждой точке множества D, то говорят, что он сходится на множестве D. Теорема 5.5. (Абель). Если степенной ряд (5.4) сходится в точке x = x 1 = 0, то он абсолютно сходится для всех x: | x| < | x 1 |. Если же ряд (5.4) расходится в точке x 2 , то он расходится и для всех x: | x| > | x 2 |. Теорема 5.6. У любого степенного ряда (5.4) существует радиус сходимости, т. е. такое число Rсх ∈ [0, +∞], что ряд (5.4) сходится абсолютно при | x| < Rсх и расходится при | x| > Rсх. Замечание. Теорема 5.6 показывает, что область сходимости Dсх со- держит интервал |x| < Rсх, называемый интервалом сходимости степен- ного ряда, и, возможно, еще точки x = −Rсх и x = Rсх. Пусть S(x) – сумма степеного ряда +∞ n=0 a n x n , Rсх – его радиус сходи- мости. Рассмотрим два ряда: ряд +∞ n=1 na n x n−1 , полученный из исходного почленным дифференцированием, и ряд +∞ n=0 a n x n+1 n + 1 , полученный из исход- ного почленным интегрированием. Справедлива следующая теорема. Теорема 5.7. Для рядов +∞ n=0 a n x n , +∞ n=1 na n x n−1 и +∞ n=0 a n x n+1 n + 1 радиусы сходимости совпадают. Сумма степеного ряда +∞ n=0 a n x n – S(x) дифферен- цируема и интегрируема в интервале сходимости |x| < Rсх и справедли- вы равенства: S (x) = +∞ n=1 na n x n и x 0 S(t)dt = +∞ n=0 a n x n+1 n + 1 5.5. Разложение функций в ряд Тейлора Пусть функция f : X → IR имеет производные всех порядков (бес- конечно дифференцируема) в точке x 0 ∈ X. Тогда можно составить сте- пенной ряд +∞ n=0 f (n) (x 0 ) n! (x − x 0 ) n , называемый рядом Тейлора по степеням x − x 0 для функции f . Укажем условия при которых функция совпадает с суммой своего ряда Тейлора. 49 Теорема 5.8. (Тейлор). Пусть функция f : (a, b) → IR бесконечно дифференцируема на (a, b) и все ее производные ограничены в совокупно- сти на (a, b), т. е. существует такое конечное число M > 0, что для всех x ∈ (a, b) и для всех n ∈ IN выполнено |f (n) (x)| ≤ M . Тогда ∀ x, x 0 ∈ (a, b) f (x) = +∞ n=0 f (n) (x 0 ) n! (x − x 0 ) n При выполнении типового расчета студенты могут использовать сле- дующие разложения: 1) e x = +∞ n=0 x n n! , x ∈ IR; 2) sin x = +∞ n=0 (−1) n x 2n+1 (2n + 1)! , x ∈ IR; 3) cos x = +∞ n=0 (−1) n x 2n (2n)! , x ∈ IR; 4) ln(1 + x) = +∞ n=1 (−1) n+1 x n n , −1 < x ≤ 1; 5) arctg x = +∞ n=0 (−1) n x 2n+1 2n + 1 , −1 < x < 1; 6) (x+1) α = 1+αx+ α (α − 1) 2! x 2 +...+ α (α − 1)...(α − (n − 1)) n! x n +..., −1 < x < 1. 5.6. Типовой расчет по теме “Числовые ряды и их применение” (ТР 2.6) Студентам выдается индивидуальное задание, имеющее следующий вид. ТР 2.6, Вар. 1 а) с точностью ε = 0.001 найти суммы S k рядов. S 1 = +∞ n=1 4n + 4 4n + 10 n 2 , S 2 = +∞ n=1 (1n + 5) n (3n − 2)! , S 3 = +∞ n=1 5n + 7 (n 2 + 3) 3 b) Вычислить значение интеграла I с точностью ε = 0.0001, разло- жив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его 50 почленно I = 0.80 0 arctg(x 3 ) x 2 dx. Пример выполнения ТР 2.6 (Вар. 1). a) с точностью ε = 0.001 найти суммы S k рядов. I. Найти сумму ряда S 1 = +∞ n=1 4n + 4 4n + 10 n 2 1. Проверим сходимость ряда, применив признак Коши. Для этого вы- числим число K (см. теорему 5.1 ) K = lim n→+∞ n 4n+4 4n + 10 n 2 = lim n→+∞ 4n+4 4n+10 n = lim n→+∞ 1 + −6 4n+10 n = = lim n→+∞ 1 + −6 4n + 10 4n+10 −6 −6n 4n+10 = lim n→+∞ e −6n 4n+10 = e − 3 2 < 1. Следовательно, ряд сходится по признаку Коши. 2. Выберем число q, удовлетворяющее неравенству e − 3 2 ≈ 0.2231 < q < 1, значит можно взять q = 0.5. 3. Решим неравенство 4n + 4 4n + 10 n < 0.5. (5.5) Если обозначить y n = 4n + 4 4n + 10 n , то можно показать (см. [1] лемма 2.1), что y n−1 > y n , т. е. монотонное убывание y n . Неравенство (5.5) будем решать простым подбором. При n = 1 имеем 4 + 4 4 + 10 = 4 7 > 0.5, т. е. n = 1 – неравенству не удовлетворяет. При n = 2 имеем 8 + 4 8 + 10 2 = 2 3 2 = 4 9 |