Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2008
 Скачать 373.42 Kb.
|
|
Перечислим некоторые простейшие свойства интеграла вероятности: 1) lim x→+∞ Φ(x) = 1; 2) Φ(0) = 0; 3) Φ(−x) = −Φ(x), т. е. функция Φ(x) нечетная; 4) Φ(x) монотонно возрастает на IR; 5) существует левая и правая горизонтальные асимптоты y = −1 и y = 1 соответственно; 30 6) при x → +∞ справедлива асимптотическая формула Φ(x) ∼ 1 − 1 x √ π e −x 2 Для определения численного значения функции Φ(x) в некоторой точ- ке x следует воспользоваться таблицей значений интеграла вероятности, например [6]. Можно также воспользоваться таблицей, приведенной в при- ложении. Пример 3.1. Рассмотрим применение таблиц интеграла вероятности на примере вычисления значения β α e −t 2 dt. Запишем β α e −t 2 dt = √ π 2 2 √ π β 0 e −t 2 dt − 2 √ π α 0 e −t 2 dt = √ π 2 [Φ(β)−Φ(α)]. (3.5) Определив значения Φ(β) и Φ(α) из таблиц, найдем значение искомого интеграла. Пример 3.2. Вычислить значение I = β α t 2 e −t 2 +2at dt. Приведем показатели экспоненты к полному квадрату +t 2 − 2at = = (t − a) 2 − a 2 . Тогда I = β α t 2 e −(t−a) 2 +a 2 dt = e a 2 β α t 2 e −(t−a) 2 dt. В последнем интеграле сделаем замену переменной τ = t − a и поменяем пределы интегрирования: при t = α имеем τ = α − a, а при t = β – τ = β − a. Теперь исходный интеграл преобразуется к виду β α t 2 e −(t−a) 2 dt = β −a α −a (τ + a) 2 e −τ 2 dτ = = β −a α −a τ 2 e −τ 2 dτ + 2a β −a α −a τ e −τ 2 dτ + a 2 β −a α −a e −τ 2 dτ. 31 Первый интеграл суммы будем вычислять по частям. Положим u = τ, du = dτ, dV = τe −τ 2 dτ, V = − 1 2 e −τ 2 , тогда с учетом (3.5) β −a α −a τ 2 e −τ 2 dτ = − τ 2 e −τ 2 β −a α −a + 1 2 β −a α −a e −τ 2 dτ = = − β − a 2 e −(β−a) 2 + (α − a) 2 e −(α−a) 2 + √ π 4 [Φ(β − a) − Φ(α − a)]. Второй интеграл суммы вычисляется подведением τ под знак дифферен- циала: 2a β −a α −a τ e −τ 2 dτ = −ae −τ 2 β −a α −a = −ae −(β−a) 2 + ae −(α−a) 2 Третий интеграл суммы непосредственно приводится (см. (3.5)) к интегра- лам вероятности: a 2 β −a α −a e −τ 2 dτ = a 2 √ π 2 [Φ(β − a) − Φ(α − a)]. Приведя подобные, получим следующий вид исходного интеграла: I = e a 2 α + a 2 e −(α−a) 2 − β + a 2 e −(β−a) 2 + + (2a 2 + 1) √ π 4 (Φ(β − a) − Φ(α − a)) . Используя таблицы интеграла вероятности, можно получить численное значение I. 3.3. Интегральный синус и интегральный косинус Функция Si(x) (интегральный синус) определяется формулой Si(x) = x 0 sin t t dt. Эта функция определена на всем множестве вещественных чисел IR. Простейшие свойства функции интегрального синуса: 1) Si(0) = 0; 32 2) Si(−x) = − Si(x), т. е. функция нечетная; 3) Si(x) имеет максимум в точках (2k + 1)π, k = 0, 1, 2, ...), причем Si(π) ≈ 1.35, Si(3π) ≈ 1.67, ...; функция Si(x) имеет минимум в точках 2kπ, k = 1, 2, ... и Si(2π) ≈ 1.45, Si(4π) ≈ 1.49, ...; 4) lim x→+∞ Si(x) = π 2 Пример 3.3. Вычислить значение интеграла I = β α sin t t dt. Выразим интеграл через интегральные синусы: I = β α sin t t dt = β 0 sin t t dt − α 0 sin t t dt = Si(β) − Si(α). (3.6) Получив из таблицы значения функций Si(β) и Si(α), найдем значение интеграла I. Функция Ci(x) (интегральный косинус) задается формулой Ci(x) = − +∞ x cos t t dt и определена на интервале (0, +∞). Свойства функци Ci(x): 1) lim x→+∞ Ci(x) = 0; 2) lim x→0+0 Ci(x) = −∞; 3) в точках 2k + 1 2 π , k = 0, 1, ... функция Ci(x) достигает макси- мальных згачений; в точках 2k − 1 2 π , k = 1, 2, ... функция Ci(x) дости- гает минимальных значений. Пример 3.4. Вычислить значение интеграла I = β α cos t t dt. Выразим интеграл через интегральные косинусы: I = +∞ α cos t t dt − +∞ β cos t t dt = − Ci(α) + Ci(β). Таким образом, получив из таблицы значения функций Ci(β) и Ci(α), най- 33 дем значение исходного интеграла: β α cos t t dt = Ci(β) − Ci(α). (3.7) Таблицы значений интегрального синуса и интегрального косинуса приведены в математических справочниках, например [6], а также в При- ложении, где приведены фрагменты таблиц. 3.4. Типовой расчет по теме “Формула трапеций и применение специальных функций” (ТР 2.4) Студентам выдается индивидуальное задание, имеющее следующий вид. ТР 2.4. Вар. 1 I = 1.2 0.6 sin √ 3x + 16 x dt. а) Вычислить приближенное значение интеграла с точностью ε = = 0.001 с помощью формулы трапеций. b) Вычислить значение интеграла, используя таблицы специальных функций. Пример решения ТР 2.4. Вар. 1. а) Приближенное значение интеграла вычисляется по квадратурной формуле трапеций (3.3). Чтобы вычисленное значение по этой формуле отличалось от истинного значения интеграла на величину не более ε = = 0.001, необходимо отрезок интегрирования [0.6, 1.2] разбить на n от- резков. Это число разбиений может быть определено из неравенства (3.4). Однако необходимо получить оценку максимума модуля M 2 второй произ- водной от подынтегральной функции. Имеем f (x) = sin √ 3x + 16 x Найдем первую производную: f (x) = 3 2 cos √ 3x + 16 x √ 3x + 16 − sin √ 3x + 16 x 2 Для упрощения выкладок обозначим y 1 = cos √ 3x + 16 x √ 3x + 16 , y 2 = sin √ 3x + 16 x 2 34 Тогда f (x) = 3 2 y 1 + y 2 Для вычисления y 1 воспользуемся логарифмической производной ln y 1 = ln(cos √ 3x + 16 ) − ln x − 1 2 ln(3x + 16). Тогда y 1 = y 1 − 3 2 sin √ 3x + 16 cos √ 3x + 16 1 √ 3x + 16 − 1 x − 3 2(3x + 16) , т. е. y 1 = − 3 2 sin √ 3x + 16 x(3x + 16) − cos √ 3x + 16 x 2 √ 3x + 16 − 3 2 cos √ 3x + 16 x(3x + 16) 3/2 ; y 2 = 3 2 cos √ 3x + 16 x 2 √ 3x + 16 − 2 sin √ 3x + 16 x 3 и окончательно получаем: f (x) = − 9 4 sin √ 3x+16 x(3x+16) −3 cos √ 3x + 16 x 2 √ 3x + 16 − 9 4 cos √ 3x + 16 x(3x + 16) 3/2 − 2 sin √ 3x + 16 x 2 Для получения оценки f (x) возьмем модуль от обеих частей этого равен- ства, получим |f (x)| ≤ 9 4 sin √ 3x + 16 x(3x + 16) + 3 cos √ 3x + 16 x 2 √ 3x + 16 + + 9 4 cos √ 3x + 16 x(3x + 16) 3/2 + 2 sin √ 3x + 16 x 2 Учитывая, что | sin √ 3x + 16 | ≤ 1, | cos √ 3x + 16 | ≤ 1, 0.6 ≤ x ≤ 1.2, 17.8 < (3x + 16) < 19.8 и 4.22 ≤ √ 3x + 16 ≤ 4.43, получим |f (x)| ≤ 9 4 1 0.6 · 17.8 + 3 1 (0.6) 2 4.22 + 9 4 1 0.6(17.8) 3/2 + 2 1 0.6 2 = 7.79. Так как эта оценка выполняется для всех x ∈ [0.6, 1.2], то она справедлива и для x, при котором |f (x)| достигает максимального значения, т. е. max |f (x)| ≤ 7.79. Применив формулу (3.4), найдем необходимое число разбиения отрез- ка интегрирования [0.6, 1.2] n = 5.57(0.6) 3 12 · 0.001 = 11.84 = 12. 35 Находим длину подотрезка h = b − a n = 0.6 12 = 0.05. Вычислив f (x) = sin √ 3x + 16 x в точках x i = 0.6 + ih, i = 0, 1, ..., 12, получаем: f (x 0 ) = −1.468 f (x 5 ) = −1.081 f (x 10 ) = −0.863 f (x 1 ) = −1.368 f (x 6 ) = −1.028 f (x 11 ) = −0.830 f (x 2 ) = −1.281 f (x 7 ) = −0.981 f (x 12 ) = −0.800 f (x 3 ) = −1.206 f (x 8 ) = −0.938 f (x 4 ) = −1.140 f (x 9 ) = −0.899 Применив формулу (3.2) 1.2 0.6 sin √ 3x + 16 x dx ≈ h 2 f (x 0 ) + f (x 11 ) + 2 10 i=1 f (x i ) = 0.638, получим значение, которое отличается от истинного значения интеграла на величину не более ε = 0.001. b) Приведем исходный интеграл I = 1.2 0.6 sin √ 3x + 16 x dx к выражению, содержащему функции интегрального синуса Si(x) и интегрального коси- нуса Ci(x). Для этого выполним подстановку u 2 = 3x + 16, т. е. x = 1 3 (u 2 − 16), dx = 2 3 u du, и найдем новые пределы интегрирования: при x 1 = 0.6 новый предел инте- грирования будет u 1 = √ 3 · 0.6 + 16 = √ 17.8 ≈ 4.219, а при x 2 = 1.2 имеем u 2 = √ 3 · 1.2 + 16 = √ 19.6 ≈ 4.427, т. е. I = 2 4.427 4.219 u sin u (u 2 − 16) du. (3.8) Выражение u u 2 − 16 представим в виде суммы простейших дробей u u 2 − 16 = A u − 4 + B u + 4 Определив, что A = B = 1 2 и подставив это разложение в интеграл (3.8), 36 получим I = 4.427 4.219 sin u 1 u − 4 + 1 u + 4 du = 4.427 4.219 sin u u − 4 du + 4.427 4.219 sin u u + 4 du. (3.9) В первом интеграле левой части равенства (3.9) опять выполним под- становку v = u − 4: 4.427 4.219 sin u u − 4 du = 0.427 0.219 sin(v + 4) v dv = 0.427 0.219 sin v cos 4 + cos v sin 4 v dv = = cos 4 0.427 0.219 sin v v dv + sin 4 0.427 0.219 cos v v dv = = cos 4(Si(0.427) − Si(0.219)) + sin 4(Ci(0.427) − Ci(0.219)). Во втором интеграле левой части равенства (3.9) выполним подста- новку v = u + 4: 4.427 4.219 sin u u + 4 du = 8.427 8.219 sin(v − 4) v dv = 8.427 8.219 sin v cos 4 − cos v sin 4 v dv = = cos 4 8.427 8.219 sin v v dv − sin 4 8.427 8.219 cos v v dv = = cos 4(Si(8.427) − Si(8.219) − sin 4(Ci(8.427) − Ci(8.219)). Подставляя полученные выражение в (3.9), окончательно получим I = cos 4[Si(0.427) − Si(0.219) + Si(8.427) − Si(8.219)]+ + sin 4[Ci(0.427) − Ci(0.219) − Ci(8.427) + Ci(8.219)]. Из таблиц значений функций Si(x)и Ci(x) имеем: Si(0.219) = 0.2184 Ci(0.219) = −0.9534 Si(0.427) = 0.4227 Ci(0.427) = −0.3190 Si(8.219) = 1.6003 Ci(8.219) = 0.1156 Si(8.427) = 1.6225 Ci(8.427) = 0.1044 и учитывая, что cos(4) = −0.6536 и sin(4) = −0.7568, получим I = −0.637. Ответ: значение интеграла вычисленного а) с помощью формулы трапеций I = −0.638; б) с использованием таблиц специальных функций I = −0.637. 37 4. ФУНКЦИИ ДВУХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ При выполнении ТР „ Экстремумы функций двух переменных “ (ТР 2.5), используются только числовые функции двух вещественных перемен- ных. Полное изложение теории вещественных функций многих переменных с подробными доказательствами можно найти в учебном пособии [3] и учеб- нике [2]. В данном пособии мы ограничимся только кратким изложением сведений, необходимых для выполнения ТР. 4.1. Функции двух вещественных переменных, непрерывность Произвольную точку плоскости IR 2 будем обозначать (x, y). Определение 4.1. Окрестностью K δ (x 0 , y 0 ) с радиусом δ > 0 точ- ки (x 0 , y 0 ) ∈ IR 2 называется множество точек (x, y) на плоскости, для которых справедливо неравенство (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 < δ. Проколотой окрестностью ◦ K δ (x 0 , y 0 ) с радиусом δ > 0 точки (x 0 , y 0 ) ∈ IR 2 называется множество точек (x, y) на плоскости, для ко- торых справедливо неравенство 0 < (x − x 0 ) 2 +(y − y 0 ) 2 < δ. Пусть D ⊂ IR 2 . Точка (x 0 , y 0 ) ∈ IR 2 называется предельной точкой D, если в любой проколотой окрестности точки (x 0 , y 0 ) найдется точка из D. Отметим, что в этом случае не обязательно (x 0 , y 0 ) ∈ D. Точка (x 0 , y 0 ) ∈ D называется изолированной, если ◦ K δ (x 0 , y 0 ) ∩ D = ∅ для некоторого δ > 0. Точка (x 0 , y 0 ) ∈ D называется внутренней точкой D, если при некотором δ 0 > 0 K δ 0 ((x 0 , y 0 )) ⊂ D. Любая внутренняя точка множества D является его предельной точкой. Множество D называется открытым, если все его точки – внутренние. Произвольное открытое множество мы будем называть областью. Определение 4.2. Пусть область D ⊆ IR 2 . Если каждой точке (x, y) ∈ D по некоторому правилу поставлено в соответствие един- ственное вещественное число z ∈ IR, то говорят, что определена функ- ция двух вещественных переменных с областью определения D и множе- ством значений в IR. При этом используется обозначение f : D → IR, а z = f (x, y) называется значением функции f в точке (x, y). Определение 4.3. Функция f : D → IR, D ⊂ IR 2 называется непре- рывной в точке (x 0 , y 0 ) ∈ D ⇐⇒ f определена в точке (x 0 , y 0 ) и для лю- бой окрестности K ε (z 0 ) точки z 0 = f (x 0 , y 0 ) существует окрестность K δ (x 0 , y 0 ) точки (x 0 , y 0 ) такая, что f (K δ (x 0 , y 0 ) ∩ D) ⊂ K ε (z 0 ). 38 Функция f (x, y) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой его точке. 4.2. Частные производные функции двух вещественных переменных Пусть дана дана функция f : D → IR и точка (x 0 , y 0 ) ∈ IR 2 . Введем в рассмотрение функции ϕ 1 (x), ϕ 2 (x), заданные правилом, ϕ 1 (x) = f (x, y 0 ) и ϕ 2 (y) = f (x 0 , y). Определение 4.4. Частной производной ∂f ∂x (x 0 , y 0 ) функции f по переменной x в точке (x 0 , y 0 ) называется производная в точке x 0 функции ϕ 1 (если эта производная существует), т. е. ∂f ∂x (x 0 , y 0 ) = ϕ 1 (x 0 ) = dϕ 1 dx (x 0 ), а частной производной ∂f ∂y (x 0 , y 0 ) функции f (x, y) по переменной y в точ- ке (x 0 , y 0 ) называется производная в точке y 0 функции ϕ 2 (y) (если эта производная существует), т. е. ∂f ∂y (x 0 , y 0 ) = ϕ 2 (y 0 ) = dϕ 2 dy (y 0 ). Если частные производные существуют в любой точке (x, y) ∈ D, то в области D тем самым определены новые функции двух веществен- ных переменных ∂f ∂x : (x, y) ∈ D → ∂f ∂x (x, y) и ∂f ∂y : (x, y) ∈ D → ∂f ∂y (x, y). Пример. 4.1. Пусть f (x, y) = x 3 y + x 2 y 2 + y 3 и (x 0 , y 0 ) = (2, 1), тогда ∂f ∂x (x, y) = d x 3 y + x 2 y 2 + y 3 dx = 3x 2 y + 2xy 2 , ∂f ∂x (2, 1) = x 3 1 + x 2 1 2 + 1 3 x=2 = 3x 2 + 2x x=2 = 12, ∂f ∂y (x, y) = d x 3 y + x 2 y 2 + y 3 dy = x 3 + 2x 2 y + 3y 2 , ∂f ∂y (2, 1) = 8y + 4y 2 + y 3 y=1 = 8 + 4 · 2y + 3y 2 y=1 = 15. 39 Пусть в области D существуют функции g 1 (x, y) = ∂f ∂x (x, y) и g 2 (x, y) = ∂f ∂y (x, y). Если в точке (x 0 , y 0 ) ∈ D существуют частные производные: ∂g 1 ∂x (x 0 , y 0 ) = ∂ ∂x ∂f ∂x (x 0 , y 0 ) = ∂ 2 f ∂x 2 (x 0 , y 0 ), ∂g 1 ∂y (x 0 , y 0 ) = ∂ ∂y ∂f ∂x (x 0 , y 0 ) = ∂ 2 f ∂y∂x (x 0 , y 0 ), ∂g 2 ∂x (x 0 , y 0 ) = ∂ ∂x ∂f ∂y (x 0 , y 0 ) = ∂ 2 f ∂x∂y (x 0 , y 0 ), ∂g 2 ∂y (x 0 , y 0 ) = ∂ ∂y ∂f ∂y (x 0 , y 0 ) = ∂ 2 f ∂y 2 (x 0 , y 0 ), то они называются частными производными второго порядка от функции f (x, y) в точке (x 0 , y 0 ). Справедлива следующая теорема. Теорема 4.1. Если функция f (x, y) имеет в некоторой окрестности K δ ((x 0 , y 0 )) вторые частные производные, непрерывные в точке (x 0 , y 0 ), то ∂ 2 f ∂x∂y (x 0 , y 0 ) = ∂ 2 f ∂y∂x (x 0 , y 0 ). Пример. 4.2. (См. пример 4.1). Пусть f (x, y) = x 3 y + x 2 y 2 + y 3 . Тогда ∂ 2 f ∂x 2 (x, y) = 6x + 2y 2 , ∂ 2 f ∂y∂x (x, y) = 3x 2 + 4xy = ∂ 2 f ∂x∂y (x, y) = 3x 2 + 4xy, ∂ 2 f ∂y 2 (x, y) = 2x 2 + 6y. Определение 4.5. Если функция f (x, y) имеет в точке (x 0 , y 0 ) все частные производные второго порядка, то квадратная матрица H(x 0 , y 0 ) = ∂ 2 f ∂x 2 (x 0 , y 0 ) ∂ 2 f ∂y∂x (x 0 , y 0 ) ∂ 2 f ∂x∂y (x 0 , y 0 ) ∂ 2 f ∂y 2 (x 0 , y 0 ) называется матрицей Гессе функции f в точке (x 0 , y 0 ). 40 Следствие 4.1. В условиях теоремы 4.1 матрица Гессе – симмет- рична. 4.3. Локальные экстремумы функций двух вещественных переменных Определение 4.6. Если (x 0 , y 0 ) – внутренняя точка области опре- деления функции f : D ⊂ IR 2 → IR и существует такая проколо- тая окрестность ◦ K δ (x 0 , y 0 ) ⊂ D точки (x 0 , y 0 ), что для всех (x, y) ∈ ∈ ◦ K δ (x 0 , y 0 ) справедливо неравенство f (x, y) < f (x |