Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2008

• Название: Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2008
• Анкор: tr_m_an_ryady.pdf
• Дата: 10.02.2018
• Размер: 373.42 Kb.
• Имя файла: tr_m_an_ryady.pdf
• Тип: Учебное пособие; #15410
• страница: 1 из 6

Федеральное агентство по образованию
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет „ ЛЭТИ “
ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО КУРСУ
„ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ “
Санкт-Петербург
2008

Федеральное агентство по образованию
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет „ ЛЭТИ “
ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО КУРСУ
„ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ “
Учебное пособие
Санкт-Петербург
Издательство СПбГЭТУ „ ЛЭТИ “
2008

УДК 519.677(075)
ББК В16я7
Т39
Колбина С. А., Коновалов Г. М., Снетков О. А., Сулимов М. Г. Ти-
Т39 повые расчеты по курсу „Математический анализ“: Учебное пособие.
СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ ЛЭТИ “, 2008. ? с.
ISBN 5–7629–0795–3
Описываются типовые расчеты, выдаваемые студентам первого курса для самостоятельного выполнения. Каждый типовой расчет предварается необходимым для его выполнения подробным изложением теории (без до- казательств). Кроме того даются ссылки на учебники и учебные пособия,
в которых можно найти доказательство приведенных теорем и утвержде- ний. В конце каждого пункта пособия приводится вариант задания с его полным решением. Пособие соответствует унифицированной рабочей про- грамме дисциплины „Математический анализ“ для студентов первого кур- са факультетов электротехники и автоматизации, электроники, экономики и менеджмента и открытого факультета.
Предназначено для студентов всех направлений и специальностей фа- культетов электротехники и автоматизации, электроники, экономики и ме- неджмента и открытого факультета.
УДК 519.677(075)
ББК В16я7
Рецензенты: кафедра высшей математики СПбГУТ;
д-р физ.-мат. наук проф. Я. И. Белопольская (СПбГАСУ).
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
ISBN 5–7629–0795–3
c
СПбГЭТУ „ ЛЭТИ “, 2008

ВВЕДЕНИЕ
Созданный на кафедре ВМ–1 компьютерный пакет индивидуальных типовых расчетов (ТР) с возможностью генерации любого числа различ- ных вариантов способствует активизации самостоятельной работы студен- тов и более глубокому усвоению теоретического материала, излагаемого на лекциях.
Данное учебное пособие посвящено подробному описанию ТР, которые выдаются студентам для самостоятельного выполнения. В издании содер- жатся теоретические сведения, необходимые для этого и примеры выпол- нения конкретных ТР.
В учебном пособии рассмотрены пять ТР, которые выдаются студен- там первого курса при изучении дисциплины „ Математический анализ “ и соответствуют унифицированной рабочей программе. Дадим список вклю- ченных в пособие ТР и ссылки на учебные пособия и учебники, в которых можно найти подробное изложение теории с доказательствами.
1. Построение графика функции (ТР 2.2) см. учебное пособие [1] и учебник [2].
2. Интегрирование рациональных дробей (ТР 2.3) см. учебное пособие
[1] и учебник [2].
3. Вычисление интеграла по формуле трапеций с оценкой числа узлов и с помощью специальных функций (ТР 2.4) см. учебное пособие [1] и учебник [2].
4. Экстремумы функций двух переменных (ТР 2.5) см. учебное пособие
[3] и учебник [2].
5. Числовые ряды и их применение (ТР 2.6) см. учебное пособие [1] и учебник [2].
Студенту выдается распечатка, содержащая номер варианта и усло- вие ТР. Алгоритмы выполнения ТР обсуждаются на лекциях и на соот- ветствующих практических занятиях. Все ТР ориентированы на исполь- зование калькуляторов. Студенты могут выполнять ТР с использованием программ, реализующих заданный алгоритм, при условии, что приложе- на распечатка с текстом программы, результатами вычислений и студент может пояснить работу всех операторов и программы в целом.
Отчет по ТР должен включать: 1) стандартный титульный лист; 2)
условие ТР (распечатку, содержащую условие ТР, студенты наклеивают в самом начале своего отчета); 3) содержание ТР (в этом разделе форму- лируется математическая задача, которая решается в ТР); 4) достаточно подробное описание выполнения ТР; 5) ответы на все пункты задания.
Студентам настоятельно рекомендуется делать провеку полученных результатов. В примерах выполнения конкретных ТР в учебном пособии даны указания относительно выполнения проверок.
3

1. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Графическое изображение функциональной зависимости привлекает своей наглядностью и легкой обозримостью. В главе рассматривается прак- тический подход к построению математически правильного эскиза графика функции, основанного на выявлении характерных особенностей заданной функции. Ниже приводятся сведения, необходимые для выявления этих характерных особенностей.
Пусть задана функция f : X → Y , X ⊂ IR и Y ⊂ IR.
1.1. Непрерывность функции
Определение 1.1. Функция f : X → Y называется непрерывной в точке a ∈ X, если a – изолированная точка X, или a – предельная точка
X и lim x→a f (x) = f (a).
Если f непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на X.
Теорема 1.1. Пусть функции f : X → Y и g: Y → IR непрерывны в точках a и f (a) соответственно. Тогда их суперпозиция f ◦ g непрерывна в точке a.
Теорема 1.2. Пусть функции f, g: X → IR непрерывны в точке a.
Тогда f + g, f − g, f g, f /g (при g(a) = 0) непрерывны в точке a.
Определение 1.2. Функция f : X → Y называется непрерывной сле- ва (справа) в точке a ∈ X, если a – изолированная точка X, или a – пре- дельная слева (справа) точка X и lim x→a−0
f (x) = f (a) ( lim x→a+0
f (x) = f (a)).
Теорема 1.3. Пусть a ∈ X – предельная слева и справа точка X.
Функция f : X → Y непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда f непрерывна слева и справа (одновременно) в точке a.
Предложение 1.1. Функция f : X → Y непрерывна в предельной для множества X точке a, если выполнены три условия:
1) f определена в точке a;
2) существует lim x→a f (x);
3) lim x→a f (x) = f (a).
Предложение 1.2. Любая из основных элементарных функций (c,
x
α
, a x
, log a
x, sin x, cos x, arcsin x, arccos x, tg x, ctg x, arctg x, arcctg x)
непрерывна в своей области определения.
4

1.2. Точки разрыва функции
Определение 1.3. Если в точке a, предельной для множества X,
нарушено хотя бы одно из условий 1, 2, 3 Предложения 1.1 , то a назы- вается точкой разрыва функции f .
Определение 1.4. Точка разрыва a функции f называется:
1) точкой устранимого разрыва, если существует конечный lim x→a f (x);
2) точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, но раз- личные lim x→a−0
f (x) и lim x→a+0
f (x);
3) точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разры- ва первых двух типов, т. е. если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
1.3. Асимптоты графика функции
Определение 1.5. Пусть f : X → Y . Если хотя бы один из пределов lim x→x
0
−0
|f (x)| или lim x→x
0
+0
|f (x)| равен +∞, то прямая x = x
0
называется вертикальной асимптотой графика f .
Очевидно, если прямая x = x
0
есть вертикальная асимптота графика функции f , то x
0
есть точка разрыва второго рода функции f .
Определение 1.6. Если множество X не ограничено сверху и су- ществуют k, b ∈ IR, такие, что lim x→+∞
(f (x) − (kx + b)) = 0,
то прямая y = kx + b называется правой наклонной асимптотой графика функции f .
Аналогично определеяется левая наклонная асимптота.
Теорема 1.4. Пусть X – неограниченное сверху множество. Для того чтобы прямая y = kx + b была правой наклонной асимптотой гра- фика f , необходимо и достаточно, чтобы одновременно существовали конечные пределы k = lim x→+∞
f (x)
x
,
b = lim x→+∞
(f (x) − kx).
Аналогичная теорема верна для левой наклонной асимптоты.
5

1.4. Монотонность и экстремумы функции
Определение 1.7. Функция f : X → Y называется:
1) возрастающей (неубывающей), если для любых x
1
, x
2
∈ X, таких,
что x
1
< x
2
выполнено f (x
1
) < f (x
2
) (f (x
1
) ≤ f (x
2
));
2) убывающей (невозрастающей), если для любых x
1
, x
2
∈ X, таких,
что x
1
< x
2
выполнено f (x
1
) > f (x
2
) (f (x
1
) ≥ f (x
2
));
3) монотонной, если она входит в один из четырех перечисленных классов;
4) строго монотонной, если она возрастает или убывает.
Пусть функция f : [a, b] → Y непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b).
Теорема 1.5. 1. Функция f не убывает (не возрастает, постоянна)
на [a, b] тогда и только тогда, когда f ≥ 0 (≤ 0, = 0) на (a, b);
2. Если f > 0 (< 0) на (a, b), то функция f возрастает (убывает)
на [a, b].
Определение 1.8. Пусть f : X → Y , x
0
∈ X. Говорят, что функция f в точке x
0
достигает:
1) максимума (минимума), если x
0
– предельная точка X и суще- ствует ε > 0, такое, что для любого x ∈
◦
K
ε
(x
0
) ∩ X выполнено f (x) < f (x
0
) (f (x) > f (x
0
));
2) экстремума, если f в точке x
0
достигает максимума или мини- мума;
3) наибольшего (наименьшего) значения, если для любого x ∈ X спра- ведливо f (x) ≤ f (x
0
) (f (x) ≥ f (x
0
)).
Точки, в которых f достигает максимума (минимума, экстремума)
называются точками максимума (минимума, экстремума) функции f .
Теорема 1.6. (Ферма). Пусть f : X → Y , x
0
∈ X. Если:
1) x
0
– предельная слева и справа точка x;
2) существует ε > 0 такое, что для любого x ∈
◦
K
ε
(x
0
)∩X выполнено f (x) ≤ f (x
0
) (f (x) ≥ f (x
0
));
3) существует f (x
0
), то f (x
0
) = 0.
Следствие 1.1. Если в точек x
0
предельной слева и справа для мно- жества X, функция f достигает максимума (минимума, наибольшего или наименьшего значения) и существует f (x
0
), то f (x
0
) = 0.
Определение 1.9. Пусть f : X → Y , x
0
∈ X предельная точка множества X. Если точка x
0
предельная справа (но не слева), или x
0
предельная слева (но не справа) или f (x
0
) = 0, или f (x
0
) не существует,
то x
0
называется критической точкой функции.
6

Согласно следствию 1.1 функция может иметь экстремум (а также наибольшее и наименьшее значения) только в критических точках.
Теорема 1.7. Пусть функция f непрерывна в точке x
0
для некото- рого ε > 0, K
ε
(x
0
) ⊂ X и существует f в
◦
K
ε
(x
0
). Тогда:
1) если f > 0 на (x
0
− ε), x
0
и f < 0 на (x
0
, x
0
+ ε), то x
0
– точка максимума;
2) если f < 0 на (x
0
− ε), x
0
и f > 0 на (x
0
, x
0
+ ε), то x
0
– точка минимума;
3) если f > 0 (f < 0) на (x
0
− ε, x
0
) ∪ (x
0
, x
0
+ ε), то в x
0
экстремума нет.
Определение 1.10. Кртитическая точка x
0
функции f называется стационарной, если f (x
0
) = 0.
Теорема 1.8. Пусть x
0
стационарная точка функции f и существу- ет f (x
0
). Тогда, если f (x
0
) > 0 (f (x
0
) < 0), то x
0
– точка минимума
(максимума).
1.5. Выпуклость функции. Точки перегиба
Определение 1.11. Пусть f : X → Y дифференцируема в точке x
0
∈ X. Будем говорить, что функция f выпукла вниз (вверх) в точке x
0
, если существует ε > 0 Такое, что для любого
◦
K
ε
(x
0
) ∩ X справедливо неравенство f (x) > f (x
0
) + f (x
0
)(x − x
0
);
(f (x) < f (x
0
) + f (x
0
)(x − x
0
)).
Геометрически выпуклость вниз (вверх) в точке x
0
означает, что в некоторой проколотой окрестности x
0
график функции f лежит выше (ни- же) касательной к графику f в точке x
0
Теорема 1.9. Пусть f : X → Y дважды дифференцируема в точке x
0
∈ X. Если f (x
0
) > 0 (f (x
0
) < 0) то функции f выпукла вниз (вверх)
в точке x
0
Определение 1.12. Точка x
0
∈ X называется точкой перегиба функции f , если точка x
0
есть предельная слева и справа точка мно- жества X и существует ε > 0 такое, что для любого x ∈ (x o
− ε, x
0
)
f (x) > f (x
0
) + f (x
0
)(x − x
0
)
и любого x ∈ (x
0
, x
0
+ ε)
f (x) < f (x
0
) + f (x
0
)(x − x
0
)
или наоборот.
7

Теорема 1.10. Пусть x
0
точка перегиба функции f . Если существу- ет f (x
0
), то f (x
0
) = 0.
Предельные слева и справа точки из множества X, в которых вто- рая производная функции f равна нулю или не существует, называются точками подозрительными на перегиб.
Теорема 1.11. Пусть x
0
точка подозрительная на перегиб. Если при переходе через такую точку вторая призводная меняет знак, то x
0
–
точка перегиба функции f .
В противном случае в точке x
0
перегиба нет.
1.6. Алгоритм половинного деления (бисекций)
Теорема 1.12 (Больцано–Коши). Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах разные знаки.
Тогда найдется хотя бы одна точка x
0
∈ (a, b), такая, что f (x
0
) = 0.
Эта теорема позволяет обосновать ряд методов для вычисления при- ближенного значения корня уравнения f (x) = 0.
Пусть требуется найти приближенное значение корня уравнения f (x) = 0
с некоторой заданной погрешностью ε > 0. Это значит, что если x
∗
– ко- рень уравнения, то требуется найти значение ¯
x, такое, что |¯
x − x
∗
| < ε.
Предположим далее, что функция f определена и непрерывна на отрезке
[a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Пусть f (a) < 0 и f (b) > 0. Разделим промежуток [a, b] пополам точкой c =
a + b
2
и вычислим значение функции в этой точке f (c).
Если f (c) = 0, то корень уравнения найден точно и процесс вычисле- ний заканчивается.
Если же f (c) = 0, тогда на концах одного из промежутков [a, c] или
[c, b] функция будет принимать значения разных знаков. Причем отрица- тельное значение – на левом конце, а положительное – на правом. Обозна- чим этот промежуток через [a
1
, b
1
], тогда f (a
1
) < 0; f (b
1
) > 0. Заметим,
что если длина этого промежутка l
1
= b
1
− a
1
< 2ε, то точка c
1
=
a
1
+ b
1 2
есть приближенное значение корня уравнения с точностью ε и процесс вы- числений завершается.
В противном случае снова разделим промежуток [a
1
, b
1
] пополам точ- кой c
1
=
a
1
+ b
1 2
и вычислим значение f (c
1
). Обозначим через [a
2
, b
2
] ту
8

из половин промежутка, для которой f (a
2
) < 0, f (b
2
) > 0 и таким обра- зом продолжим процесс построения промежутков. Для n-го промежутка
[a n
, b n
] (n = 0, 1, 2, ...) будем иметь f (a n
) < 0, f (b n
) > 0, а длина его равна l
n
= b n
− a n
=
b − a
2
n−1
Определим N – необходимое число делений отрезка для достижения за- данной точности l
n
=
b − a
2
n−1
< 2ε,
или b − a < ε · 2
n
Прологарифмировав по основанию 2 это неравенство, получим log
2
(b − a) < log
2
ε
+ n и
n > log
2
b − a
ε
Следовательно, необходимое число шагов
N = log
2
b − a
ε
,
(1.1)
где α – наименьшее целое, большее или равное α.
1.7. Типовой расчет по теме „Построение графика функции“ (ТР 2.2)
Задача заключается в построении эскиза графика функции, отража- ющего такие основные характеристики как интервалы монотонности, экс- тремумы, выпуклости и т.п. Исследование заданной функции и построение эскиза ее графика целесообразно проводить по следующей схеме:
1) найти область определения функции;
2) найти интервалы непрерывности функции, а также точки разрыва с указанием вида разрыва;
3) исследовать поведение функции на ±∞ и найти асимптоты;
4) найти интервалы возрастания, убывания и локальные экстремумы функции;
5) найти точки пересечения графика с осями координат;
6) найти интервалы знакопостоянства функции;
7) найти интервалы выпуклости и точки перегиба;
8) построить эскиз графика, применяя результаты пп. 1)–7).
9

Студент получает индивидуальное задание, имеющее вид:
ТР 2.2. Вар. 99. Исследовать заданную функцию. Найти значение па- раметра a, при котором функция непрерывна в точке x = −2. Уточнить корень функции на промежутке [−2; −1] с точностью 0.01. Построить гра- фик функции f (x) =









−2 3
(x + 3)
2
− 2x − 6, x < −2,
a(14x
3
+ 76x
2
+ 150x + 100, −2 ≤ x ≤ −1,
−2(x − 2)
2
(x + 1)
2
, x > −1.
Пример выполнения ТР 2.2.
Найдем значение параметра a из условия непрерывности f (x) в точке x = −2. Согласно теореме 1.3 , необходимо lim x→−2−0
f (x) =
lim x→−2+0
f (x) = f (−2).
Вычисления дают:
lim x→−2−0
f (x) =
lim x→−2−0
(−2 3
(x + 3)
2
− 2x − 6) = −4,
lim x→−2+0
f (x) =
lim x→−2+0
a(14x
3
+ 76x
2
+ 150x + 100) =
= a(−14 · 8 + 76 · 4 − 150 · 2 + 100) = −8a.
Из равенства этих предельных значений, получим −8a = −4, и следова- тельно, a = 0.5.
Введем обозначения:
f
1
(x) = −2 3
(x + 3)
2
− 2(x + 3), x < −2,
f
2
(x) = 7x
3
+ 38x
2
+ 75x + 50, −2 ≤ x ≤ −1,
f
3
(x) =
−2(x − 2)
2
(x + 1)
2
, x > −1.
Далее будем исследовать каждую из функций f i
(x), (i = 1, 2, 3), по схеме,
приведенной выше.
1. Исследование функции f
1
(x).
Область определения D(f
1
) есть интервал (−∞, −2).
Функция f
1
(x) = −2 (x + 3)
2/3
+ (x + 3) является линейной комби- нацией функций (x + 3)
2/3
и (x + 3) и, согласно теореме 1.2 и предложению
1.2 является непрерывной в D(f
1
).
10

Чтобы выяснить поведение f
1
на минус бесконечности, достаточно вы- числить lim x→−∞
f
1
(x).
lim x→−∞
f
1
(x) = lim x→−∞
[−2 3
(x + 3)
2
+ (x + 3)] =
= lim x→−∞
−2(x + 3)
1 3
√
x + 3
+ 1
= +∞.
(1.2)
Так как f
1
(x) в области D(f
1
) не имеет разрывов 2-го рода, то верти- кальных асимптот нет. Это следует из определения 1.5 . С другой стороны,
D(f
1
) = (−∞, −2) не ограничена снизу, поэтому, согласно определению
1.6 , имеет смысл проверить наличие у графика y = f
1
(x) только левой наклонной асимптоты. Следуя теореме 1.5