Турунтаев Л.П. Теория принятия решений. Учебное пособие томск 2007 Томский межвузовский центр
 Скачать 1.57 Mb.
|
|
Вальда, в соответствии с кото- рым ЛПР выбирает такую стратегию, что при любом состоянии внешней среды обеспечивается доход не меньше некоторой га- рантированной величины (принцип наибольшего гарантирован- ного результата): ( ) max min ij j i W x y ∗ = ; 2) критерий минимаксный Сэвиджа, при использовании которого минимизируются максимальные значения риска ij r или сожаления ij c : ( ) min max ij i j S x r ∗ = , ( ) min max ij i j C x c ∗ = Пример Дана матрица доходов ij y (табл. 5.5). Найдем в каждом столбце матрицы максимальный элемент: max j ij i y β = , где j β — доход, получаемый ЛПР, при условии, что оно знает состояние внешней среды j e . 106 Разность ( ) j ij y β − между максимально возможным и ре- альным доходом, соответствующим выбранной стратегии i x и состоянию внешней среды j e , называется риском ij r (табл. 5.6): ij j ij r y = β − . Риск характеризует потери, которые несет ЛПР при выборе альтернативы, отличной от оптимальной. Таблица 5.5 — Данные доходов 1 e 2 e 3 e 1 x 8 2 4 2 x 6 7 4 3 x 4 7 5 4 x 3 4 6 Таблица 5.6 — Данные потерь 1 e 2 e 3 e 1 x 0 5 2 2 x 2 0 2 3 x 4 0 1 4 x 5 3 0 В некоторых ЗПР оценка исходов производится не по дохо- ду, а по потерям ij U , которые несет ЛПР при альтернативе i x и состоянии среды j e . Найдем минимальный элемент в каждом столбце min j ij i m U = , где j m — минимальные потери ЛПР, при условии, что оно знает состояние j e . Сожаление — это разность: 3 4 4 2 min 4 3 2 1 = = = = = w w w y w ij j Альтернативы 2 x и 3 x дают наибольший га- рантированный выигрыш. Перейдем к матрице риска ij r . 5 4 2 5 max 4 3 2 1 = = = = = s s s r s ij j Альтернатива 2 x дает минимум потерь. Эти потери дают абсо- лютно надежную оценку ПР в условиях физиче- ской неопределенности. 107 ij ij j C U m = − . Оно определяет дополнительные (относительно j m ) потери ЛПР в случае неудачного для данного состояния j e выбора альтернативы i x . 5.3.4 Принятие решений при наличии неопределенной информации о состоянии внешней среды ЛПР может установить некоторый уровень пессимизма- оптимизма в отношениях наихудшего и наилучшего для него состояний среды. Критерий Гурвица учитывает в отличие от критерия Вальда и Сэвиджа лишь частичный антагонизм внеш- ней среды ( , ) min (1 ) max i ij ij j j x y y ϕ λ = λ + − λ , где λ — показатель Гурвица. max ( , ) ( , ). i i x x ∗ ϕ λ = ϕ λ При 1 λ = получаем критерий Вальда. Пример Дана матрица реализаций (табл. 5.7). При каких значениях λ альтернативы будут наилучшими? Таблица 5.7 — Исходные данные Стра- тегии Внешняя Среда 1 e 2 e 3 e 1 x 2 10 7 2 x 6 7 7 3 x 11 8 3 3 1 x x f при всех λ . 2 3 x x f , если 7 8 11 −λ + > − λ + или 4 7 λ ≥ (рис. 5.4). 1 2 3 ( , ) 2 (1 )10 8 10 ( , ) 6 (1 )7 7 ( , ) 3 (1 )11 8 11 x x x ϕ λ = λ ⋅ + − λ = − λ + ϕ λ = λ ⋅ + − λ = −λ + ϕ λ = λ ⋅ + − λ = − λ + 108 5.3.5 Принятие решений при нечетком описании множества состояний внешней среды ЛПР знает полный перечень состояний внешней среды 1 2 ( , , ..., ), n E e e e = множество альтернатив 1 2 ( , , ..., ), m X x x x = матрицу исходов , 1, ; 1, . ij y i m j n = = Но имеющаяся инфор- мация не позволяет четко определить состояние среды. Принятие решения в таком случае осуществляется с использованием тео- рии нечетких множеств [18, 38]. Пусть 1 2 ( , , ..., ) n E e e e = порождает нечеткое множество { } 1 1 1 2 2 2 ( ) / , ( ) / , ..., ( ) / , n n n A e e e e e e = µ µ µ где , 1, j e E j n ∈ = — состояние среды, носитель нечеткого мно- жества ; A ( ), 1, j j e j n µ = — функция принадлежности состояния j e нечеткому множеству , ( ) [0,1]. j j A e µ ∈ Полагаем, что функция принадлежности ( ), 1, j j e j n µ = известна и множество ее значений для j e E ∈ представлено век- тором 1 ( , ..., ). n µ = µ µ Для оценки альтернатив могут быть использованы критерии принятия решений в условиях вероятностной неопределенности (п. 5.2.2), если вместо вероятности j p использовать взвешен- ную оценку, равную 1 / n j k k = µ µ ∑ Например, при использовании 0 1 ∗ 2 x ∗ 3 x 4/7 Рис. 5.4 — Иллюстрация влияния показателя Гурвица 109 критерия Байеса оценка альтернативы i x будет иметь вид 1 1 ( , ) n n i i ij j k j k B x y = = µ = µ µ ∑ ∑ 5.4 Принятие решений на основе нечеткого отношения предпочтений Рассмотрим следующую задачу. Пусть задано множество альтернатив Х, каждая из которых характеризуется несколькими признаками (критериями) с номерами 1, . j m = Информация о парном сравнении альтернатив по каждому из признаков j пред- ставлена в форме отношения предпочтения j R на множестве Х. Задана относительная важность критериев j α . Задача заключается в том, чтобы по данной информации сделать рациональный выбор альтернатив из множества 1 ( , , ..., ). m X R R Пример В процессе разработки проекта возникла необходимость привлечь дополнительных сотрудников для скорейшего выпол- нения одного из этапов. У руководителя есть три возможности преодолеть трудность: 1) обучить своего сотрудника; 2) найти и принять на работу сотрудника, умеющего вы- полнять требуемые функции; 3) заключить договор с другой организацией о выполнении этих работ. Руководитель принимает решение, учитывая следующие критерии: 1) быстроту выполнения работы; 2) материальные затраты на ее выполнение; 3) качество выполнения. Будем считать, что все критерии одинаковы по важности. Каждый критерий порождает отношения предпочтения на мно- жестве альтернатив (возможностей) Х. 110 Пусть отношения предпочтения альтернатив по каждому критерию будут представлены графами (рис. 5.5). Отношения предпочтения альтернатив по трем критериям будут заданы в виде следующих матриц: 1 1 0 0 1 1 0 1 1 3 2 1 3 2 1 1 x x x x x x R 1 0 0 1 1 0 1 1 1 3 2 1 3 2 1 1 x x x x x x R 1 0 1 0 1 1 0 1 1 3 2 1 3 2 1 1 x x x x x x R В [18] предложен подход нахождения нечетного множества недоминируемых альтернатив. Суть его заключается в том, что вначале строятся нечеткие отношения предпочтения 1 Q и 2 Q на множестве исходных альтернатив Х, такие, что функция 1 Q µ принадлежности нечеткого отношения 1 Q определяется через пересечение исходных отношений , 1, , j R j m = а функция 2 Q µ принадлежности нечеткого отношения 2 Q определяется через аддитивную свертку этих отношений. Затем через пересечение нечетких множеств 1 Q µ и 2 Q µ определяется множество пред- почтительных альтернатив с максимальной степенью недоми- нируемости. Определение Пусть X — множество альтернатив, Q µ — заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество Рис. 5.5 — Графы отношений 3 x : 2 R 3 x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x : 1 R 2 x 1 x : 3 R 111 недоминируемых альтернатив множества ( , ) Q X µ описывается функцией принадлежности [ ] ( ) 1 ( , ) ( , ) , í ä Q R R y X x SUP y x x y x X ∈ µ = − µ − µ ∈ Алгоритм решения задачи состоит из следующих шагов. 1. Строим нечеткое отношение 1 Q (пересечение исходных отношений). В качестве функции принадлежности j R по крите- рию j между x и y возьмем ï ðè ï ðè 1, ( , ) ; ( , ) 0, ( , ) j j j x y R x y x y R ∈ µ = ∉ Тогда пересечению этих множеств соответствует функция принадлежности 1 1 ( , ) min{ ( , ), ..., ( , )}. Q m x y x y x y µ = µ µ Определяем нечеткое подмножество недоминируемых аль- тернатив в множестве 1 ( , ) Q X µ 1 1 1 ( ) 1 ( , ) ( , ) . í ä Q Q Q y X x SUP y x x y ∈ µ = − µ − µ 2. Строим нечеткое отношение 2 Q (свертка отношений) 2 1 ( , ) ( , ) m Q j j j x y x y = µ = λ µ ∑ и определяем нечеткое подмножество недоминируемых альтер- натив в множестве 2 ( , ) Q X µ 2 2 2 ( ) 1 ( , ) ( , ) . í ä Q Q Q y X x SUP y x x y ∈ µ = − µ − µ 3. Находим пересечение множеств 1 í ä Q µ и 2 í ä Q µ { } 1 1 ( ) min ( ), ( ) . í .ä. í ä í ä Q Q x x x µ = µ µ 4. Рациональным считаем набор альтернатив из множества { } / , ( ) ( ) . í ä í ä í ä x X X x x X x SUP x ′∈ ′ = ∈ µ = µ 112 Наиболее рациональным следует считать выбор альтерна- тивы из множества í ä X , имеющий максимальную степень не- доминируемости. Последнее отношение упорядочивает альтернативы по сте- пени недоминируемости. Решение примера 1. Строим нечеткое отношение 1 Q 1 1 2 3 , Q R R R = I I { } 1 1 2 3 ( , ) min ( , ), ( , ), ( , ) , Q i j i j i j i j x x x x x x x x µ = µ µ µ 1 1 1 0 ( , ) 0 1 0 . 0 0 1 Q i j x x µ = Находим подмножество недоминируемых альтернатив в множестве 1 ( , ) Q X µ ( ) 1 1 1 , ( ) 1 ( , ) ( , ) , , ; j í ä Q i Q j i Q i j i j x X x SUP x x x x i j ∈ µ = − µ − µ ∀ ≠ 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 ( ) 1 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) 1 [0 1, 0 0] 1; í ä Q Q Q Q Q x SUP x x x x x x x x SUP µ = − µ − µ µ − µ = = − − − = 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 3 2 2 3 ( ) 1 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) 1 [1 0, 0 0] 0; í ä Q Q Q Q Q x SUP x x x x x x x x SUP µ = − µ − µ µ − µ = = − − − = 1 1 1 1 1 3 1 3 3 1 2 3 3 2 ( ) 1 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) 1 [0 0, 0 0] 1. µ = − µ − µ µ − µ = = − − − = í ä Q Q Q Q Q x SUP x x x x x x x x SUP Тогда 1 1 2 3 ( ) 1 0 1 í ä Q x x x x µ = 2. Строим отношение 2 Q 113 ( ) 2 1 2 3 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ; 3 m Q i j j j i j i j i j i j j x x x x x x x x x x = µ = λ µ = µ + µ + µ ∑ 2 1 1 1/ 3 ( , ) 2 / 3 1 1/ 3 . 1/ 3 1/ 3 1 Q i j x x µ = Находим подмножество недоминируемых альтернатив в множестве 2 ( , ) Q X µ ( ) 2 2 2 , 1 ( , ) ( , ) , ; í ä Q Q j i Q i j i j SUP x x x x i j µ = − µ − µ ∀ ≠ 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 1 1 3 ( ) 1 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) 1 [2 / 3 1, 1/3 1/ 3] 1; í ä Q Q Q Q Q x SUP x x x x x x x x SUP µ = − µ − µ µ − µ = = − − − = 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 ( ) 1 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) 1 [1 2 / 3, 1/3 1/ 3] 2 / 3; í ä Q Q Q Q Q x SUP x x x x x x x x SUP µ = − µ − µ µ − µ = = − − − = 2 2 2 2 2 3 1 3 3 1 2 3 3 2 ( ) 1 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) 1 [1/ 3 1/ 3, 1/3 1/ 3] 1; í ä Q Q Q Q Q x SUP x x x x x x x x SUP µ = − µ − µ µ − µ = = − − − = 2 1 2 3 ( ) 1 2/3 1 í ä Q x x x x µ = 3. Результирующее множество недоминируемых альтерна- тив есть пересечение множеств 1 í ä Q µ и 2 í ä Q µ 2 1 2 3 ( ) 1 0 1 í ä Q x x x x µ = Отсюда заключаем, что в данном примере рациональным следует считать выбор альтернатив 1 x (обучить своего сотруд- ника) либо 3 x (заключить договор с другой организацией), имеющей максимальную степень недоминируемости. Контрольные вопросы 1. Какие виды неопределенности встречаются в задачах принятия управленческих решений? 114 2. Укажите основные критерии выбора решений при веро- ятностной неопределенности состояний внешней среды. 3. В каких случаях применяется критерий минимума дис- персии оценочного функционала? 4. Каков алгоритм принятия решений при линейной упоря- доченности наступления состояний внешней среды? 5. Назовите способы принятия решений при отсутствии информации о состоянии внешней среды. 6. Укажите основные критерии принятия решений в усло- виях противодействия внешней среды. 7. Чем отличаются критерии Гурвица, Вальда и Сэвиджа? 8. Чем отличается расплывчатая неопределенность от веро- ятностной? |