Турунтаев Л.П. Теория принятия решений. Учебное пособие томск 2007 Томский межвузовский центр
 Скачать 1.57 Mb.
|
|
6.4 Многоэтапное принятие решений На практике, в таких задачах, как проектирование изделий, программ, других систем и комплексов, приходится столкнуться с принятием последовательных решений. Результат одного ре- шения заставляет нас принимать следующее решение и т.д. Эту последовательность нельзя выразить таблицей доходов, поэтому нужно использовать какой-то другой процесс принятия реше- ний. Рассмотрим вопрос принятия многоэтапных решений [47]. Многоэтапность приводит к тому, что схема принятия ре- шения может быть представлена в виде дерева. Схема «дерево» решений очень похожа на схему «дерево» вероятностей. Её ис- пользуют, когда нужно принять несколько решений в условиях неопределенности, когда каждое решение зависит от исхода предыдущего или исходов испытаний. Составляя «дерево» ре- шений, нужно нарисовать «ствол» и «ветви», отображающие структуру проблемы. «Ветви» обозначают возможные альтерна- тивные решения, которые могут быть приняты, и возможные 137 исходы, возникающие в результате этих решений. На схеме мы используем два вида «ветвей»: первый — пунктирные линии, соединяющие квадраты воз- можных решений, второй — сплошные линии, соединяющие кружки возмож- ных исходов. Квадратные «узлы» обозначают места, где принимается решение, круглые «узлы» — появление исходов. Так как лицо, принимающее решение, не может влиять на появление исходов, ему остается лишь вычислять вероятность их появления. Когда все решения и их исходы указаны на «дереве», про- считывается каждый из вариантов и в конце проставляется его денежный доход. Все расходы, вызванные решением, простав- ляются на соответствующей «ветви». Пример 1. Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять сроком на один год 15000 ф. ст. Банк может одолжить ему эти деньги под 15 % годовых или вложить в дело со 100 %-ным воз- вратом суммы, но под 9 % годовых. Из прошлого опыта банкиру известно, что 4 % таких клиентов ссуду не возвращают. Что де- лать? Давать ему заем или нет? Перед нами пример задачи с од- ним решением, поэтому можно воспользоваться как таблицей доходов, так и «деревом». Рассмотрим оба варианта. Решение 1 (по таблице доходов). Заполним матрицу исходов (табл. 6.3). Максимизируем ожидаемый в конце года чистый доход, который представляет собой разность суммы, полученной в конце года и инвестиро- ванной в его начале. Таким образом, если заем был выдан и воз- вращен, то чистый доход составит: Чистый доход = ((15000 + 15 % от 15000) – 15000) = 2250 ф. ст. Если ссуду не выдавать, а инвестировать в другие дела (свой кредит под 9 % годовых), то доход составит: Чистый доход = ((15000 + 9 % от 15000) – 15000) = 1350 ф. ст. 138 Таблица 6.3 — Чистый доход в конце года, ф. ст. Возможные исходы Возможные решения Вероятность Выдавать заем Не выдавать (инвестиро- вать) Клиент заем возвращает 2250 1350 0,96 Клиент заем не возвраща- ет –15000 1350 0,04 Ожидаемый чистый до- ход 1560 1350 По критерию Байеса оцениваем возможные исходы реше- ний. Для решения «выдавать»: 2250×0,96 + (–15000)×0,04 = = 1560. Для решения «не выдавать» — исход будет равен 1350. Банку рекомендуется выдать заем, максимальный ожидаемый чистый доход будет равен 1560 ф. ст. Рис. 6.8 — «Дерево» решений для примера 1 139 Решение 2 (по «дереву» решений). В данном случае также используем критерий максимизации ожидаемого чистого дохода на конец года. Далее расчет ведется аналогично расчетам по таблице до- ходов. Ожидаемый чистый доход в кружках А и В вычисляется следующим образом: В кружке А: Е (давать заем) = {17250 × 0,96 + 0 × 0,04} – 15000 = = 16500 – 15000 = 1560 ф. ст. В кружке Б: Е (не давать заем) = {16350 × 1,0 – 15000} = 1350 ф. ст. Поскольку ожидаемый чистый доход больше в кружке А, то принимаем решение выдать заем. Пример 2. Рассмотрим ситуацию, более сложную, чем в предыдущем примере, а именно: банк решает вопрос, проверять ли конкурен- тоспособность клиента, перед тем, как выдавать заем. Аудитор- ская фирма берет с банка 80 ф. ст. за проверку. В результате этого перед банком встают две проблемы: первая проводить или нет проверку, вторая — выдавать после этого заем или нет (двухуровневое «дерево» решений). Решая первую проблему, банк проверяет правильность вы- даваемых аудиторской фирмой сведений. Для этого выбираются 1000 человек, которые были проверены и которым впоследствии выдавались ссуды: Таблица 6.4 — Рекомендации аудиторской фирмы и возврат ссуды Рекомендации после проверки кредито- способности Фактический результат Всего Клиент ссуду вернул Клиент ссу- ду не вер- нул Давать ссуду 735 15 750 Не давать ссуду 225 25 250 960 40 1000 140 Какое решение должен принять банк? Решение. Этап 1. Построим «дерево», как показано ниже. Вероятно- сти проставляются по данным этапа 2. Этап 2. Используя данные табл.6.4, вычислим вероятность Р каждого исхода: Р (клиент ссуду вернет; фирма рекомендовала) = 7,35/750 = =0,98; Р (клиент ссуду не вернет; фирма рекомендовала) = 15/750 = =0,02; Р (клиент ссуду вернет; фирма не рекомендовала) = 225/ 250 = =0,9; Р (клиент ссуду не вернет; фирма не рекомендовала)= =25/250= 0,1. Этап 3. На этом этапе слева направо проставим денежные исходы каждого из «узлов», используя конечные результаты, вычисленные ранее. Любые встречающиеся расходы вычитаем из ожидаемых доходов. Таким образом, подсчитываем все «де- рево», опираясь на ранее полученные результаты. После того, как пройдены квадраты «решений», выбирается «ветвь», ведущая к наибольшему из возможных исходов при данном решении — ожидаемому доходу. Другая «ветвь» зачеркивается, а ожидае- мый доход проставляется над квадратом решения. Сначала посмотрим на кружки исходов В и С, являющиеся следствием квадрата 2 (выдавать ли заем клиенту?). Доход, ожидаемый от исхода В: Е (В) = 17250 ф. ст. × 0,98 + 0 × 0,02 = 16905 ф. ст., чистый ожидаемый доход: NЕ (В) = 16905 – 15000 = 1905 ф. ст. Доход, ожидаемый от исхода С: Е (С) = 16350 ф. ст. × 1,0 = 16350 ф. ст., чистый ожидаемый доход: NЕ (С) = 16350 – 15000 = 1350 ф. ст. Предположим, что мы сейчас в квадрате 2. Максимальный ожидаемый доход 1905 ф. ст. в кружке В, поэтому принимаем решение выдать заем. 141 Рис. 6.9 — «Дерево» решений для банка с учетом аудиторской проверки Приняв решение, корректируем «дерево», проставив чис- тый ожидаемый доход 1905 ф. ст. над квадратом 2. «Ветвь» — не давать заем — зачеркивается, показано на рис. 6.9. То же самое с кружками исходов D и Е — результатами решения 3. Доход, ожидаемый от исхода D: Е(D) = (17250 ф. ст. × 0,9) + (0 × 0,1)= 15525 ф. ст., чистый ожидаемый доход: NЕ (D) = 15525 – 15000 = 525 ф. ст. Аналогично для исхода Е: Е (Е) = 16350 ф. ст. × 1,0 = 16350 ф. ст., чистый ожидаемый доход: NЕ (Е) = 16350 – 15000 – 1350 ф. ст. Если бы мы были в квадрате 3, то максимальный ожидае- мый доход был бы равен 1350 ф. ст. и можно было бы принять 142 решение не выдавать заем. Теперь скорректируем эту часть схе- мы: над квадратом 3 пишем чистый ожидаемый доход и прини- маем решение выдать заем. Наконец приступаем к расчету кружков исходов F и G, ко- торые являются результатами решения 4. Е (F) = 17250 ф. ст. × 0,96 + 0 × 0,04 = 16560 ф. ст.; NЕ (F) – 16560 – 15000 = 1560 ф. ст.; Е (G) = 16350 × 1,0 = 16350 ф. ст.; NЕ (G) = 16350 – 15000 = 1350 ф. ст. В квадрате 4 максимальный ожидаемый чистый доход со- ставляет 1560 ф. ст., и поэтому принимаем решение выдать кли- енту ссуду. Сумма 1560 ф. ст. надписывается над квадратом 4, а альтернативная «ветвь» перечеркивается. Теперь вернемся к «узлам» А и 1. Используя ожидаемые чистые доходы над квадратами 2 и 3, рассчитаем математиче- ское ожидание для кружка А: Е (А) = (1905 ф. ст. × 0,75) + (1350 ф. ст. × 0,25) = 1766 ф. ст. Так как аудиторская проверка стоит 80 ф. ст., ожидаемый чистый доход; NЕ (А) = 1766 – 80 = 1686 ф. ст. Теперь можно проставить значения первого решения квад- рата 1. Должен ли банк воспользоваться аудиторской провер- кой? В этом «узле» максимальное математическое ожидание — 1686 ф. ст., поэтому перечеркиваем альтернативную «ветвь». На рис. 6.10 стрелками показана последовательность реше- ний, ведущая к максимальному чистому доходу: в квадрате 1 воспользуемся аудиторской проверкой. Если выдача заема ре- комендуется фирмой, тогда в квадрате 2 — выдать ссуду, если не рекомендуется, то в квадрате 3 — не выдавать ссуду, а инве- стировать эти деньги под стабильные 9 % годовых. «Дерево» окончательных решений для примера 2 приведено на рис. 6.10. 143 Рис. 6.10 — Окончательное «дерево» решений для примера 2 6.5 Аналитическая иерархическая процедура Саати В начале 1970 года американский математик Томас Саати разработал процедуру поддержки принятия решений, кото- рую назвал «Analityc hierarchy process» (AHP). Авторы русско- го издания перевели это название как «Метод анализа иерар- хий» (МАИ) [48]. Этот метод относится к классу критериальных и занимает особое место благодаря тому, что он получил ис- ключительно широкое распространение. Метод анализа иерархий включает два этапа: • декомпозицию проблемы на составляющие части; • определение относительной значимости исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Построение иерархической структуры начинается с очер- чивания проблемы исследования. Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в ее вершине, 144 промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень. Иерархия строится с вершины — это общая цель или фокус проблемы. В общем случае целей может быть несколько. За фокусом сле- дует уровень наиболее важных критериев. Каждый из критериев может разделяться на субкритерии, за которыми следует уро- вень альтернатив. Формирование множества альтернатив и критериев осуществляется с учетом рекомендаций ЛПР. Этап является неформализуемым. Рассмотрим пример декомпозиции проблемы. Пусть при обсуждении проблемы улучшения жилищных условий семьей была сформулирована цель — покупка дома. Обсуждались и другие цели решения этой проблемы (например, ремонт имеющегося жилья). Из каталога были отобраны три наиболее предпочтительных дома (варианты А, В, С), которые и были осмотрены семьей непосредственно. Для выбора окончательно- го варианта она решила воспользоваться методом анализа ие- рархий (МАИ). Итогом первого этапа МАИ, который явился результатом семейного обсуждения, стала следующая иерар- хия (рис. 6.11): Рис. 6.11 — Иерархия проблемы улучшения жилищных условий Иерархия — есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группировать- ся в несвязанные множества. Элементы каждой группы нахо- дятся под влиянием элементов другой группы и, в свою оче- 1 2 3 5 4 6 7 8 9 10 Уровень 1 Фокус проблемы Уровень 2 Уровень критериев Уровень 3 Уровень альтернатив 1. Цель — покупка дома 2. Размер дома 3. Общее состояние 4. Двор 5. Окрестности 6. Финансовые условия 7. Удобство автобусных маршрутов 8. Вариант А 9. Вариант Б 10. Вариант С 145 редь, оказывают влияние на элементы следующей группы. Считается, что элементы в каждой группе иерархии (называе- мые уровнем, кластером, стратой) независимые. На втором этапе устанавливается относительная важность элементов иерархии. Используя суждения ЛПР (эксперта) и оп- ределенные алгоритмы их обработки, устанавливают веса дуг и веса объектов первого уровня.Если на первом уровне один объект, то вес его принимается за 1. Суждения ЛПР являются результатом исследования его структуры предпочтений. При этом исследовании применяется метод парных сравнений с использованием шкалы отношений (табл. 6.5). Таблица 6.5 — Шкала отношений по Саати Степень зна- чимости Определения Объяснения 1 Одинаковая значимость Два действия вно- сят одинаковый вклад в достижение цели 3 Некоторое преобладание зна- чимости одного действия над другим (слабая значимость) Существуют сооб- ражения в пользу предпочтения од- ного из действий, однако эти сообра- жения недостаточ- но убедительны 5 Существенная или сильная значимость Имеются надежные данные или логи- ческие суждения для того, чтобы показать предпоч- тительность одного из действий 7 Очевидная или очень сильная значимость Убедительное сви- детельство в поль- зу одного действия перед другим 146 Степень зна- чимости Определения Объяснения 9 Абсолютная значимость Свидетельства в пользу предпочте- ния одного дейст- вия другому в высшей степени убедительны 2, 4, 6, 8 Промежуточные значения между двумя соседними суж- дениями Ситуация, когда необходимо ком- промиссное реше- ние Обратные величины приведенных выше нену- левых вели- чин Если действию i при сравне- нии с действием j приписыва- ется одно из определенных выше ненулевых чисел, то действию j при сравнении с действием i приписывается обратное значение Если согласован- ность была посту- лирована при по- лучении N число- вых значений для образования мат- рицы Данная шкала позволяет лицу, принимающему решение, ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравни- ваемого объекта перед другим некоторые числа. При использо- вании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне ие- рархии, должно поставить в соответствие этому сравнению чис- ло в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел. В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных гра- даций от абсолютного до слабого предпочтения или если этого не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оцен- ки: 1 — объекты равнозначны; 2 — предпочтение одного объек- та над другим. Описание метода анализа иерархий выполним на конкрет- ном примере выбора автомобиля [12]. Пример. Дано множество автомобилей (альтернатив): • Жигули; Окончание табл. 6.5 147 • Москвич; • Иж; • Волга. Оценка альтернатив производится по критериям: • стиль; • надежность; • экономия топлива. Представим иерархию на рис.6.12. Уровней может быть сколько угодно. Например, критерий 2-го уровня «надежность» можно раскрыть уровнем 3 как: 1) на- дежность двигателя, 2) надежность кузова, 3) надежность ходо- вой части. Надежность ходовой части можно далее раскрыть уров- нем 4, например, как а) надежность тормозной системы, б) надеж- ность подвески и т.д. Для простоты объяснения ограничимся Уровнем 2. Теперь нужно получить оценки каждой альтернативы по каждому критерию. Если существуют объективные оценки, то они просто выписываются и нормируются таким образом, чтобы их сумма была равна единице. Например, если бы нас интересо- вал критерий «максимальная скорость» и имелись бы соответст- вующие данные по каждому автомобилю, то нужно было бы составить следующую таблицу. 1 3 4 2 5 6 7 8 Уровень 1 Фокус проблемы Уровень 2 Уровень критериев Уровень 3 Уровень альтернатив 1 — цель: выбор автомобиля 2 — стиль 3 — надежность 4 — экономия топлива 5 — Жигули 6 — Москвич 7 — Иж 8 — Волга Рис. 6.12 — Иерархия проблемы выбора автомобиля 148 Альтернативы Максимальная скорость (км/час) Нормированное значение Жигули 140 0,259 Москвич 130 0,241 Иж 120 0,222 Волга 150 0,278 Сумма 540 1,000 А как быть с таким критерием, как «стиль», для которого не существует объективных оценок? В этом случае процедура Саати рекомендует использовать парные сравнения. Для фиксации ре- зультата сравнения пары альтернатив воспользуемся таблицей 6.5. Лицо, принимающее решение (ЛПР), просят попарно срав- нить альтернативы. Пусть результаты парных сравнений аль- тернатив для критерия «стиль» записаны в виде таблицы 6.6. Таблица 6.6 — Результаты парных сравнений Жигули Москвич Иж Волга Жигули 1/1 1/4 4/1 1/6 Москвич 4/1 1/1 4/1 1/4 Иж 1/4 1/4 1/1 1/5 Волга 6/1 4/1 5/1 1/1 Простые дроби в клетках трактуются следующим образом. Например, на пересечении строки «Москвич» и столбца «Жигу- ли» записана дробь 4/1. Это выражает мнение ЛПР о том, что «стильность» Москвича» в 4 раза выше, чем «стильность» Жи- гулей. Здесь вместо приведенной выше шкалы превосходства использовалось понятие «быть лучше в N раз», что также допус- тимо. Далее простые дроби переводятся в десятичные. Получает- ся следующая таблица, в последнем столбце дается сумма оце- нок альтернатив. 149 Жигули Москвич Иж Волга Сумма по строке Жигули 1,00 0,25 4,00 0,17 5,42 Москвич 4,00 1,00 4,00 0,25 9,25 Иж 0,25 0,25 1,00 0,20 1,70 Волга 6,00 4,00 5,00 1,00 16,00 Cумма 32,37 Нормируем суммы оценок альтернатив таким образом, что- бы их сумма, в свою очередь, была равна 1. Для этого просто разделим сумму каждой строки на 32,37. Получим: Жигули Москвич Иж Волга Сумма по строке Жигули 1,00 0,25 4,00 0,17 0,116 Москвич 4,00 1,00 4,00 0,25 0,247 Иж 0,25 0,25 1,00 0,20 0,060 Волга 6,00 4,00 5,00 1,00 0,577 Cумма 1,00 В методе Саати полученные таким образом нормированные суммы принимаются в качестве оценок альтернатив по крите- рию «стиль».Отметим, что полученные оценки отражают ис- ключительно точку зрения конкретного ЛПР. На самом деле, вместо строчных сумм Саати рекомендует использовать собст- венный вектор матрицы парных сравнений, считая его более точной оценкой. Для простоты ограничиваются строчными суммами, которые допустимы, но, с точки зрения Саати, менее точны. Аналогичным образом получаются веса критериев. Предпо- ложим, конкретное ЛПР сравнило попарно критерии с точки зрения их сравнительной важности. Запишем результаты срав- нений в виде таблицы. Стиль Надежность Экономичность Стиль 1/1 1/2 3/1 Надежность 2/1 1/1 4/1 Экономич- ность 1/3 1/4 1/1 150 Как и прежде, утверждение типа «надежность в 2 раза важ- нее стиля» записывается в виде дроби 2/1. Применяя к этой таблице описанную выше процедуру, по- лучим веса критериев: w 1 = 0,344 (стиль), w 2 = 0,535 (надежность), w 3 = 0,121 (эко- номичность). Таким образом, мы можем получить как веса критериев, так и оценки альтернатив по критериям. Пусть оценки альтернатив по критериям определены и представлены в следующей табли- це: Стиль Надежность Экономичность Жигули 0,116 0,379 0,301 Москвич 0,247 0,290 0,239 Иж 0,060 0,074 0,212 Волга 0,577 0,257 0,248 Далее, применяя линейную свертку (взвешенную сумму), получим следующие интегральные оценки альтернатив (функ- ция полезности): Жигули 0,116*0,344+0,379*0,535+ 0,301*0,121= 0,2791; Москвич 0,247*0,344+0,290*0,535+ 0,239*0,121= 0,2691; Иж 0,060*0,344+0,074*0,535+ 0,212*0,121= 0,0858; Волга 0,577*0,344+0,257*0,535+ 0,248*0,121= 0,3660. Если учитывать оценку альтернатив по трем критериям, то следует выбрать автомобиль «Волга». Если добавить в оценку альтернатив другие критерии, то можем поступить аналогично, используя предлагаемую процедуру оценки через взвешенную сумму оценок отдельных критериев. Пусть имеются данные по показателю «стоимость автомо- биля». Дальнейший выбор произведём по критерию «стоимость- эффективность». Воспользуемся отношением полученной инте- гральной оценки к нормированной стоимости. Наилучшей счи- тается альтернатива, для которой указанное отношение макси- мально. В рамках нашего примера, сведем все необходимые данные в следующую таблицу: 151 Стоимость в $ Стоимость нормиро- ванная Функция полезности Отноше- ние Жигули 4 000 0,24 0,2791 1,16 Москвич 3 000 0,18 0,2691 1,50 Иж 2 500 0,15 0,0858 0,57 Волга 7 000 0,43 0,3660 0,85 Сумма 16 000 1,00 1,00 Таким образом, учитывая предпочтения данного конкрет- ного ЛПР, предлагаемая процедура рекомендует ему выбрать Москвич. Главным достоинством процедуры следует считать тот факт, что веса критериев и оценки по субъективным критериям не назначаются прямым волевым методом (как чаще всего пы- таются делать, не сильно задумываясь о корректности такого волюнтаризма), а определяются на основе метода парных срав- нений. Другое достоинство — представление критериев в виде иерархии (дерева). Такая структура внутренне присуща самому понятию «критерий». Критерии по своей природе иерархичны и они могут быть сопоставимы целям (дереву целей), отражая сте- пень их достижения. Основным недостатком процедуры следует признать вве- дение понятия и установления «количественного превосходства в N раз» сравниваемых объектов. |